2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第5章 不等式試題2 新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第一篇 代數(shù) 第5章 不等式試題2 新人教版 5.4.1★設、、的平均數(shù)為，、的平均數(shù)為，、的平均數(shù)為.若，則與的大小關系是（ ） A. B. C. D.不確定 解析 因為，，，，因為，所以，即，所以.故選B. 5.4.2★若、是正數(shù)，且滿足，則與之間的大小關系是（ ） A. B. C. D.不能確定 解析 因為 ， 所以 . 由于，，所以. 所以，即，.故選A. 5.4.3★若（、是實數(shù)），則的值一定是（ ）. A.正數(shù) B.負數(shù) C.零 D.整數(shù) 解析 因為 ， 且，，這三個數(shù)不能同時為，所以. 故選A. 5.4.4★設、是正整數(shù)，且滿足，，則等于（ ）. A. B. C. D. 解析 由題設得 ，， 所以 . 因此，. 當時，由，得，這樣的正整數(shù)不存在. 當時，由，得，所以. 所以，. 故選B. 5.4.5★★已知，、為互質(zhì)的正整數(shù)，且，. （1）試寫出一個滿足條件的； （2）求所有滿足條件的. 解析 （1）滿足條件. （2）因為，、為互質(zhì)的正整數(shù)，且，所以 ， 即 . 當時，，這樣的正整數(shù)不存在. 當時，，故，此時. 當時，，故，此時. 當時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在. 當時，，故，此時. 當時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在. 當時，，故，4，5，此時，，. 當時，，故，此時. 所以，滿足條件的所有分數(shù)為、、、、、、. 5.4.6★★已知：，，，…，，，和.求，，，…，，的值. 解析 將個不等式累加得 ，① 當且僅當個不等式取等號時，①式才成立. 由可以得到 ，② 由可以得到 ，③ … 由可以得到 ， 由②和③可推知.類似地，可以推知，所以，.同理可得. 所以. 5.4.7★★證明：（1）； （2）； （3）如果是正實數(shù)，那么； （4）設、是非負實數(shù)，則； （5）. 解析 （1）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個不等式說明：如果兩個正數(shù)的和是一個常數(shù)，則乘積有最大值，如果兩個正數(shù)的乘積是一個常數(shù)，則和有最小值. （2）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個不等式說明了兩個數(shù)的和與平方和之間的不等式關系. （3）在（1）中令，得，這個不等式說明了一個正數(shù)與它倒數(shù)的和不小于. （4）由（3）可得 ， 這個不等式說明了兩個數(shù)的和與倒數(shù)和之間的不等式關系. （5）由，，可以得到 . 5.4.8★★設，，，求證： . 解析 因為 ，，， 所以 . 5.4.9★★★設，，，求證： . 解析 因為 ， 而 ， 所以，. 5.4.10★★若正數(shù)、、滿足，求證： . 解析 因為 ， 而 ， ， ， 所以 . 5.4.11★★（1）已知正數(shù)、、滿足 ， 求證： ； （2）已知正數(shù)、滿足，求證： ； （3）已知正數(shù)、滿足，求證： . 解析 （1）由題設和平均不等式得 . （2）由題設和平均不等式得 . （3）由題設和平均不等式得 . 5.4.12★★（1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值. 解析 （1）因為，當時等號成立，所以，欲求的最小值是. （2）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最小值是. （3）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最小值是. 5.4.13★★（1）若，求的最大值； （2）若，求的最大值. 解析 （1）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最大值是. （2）因為 ， 當時等號成立，所以，欲求的最大值是. 5.4.14★★求代數(shù)式的最大值. 解析 我們有 ， 當時等號成立，故欲求的最大值為. 