2014-2015學(xué)年高中數(shù)學(xué)（人教A版必修四） 第二章 平面向量 2．5.1 課時(shí)作業(yè)（含答案）

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1、 2.5　平面向量應(yīng)用舉例 2．5.1　平面幾何中的向量方法 課時(shí)目標(biāo)　經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題及其他一些實(shí)際問題的過程，體會(huì)向量是一種處理幾何問題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力． 1．向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?________?______________________. (2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，a⊥b?____________?______________. (3)求夾角問題，往往利用

2、向量的夾角公式cos θ＝______________＝___________________. (4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝_______ 2．直線的方向向量和法向量 (1)直線y＝kx＋b的方向向量為________，法向量為________． (2)直線Ax＋By＋C＝0的方向向量為________，法向量為________． 一、選擇題 1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，則BC邊的中線AD的長(zhǎng)是(　　) A．2 B. C．3 D. 2．點(diǎn)

3、O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足＝＝，則點(diǎn)O是△ABC的(　　) A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn) 3．已知直線l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，則直線l1與l2的夾角是(　　) A．30 B．45 C．135 D．150 4．若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 5．已知點(diǎn)A(，1)，B(0,0)

4、，C(，0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于(　　) A．2 B. C．－3 D．－ - 1 - / 9 6．已知非零向量與滿足＝0且＝，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形 題　號(hào) 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩 點(diǎn)M、N，若＝m，＝n，則m＋n

5、的值為__________________． 8．已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||＝3，||＝4，||＝5.則＋＋＝________________. 9．設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知(＋－2)(－)＝0，則△ABC的形狀一定是__________． 10．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,1)和點(diǎn)B(－3,4)，若點(diǎn)C在∠AOB的平分線上且||＝2，則＝__________________. 三、解答題 11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分線的方程． 12．P是正方形ABCD對(duì)

6、角線BD上一點(diǎn)，PFCE為矩形．求證：PA＝EF且PA⊥EF. 能力提升 13．已知點(diǎn)O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，＝PB＝，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 14．求證：△ABC的三條高線交于一點(diǎn)． 1．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基

7、向量表示涉及的向量，一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明． 2．在直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則(λ∈R且λ≠0)也是直線l的方向向量．所以，一條直線的方向向量有無數(shù)多個(gè)，它們都共線．同理，與直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直線l的法向量．一條直線的法向量也有無數(shù)多個(gè)．熟知以下結(jié)論，在解題時(shí)可以直接應(yīng)用． ①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量為n＝(k，－1)． ②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)

8、，法向量n＝(A，B)． 2.5　平面向量應(yīng)用舉例 2．5.1　平面幾何中的向量方法 答案 知識(shí)梳理 1．(1)a＝λb　x1y2－x2y1＝0　(2)ab＝0　x1x2＋y1y2＝0(3)　　(4) 2．(1)(1，k)　(k，－1)　(2)(B，－A)　(A，B) 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．B　[BC中點(diǎn)為D，＝， ∴||＝.] 2．D　[∵＝， ∴(－)＝0. ∴＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O為垂心．] 3．B　[設(shè)l1、l2的方向向量為v1，v2，則 v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)， ∴|cos〈v1，v2〉|＝＝

9、＝. ∴l(xiāng)1與l2的夾角為45.] 4．B　[∵|－|＝||＝|－|， |＋－2|＝|＋|， ∴|－|＝|＋|， ∴四邊形ABDC是矩形，且∠BAC＝90. ∴△ABC是直角三角形．] 5．C [如圖所示，由題知∠ABC＝30，∠AEC＝60，CE＝，∴＝3，∴＝－3.] 6．D　[由＝0，得角A的平分線垂直于BC.∴AB＝AC. 而＝cos〈，〉＝，又〈，〉∈[0，180]，∴∠BAC＝60. 故△ABC為正三角形，選D.] 7．2 解析　∵O是BC的中點(diǎn)， ∴＝(＋)＝＋， ∴＝－＝(－1)＋. 又∵＝－，∥， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，即 化簡(jiǎn)得m＋

10、n＝2. 8．－25 解析　△ABC中，B＝90，cos A＝，cos C＝， ∴＝0，＝45＝－16， ＝53＝－9. ∴＋＋＝－25. 9．等腰三角形 解析　∵(＋－2)(－) ＝[(－)＋(－)](－) ＝(＋)(－)＝2－2 ＝||2－||2＝0， ∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形． 10. 解析　 已知A(0,1)，B(－3,4)， 設(shè)E(0,5)，D(－3,9)， ∴四邊形OBDE為菱形． ∴∠AOB的角平分線是菱形OBDE的對(duì)角線OD. 設(shè)C(x1，y1)，||＝3， ∴＝. ∴(x1，y1)＝(－3,9)＝， 即＝.

11、11．解　＝(3,4)，＝(－8,6)， ∠A的平分線的一個(gè)方向向量為： ＋＝＋＝. ∵∠A的平分線過點(diǎn)A. ∴所求直線方程為－(x－4)－(y－1)＝0. 整理得：7x＋y－29＝0. 12．證明　以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC所在直線為x軸，DA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，||＝λ，則A(0,1)， P，E，F(xiàn)， 于是＝，＝. ∴||＝＝， 同理||＝， ∴||＝||，∴PA＝EF. ∴＝＋＝0， ∴⊥.∴PA⊥EF. 13．C 　[如圖，∵＋＋＝0， ∴＋＝－.依向量加法的平行四邊形法則，知|N|＝2||，故點(diǎn)N為△ABC的重心． ∵＝， ∴(－)＝＝0. 同理＝0，＝0， ∴點(diǎn)P為△ABC的垂心． 由||＝||＝||，知點(diǎn)O為△ABC的外心．] 14．證明　 如圖所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三條高． 設(shè)BE，CF交于H點(diǎn)， 令＝b，＝c，＝h， 則＝h－b，＝h－c，＝c－b. ∵⊥，⊥， ∴(h－b)c＝0，(h－c)b＝0， 即(h－b)c＝(h－c)b 整理得h(c－b)＝0，∴＝0 ∴AH⊥BC，∴與共線． AD、BE、CF相交于一點(diǎn)H. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！