2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題1 新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第6章 函數(shù)試題1 新人教版 6.1函數(shù)及其圖像 6.1.1 ★已知，求． 解析1 令，則，帶入原式有 ， 所以 ． 解析2 ，所以 6.1.2 ★★若函數(shù)，，求． 解析 只要將滿足的值求出來(lái)，然后代入即可． ， 所以，．因此 6.1.3 ★ 已知函數(shù)，其中、為常數(shù)．若，求． 解析 由題設(shè) 所以 ． 6.1.4 ★★ 函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)、，有．若，求． 解析 設(shè)，令代入已知條件得， 即對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有，所以 ， 所以 ． 6.1.5 ★★ 若對(duì)任意實(shí)數(shù)， 總有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解析 欲使 總有意義，令 則或，對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，于是問(wèn)題等價(jià)于 （1） （2） （3） 由（1）解得：，或； 由（2）解得：不存在； 由（3）解得：． 于是實(shí)數(shù)的取值范圍為，或． 6.1.6 ★★ 若的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，求的取值范圍． 解析 由題意的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，恒有 ． 若，則，，與題意不符； 當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的充要條件是 得． 因此，的取值范圍是． 6.1.7 ★★反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像只能是（ ）． 解析 通過(guò)分析函數(shù)圖像的特征，例如的圖像過(guò)一定點(diǎn)（，0），或者通過(guò)函數(shù)圖像討論常數(shù)的正負(fù)逐步淘汰三個(gè)選擇項(xiàng)，得出結(jié)論． 函數(shù)的圖像過(guò)頂點(diǎn)，而在（A）中直線不過(guò)點(diǎn)，故淘汰（A）中直線不過(guò)點(diǎn)，故淘汰（A）． 在（D）中，直線左高右低，因此；雙曲線在Ⅰ，Ⅲ象限，則，，導(dǎo)致矛盾．故淘汰（D）． 在（C）中，仿前，從直線看，；從雙曲線看，，也導(dǎo)致矛盾．故淘汰（C）． 故選（B）． 6.1.8 ★★ 函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于_________． 解析 原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求方程 ① 的所有實(shí)根之和． 若實(shí)數(shù)為方程①的根，則其相反數(shù)也為方程①的根．所以，方程的所有實(shí)根之和為0，即函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于0． 6.1.9 ★★ 直線過(guò)點(diǎn)、，直線過(guò)點(diǎn)，且把分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)的那部分是一個(gè)三角形，如圖．設(shè)此三角形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并畫出圖像. 解析 因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即． 設(shè)與軸交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，且（這是因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，且不能與點(diǎn)重合），即． ， 故的函數(shù)解析式為 ． 6.1.10 ★★ 已知矩形的長(zhǎng)大于寬的2倍，周長(zhǎng)為12．從它的頂點(diǎn)作一條射線，將矩形分成一個(gè)三角形和一個(gè)梯形，且這條射線與矩形一邊所成角的正切值等于．設(shè)梯形的面積為，梯形中較短的底的長(zhǎng)為，試寫出梯形面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式． 解析 設(shè)矩形的長(zhǎng)大于寬的2倍．由于周長(zhǎng)為12，故長(zhǎng)與寬滿足 ，． 由題意，有如下兩種情形： （1）如圖，這時(shí)， ，， 所以，， =， 其中（這由得出）． （2）當(dāng)時(shí)，由于，故，這時(shí)，．由 ， 得 ， 所以 =， 其中（這由得出）． 6.1.11 ★★ 已知二次函數(shù)，且方程與有相同的非零實(shí)根． （1）求的值； （2）若，解方程． 解析 （1）設(shè)的兩根為、，且，則 ， ． 于是，的兩根為、，且．所以，，即． 因此， （2）由（1）得． 又，則， 解之得或， 于是，的兩組解為 或 6.1.12 ★★ 如果函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，求，，之間的大小關(guān)系． 解析 對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，因此的圖像的對(duì)稱軸是． 的圖像是開(kāi)口向上的拋物線，因此當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大．于是有 ．但由對(duì)稱性知，故 ． 6.1.13 ★ 如圖所示，、分別表示一種白熾燈和一種節(jié)能燈費(fèi)用（費(fèi)用=燈的售價(jià)+電費(fèi)，單位：元）與照明時(shí)間的函數(shù)圖像．