評注 這里，在第一個不等式中，用了 . 5.4.15★★★設正實數(shù)、、滿足 ， 求的最小值. 解析 因為 ， 當，，時等號成立，故最小值為. 5.4.16★★★設，求的最小值. 解析 因為 ， 所以 ， 當，時等號成立. 所以，欲求的最小值是. 5.4.17★★設，，. 求證：. 解析 因為 ， 又，所以，即. 5.4.18★★已知、、是實數(shù)，且 ，. 求證：，，. 解析 因為 ，， 而 ， 所以 ， ， ， ， 解得 . 同理可證：，. 5.4.19★★★已知實數(shù)、、滿足：，且 ，. 求證： . 解析 原不等式等價于 . 因為，， 又因為，所以 ， ， ， ， 解得 . 若，則，由，可得.于是 ， 矛盾！ 故 . 5.4.20★★★若實數(shù)、滿足，求的取值范圍. 解析 由題設分別消去、，得 ， . 而，，所以 所以 . 反之，若滿足不等式，則易知存在、滿足題設條件. 所以，所求的的取值范圍為. 5.4.21★★★已知實數(shù)、滿足，且，求的取值范圍. 解析1 由，相加，得，故. 又 ， 所以且. 于是可知、是關于的方程 的兩個實數(shù)根. 由，解出. 綜上所述，的取值范圍是. 解析2 由，所以.（當時等號成立） 由 ， 故，即.（當時等號成立） 于是有，從而有. 根據(jù)解析1，可知：. 所以. 5.4.22★★設正數(shù)、滿足. 求證：. 解析 由可得 ， 則 . ① 由于、是兩個正數(shù)，所以，，所以，從而. 另一方面，由，可得，結(jié)合①式可得，所以. 因此，. 5.4.23★★★設（、、都是實數(shù)），已知，，，求證：當時，. 解析 因為 所以 于是 . 5.4.24★★★證明：對任意三角形，一定存在它的兩條邊，它們的長、滿足 . 解析 若結(jié)論不成立，則對于的三邊長、、，不妨設，于是 ， ① . ② 記，，則，，代入①得 ， ， 令，，則 . ③ 由，得，即，于是.由②得 ， ④ 由③、④得 ， 矛盾.從而命題得證. 5.4.25★★★若正實數(shù)、、可以是一個三角形的三邊長，則稱（，，）是三角形數(shù).若（，，）和均為三角形數(shù)，且.求的取值范圍. 解析 由題設得所以 ， 即有，，得 . 而，所以所求的的取值范圍為 . 5.5 應用題 5.5.1★某賓館底樓客房比二樓客房少間.某旅游團有人，若全安排住在底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人.又若全安排住二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人.問該賓館底樓有多少間客房？ 解析 設底樓有客房間，則二樓有客房間.依題意，可得如下不等式組： 解不等式組得 . 因為是整數(shù)，所以，. 故賓館的底樓有10間客房. 5.5.2★★一列客車始終作勻速運動，它通過長為米的橋時，從車頭上橋到車尾下橋共用33秒；它 穿過長760米的隧道時，整個車身都在隧道里的時間為22秒．從客車的對面開來一列長度為米，速 度為每秒米的貨車，兩車交錯，從車頭相遇到車尾相離共用秒． （1）寫出用、表示的函數(shù)解析式； （2）若貨車的速度不低于每秒米，且不到每秒米，其長度為米，求兩車交錯所用時間的取值范圍． 解析 （1）設客車的速度為每秒米，客車的長度為米．依題意知 解得 所以，（，）. （2）當，時，由（1）得. 又因為，所以， . 故的取值范圍為. 5.5.3★★個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘人（不包括司機）．其中一輛小 汽車在距離火車站的地方出現(xiàn)故障，此時距停止檢票的時間還有分鐘．這時唯一可利用的交 通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內(nèi)這輛車限乘人，且這輛車的平均速度是，人步行的平均速度是．試設計兩種方案，通過計算說明這個人能夠在停止檢票前趕到火車站． 解析 【方案一】當一輛小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的個人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的個人送到火車站，立即返回接步行的個人到火車站． 設乘出現(xiàn)故障汽車的個人步行的距離為，根據(jù)題意，有 ， 解得．因此這個人全部到火車站所需時間為 （小時）（分鐘）（分鐘）. 故此方案可行， 【方案二】當一輛小汽車出現(xiàn)故障時，乘這輛車的個人先下車步行，另一輛車將車內(nèi)的個人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外個人，使得兩批人員最后同時到達車站． 分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，為無故障汽車人員下車地點，為有故障 汽車人員再次上車地點．因此，設，根據(jù)題意，有 ， 解得．因此這個人同時到火車站所需時間為（小時）（分鐘）（分鐘）. 故此方案也可行． 5.5.4★★某出租車的收費標準是：千米之內(nèi)起步費是元，以后每增加千米增收元（不足千米也算一個千米）．現(xiàn)從地到地共支出元（不計等候時間所需費用）．如果從地到地是先 步行米，然后再乘車也是元（同樣不計等候時間所需費用），求從的中點到地需多少車費． 解析 設從地到地的距離為千米，由于，所以，即 . ① 又 ， 所以 . ② 由①、②便知.故． 即與之間的路程在千米至千米之間，所需車費為（元）． 5.5.5★★從站到站千米，每千米設一路標（如圖），從早開始，貨車每隔分鐘從站發(fā)出一輛開往站，車速為每小時千米；早上由站發(fā)出一輛小轎車駛向站，車速為每小時千米．已知小轎車在某兩相鄰路標之間（不包括路標處）追過三輛貨車，問：此時小轎車已經(jīng)追過 多少輛貨車（與小轎車同時出發(fā)的那輛貨車不計算在內(nèi)）？ 解析 因為相鄰兩輛貨車之間的距離為（千米），所以小轎車從追上第輛貨車開始，到它追上第輛貨車，所需時間為（小時），所以它追上第志輛貨車需要小時， 設小轎車追上第、、輛貨車是在兩個路標之間，這兩個路標分別是第、個，則我們有 由①得，；由②得，，而、都是整數(shù)，所以 ，，1，2，…，. 于是只有，和，（舍去）． 所以，小轎車追過了輛貨車． 5.5.6★★★正五邊形廣場的周長為米，甲、乙兩人分別從、兩點同時出發(fā)繞廣場沿 的方向行走，甲的速度為米／分，乙的速度為米／分，那么，出發(fā)后經(jīng)過多少分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上？ 解析 設甲走完（為正整數(shù)）條邊時，兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了米，乙走了米.于是 ， 且， 所以，，故，此時.即經(jīng)過分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上. 5.5.7★★★如圖，甲、乙兩人在周長為的正方形水池相鄰的兩頂點上同時同向出發(fā)繞池邊行走， 乙在甲后，甲每分鐘走，乙每分鐘走，求 （1）甲、乙兩人自出發(fā)后經(jīng)幾分鐘才能初次在同一邊上行走（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點時的情形）； （2）第一次相遇之前，兩人在正方形同一邊上行走了多少分鐘？ 解析 （1）兩人初次在同一邊上時，甲比乙要多走邊． 設兩人初次在同一邊上時，乙已走了邊，則甲走了邊，也就是甲走了，乙走了. 因為甲在前乙在后，所以，當甲、乙同在一邊時，乙所走的距離應超過，并且當甲到了另一邊 的端點時，乙肯定沒到相鄰的端點，所以乙走的距離又應不足.于是 ， 解得 ． 故當（邊），需經(jīng)過分鐘時才能初次在同一邊上行走． （2）設出發(fā)分鐘后，甲、乙兩人第一次相遇（即甲追上乙）． 則，（分鐘）． 甲從出發(fā)后分鐘開始，每走到一頂點，都要與乙同在一邊上行走一段距離，直到乙走到頂點開始轉(zhuǎn)彎，甲從第分鐘開始，要走邊后才能與乙在某一頂點相遇． 分別討論如下： 第分鐘時，，.甲、乙位置如圖（1）所示，第一次同行時間為分鐘. 第分鐘時，，.甲、乙位置如圖（2）所示，第二次同行的時間為分鐘． 同樣，不難推得后次位置如圖（3）～（8）所示． 所以，第一次相遇前，兩人在同一邊上行走的時間是： （分鐘）. 5.5.8★★某人將一本書的頁碼按，，，…的順序相加，其中有一個頁碼被多加了一次，結(jié)果得到 一個錯誤的總和為，則被多加的頁碼是多少？ 解析 設全書共頁，被多加的頁碼為，則 ，. ① 而 ， 即 . ② 由于，驗算知滿足②的. 代入①得. 5.5.9★★甲、乙兩個糧庫原來各存有整袋的糧食．如果從甲庫調(diào)袋到乙?guī)?，則乙?guī)齑婕Z是甲庫的倍；如果從乙?guī)煺{(diào)若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋叮畣柤讕煸瓉碜钌俅婕Z多少袋？ 