假設(shè)兩種燈的使用壽命都是，照明效果一樣． （1）根據(jù)圖像分別求出、的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)照明時(shí)間為多少時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等？ （3）小亮房間計(jì)劃照明，他是買白熾燈省錢還是買節(jié)能燈省錢？ 解析 （1）設(shè)直線的解析式為．由圖像得，解得．所以，的解析式為 ． 設(shè)直線的解析式為．由圖像得 ， 解得．所以，的解析式為 ． （2）當(dāng)時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等，這時(shí)有 ， 解得，所以，當(dāng)照明時(shí)間為時(shí)，兩種燈的費(fèi)用相等． （3）當(dāng)時(shí)，，所以他買節(jié)能燈省錢． 6.1.14 ★★ 通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽(tīng)課的注意例指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課施加你的變化而變化的，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣漸增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開(kāi)始分賽．學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)隨時(shí)間（分鐘）變化的函數(shù)圖像如圖所示（越大表示學(xué)生注意力越集中）．當(dāng)時(shí)，圖像是拋物線的一部分，當(dāng)和時(shí)，圖像是線段． （1）當(dāng)時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式； （2）一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題需要講解24分鐘．問(wèn)老師能否講過(guò)適當(dāng)安排。使學(xué)生在 聽(tīng)這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36． 解析 （1）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為，由于它的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、，所以 解得，，，． 所以 ，． （2）當(dāng)時(shí)， 所以，當(dāng)時(shí)，令，得 ， 解得，（舍去）； 當(dāng)時(shí)，令，得，解得 ． 因?yàn)?，所以，老師可以?jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)陌才?，在學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù)不低于36時(shí)，講授完這道競(jìng)賽題． 6.2 一次函數(shù) 6.2.1 ★★ 四一次函數(shù)， （1）若，求函數(shù)的表達(dá)式； （2）若，且，求函數(shù)的表達(dá)式． 解析（1）設(shè)．因?yàn)? ， 又因?yàn)? ． 所以解得所以或． （2）設(shè)．因?yàn)?，所? ① 因?yàn)?，，所? ． ② 由①得，代入②得 ． 得，則．所以． 6.2.2 ★★ 求證：一次函數(shù)的圖像對(duì)一切有意義的恒過(guò)一定點(diǎn)，并求這個(gè)定點(diǎn)． 解析 由一次函數(shù)得 ， ． 因?yàn)榈仁綄?duì)一切有意義的成立，所以得 解得 當(dāng)，時(shí)，一次函數(shù)解析式變?yōu)楹愕仁?，所以函?shù)圖像過(guò)定點(diǎn)． 6.2.3 ★★ 已知、、為常數(shù)。，并且，求． 解析 用代換原方程的，得 ． ① 用代換原方程中的，得 ② 得 ． 因?yàn)?，所? ． 所以 ． 6.2.4 ★ 某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回千米（），再前進(jìn)千米。則此人。離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的人關(guān)系示意圖是（ ） 解析 因?yàn)閳D（A）沒(méi)有反映休息所消耗的時(shí)間；圖（D）沒(méi)有反映沿原路返回的一段路程；圖（B）盡管表明了折返后的變化，但沒(méi)有表示消耗的時(shí)間．上述三圖均有誤，故選（C）． 6.2.5 ★★ 已知一次函數(shù)的隨的值增大而增大，它的圖像與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形的面積不超過(guò)．反比例函數(shù)的圖像在二、四、象限．求滿足上述條件的的整數(shù)值． 解析 由一次函數(shù)的隨的值增大而增大，可知，解得 ① 又它的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則它的圖像與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的直角三角形的面積是 ， 得． ② 而反比例函數(shù)的圖像在第二、四象限，則，即 ③ 綜合①、②、③得． 所以滿足題意的的整數(shù)值為1、2． 6.2.6 ★★ 已知函數(shù)，當(dāng)自變量的取值范圍為時(shí)，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解析 顯然．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是一條左低右高的線段，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等價(jià)條件是對(duì)應(yīng)的函數(shù)值大于5，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于3．