解析 設甲庫原來存糧袋，乙?guī)煸瓉泶婕Z袋，依題意可得 . ① 再設乙?guī)煺{(diào)袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋?，? ． ② 由①式得 . ③ 把③代入②，并整理得． 由于，又、是正整數(shù)，從而有，即；并 且整除，又因為與互素，所以整除. 經(jīng)檢驗，可知的最小值為． 5.5.10★★一家機密文件碎紙公司有許多位雇員，這些雇員在輸送帶前排列成一列，分別編號為，， ，…老板接到將一張文件撕碎的任務，他把這份文件撕成塊后交給第號雇員．每當?shù)谔柟蛦T接到前手傳來的一疊紙時，都從中取塊，把每塊再分成塊，然后再傳給第號雇員．若第號雇員接到前手傳來的總塊數(shù)少于塊，但傳給下一位的總塊數(shù)超過塊，請問是多少？ 解析 第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為 （塊）……第次操作完畢后為塊. 當時，； 當時，. 所以，. 5.5.11★★把若干個蘋果分給若干個孩子，如果每人分個，則余個；每人分個，則最后一人分得的蘋果數(shù)不足個，問共有多少個孩子？多少個蘋果？ 解析 如設有個蘋果，個孩子，那么解此題的關鍵是理解“每人分個，則最后一人分得數(shù)不足 個”這句話的含義，此話是蘋果多于個，同時又少于個. 設有蘋果個，小孩子人，則根據(jù)題意，得 于是 解得，，所以小孩子數(shù)為或. 當時，，當時，. 所以，有個孩子，個蘋果，或個孩子，個蘋果． 5.5.12★★★在黑板上從開始，寫出一組連續(xù)的正整數(shù)，然后擦去其中一個數(shù)，剩下來的數(shù)的平均數(shù)是，問擦去的數(shù)是什么數(shù)？ 解析 設在黑板上寫出來的數(shù)是，．…，，擦去的數(shù)是，則，于是 ， . 由題意便得 解得 . 由于是正整數(shù)，且，故只能為，再由，解得，故擦 去的數(shù)是． 5.5.13★★某工廠每天用于生產(chǎn)玩具小狗和小貓的全部勞動力為個工時，原料為個單位．生產(chǎn) 一個小狗要用個工時和個單位的原料；生產(chǎn)一個小貓要用個工時和個單位的原料．問每天生產(chǎn)玩具小狗和小貓的總數(shù)最多是多少？ 解析1 設生產(chǎn)玩具小狗和小貓的數(shù)量分別是和，由已知條件，可以得到兩個不等式： ① 可以分別列出①的第個和第個不等式和的解，然后再找出的最大值. 解析2 將①的第個不等式方程乘與第個不等式相加，得到.即有不等式 ， . ② 解二元一次方程組 得到，是滿足①的一組解，即可以有， . ③ 從①的第一個方程， ， ④ ④式說明最大是，結(jié)合③，所以，．再次利用④ . 因為必須是整數(shù)，所以，.再次利用③，得到． 利用②，得到 . 上式說明最大不超過，③式說明，可以達到.所以，每天生產(chǎn)玩具小狗和小貓的總數(shù)最多可以是個． 5.5.14★★某種商品的原價為元，現(xiàn)有四種調(diào)價方案： （1）先漲價，再降價； （2）先漲價，再降價； （3）先漲價，再降價； （4）先漲價，再降價． 其中.求調(diào)價后售價最高的方案， 解析 第（1）種方案售價為 ； 第（2）種方案售價為 ； 第（3）種方案售價為 ； 第（4）種方案售價為 . 因為，于是有 ， ， 兩式相乘得 ， 即. 又因為，于是有 ， 即.因為 . 顯然既可以大于，又可以小于，還可以等于． 所以，可能有，或. 因此，調(diào)價后售價最高的方案是第（1）方案或第（3）方案， 5.5.15★★某人乘船由甲地順流到乙地，再從乙地逆流回到甲地，如果水流速度和船速保持不變，請你思考，在靜水時用的時間多，還是在有流速時用的時間多？ 解析 設甲地距乙地千米，水流速度為千米／時，船的靜水速度為千米／時． （1）靜水中往返甲、乙兩地，需 （時）； （2）由甲地順流到乙地，再逆流返回甲地，需 （時）， 因為，所以 . 故在靜水時用的時間少． 5.5.16★★一隊公共汽車正在行駛，甲、乙兩個檢查員招呼這列車隊停下來．甲專門統(tǒng)計超載汽車在這車隊中的百分數(shù)，乙專門統(tǒng)計超載乘客在總乘客中的百分數(shù)，他們誰的百分數(shù)大些（規(guī)定超過名乘客就算超載）？ 解析 乙的大. 假設這個車隊中超載公共汽車的輛數(shù)為，未超載的輛數(shù)為，超載的汽車上的乘客人數(shù)為，未超載汽車上的乘客人數(shù)為． 那么依題意有，，兩式變形為，，因此，在不等式的兩端同時加上，于是就得到，兩端同時取倒數(shù)并乘以，就得到 . 這個不等式就表明了超載乘客的百分數(shù)要大于超載汽車輛數(shù)在車隊內(nèi)所占的百分數(shù)．