當(dāng)時(shí)，已知函數(shù)的圖像是一條左高右低的線段，可類似討論． 的圖像是一條線段，故既能取到大于5的值，又能取到小于3的值的等價(jià)條件是 或 或 即的取值范圍為． 6.2.7 ★★ 如圖，設(shè)，其中，記在的最小值為，求及其最大值，并作的圖像． 解析 ．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，為遞增函數(shù)或常數(shù)函數(shù)，在上最小值；當(dāng)時(shí)，，為遞增函數(shù)在上的最小值為 ． 所以 因此在上為遞增函數(shù)；在上為遞增函數(shù)，故的最大值為． 6.2.8 ★設(shè)有兩直線，相交于點(diǎn)，它們與軸的交點(diǎn)為、．求中邊上的中線的方程． 解析 如圖所示，在，中分別令，即可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、． 解方程組 得交點(diǎn)的坐標(biāo)（3，4）． 再設(shè)中線為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得．由于、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，均為3，故中線的直線方程為． 評(píng)注 平行于軸（或垂直于軸）的直線方程為；平行于軸（或垂直于）的直線方程為． 6.2.9 ★★★已知函數(shù)． （1）求證：無(wú)論取何實(shí)數(shù)時(shí)，這些函數(shù)圖像恒過(guò)某一定點(diǎn)； （2）當(dāng)在范圍內(nèi)變化時(shí)，在內(nèi)變化，求實(shí)數(shù)的值． 解析 （1）設(shè)． 將它變?yōu)? ． 令 解方程，得 即這些直線恒過(guò)定點(diǎn)． （2）當(dāng)時(shí)，，不合題意； 當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)隨著的增大而增大，因此， 解方程組，得． 當(dāng)時(shí)，，一次函數(shù)隨著的增大而減小，因此， 方程組無(wú)解． 故實(shí)數(shù)的值為． 評(píng)注 由（1）知，無(wú)論取何實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，這些直線稱為直線系． 6.2.10 ★★ 一個(gè)一次函數(shù)的圖像與直線平行，與軸、軸的交點(diǎn)分別為、，并且過(guò)點(diǎn)，則在線段上（包括端點(diǎn)、），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有（ ）． （A）4個(gè)（B）5個(gè) （C）6個(gè) （D）7個(gè) 解析 設(shè)，由，得，所以，．所以、． 由，，取，7，11，15，19時(shí)，是整數(shù)． 因此，在線段上（包括端點(diǎn)、），橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有5個(gè)． 故選（B）． 6.2.11 ★★ 如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（15，6）直線恰好將矩形分成面積相等的兩部分，求的值． 解析 設(shè)矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，則是它的對(duì)稱中心，點(diǎn)坐標(biāo)為（7.5，3）．過(guò)矩形對(duì)稱中心的直線，總是將矩形分成面積相等的兩部分．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得（或0.5）． 6.2.12 ★★★ 設(shè)有直線過(guò)點(diǎn)，且在第一象限與兩坐標(biāo)軸圍城的三角形的面積為最?。ㄈ鐖D）．求此直線的方程． 解析 設(shè)直線的方程為，它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為、，它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則有，，，這里，． ． 由于， 且不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即（由于）時(shí)成立，得最小面積為2，此時(shí)，所以，直線的方程為 ． 評(píng)注 由于，所以，這里，．此不等式是一個(gè)應(yīng)用很廣的不等式，且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立． 6.2.13 ★★ 在直角坐標(biāo)系中，軸上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)，的距離分別為何，那么當(dāng)取最小值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)． 解析 作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，于是有 解出，． 故直線的解析式為． 令，解出即為所求． 下面證明使取最小值． 在軸上任取一點(diǎn)，連結(jié)、、，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，易知軸為的垂直平分線． 于是，．由三角形不等式可知． 又，所以 ， 即使取最小值． 6.3 二次函數(shù) 6.3.1 ★★ （1）設(shè)拋物線，把它向右平移個(gè)單位，或向下平移個(gè)單位，都能使得拋物線與直線恰好有一個(gè)交點(diǎn)，求、的值； （2）把拋物線向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，則得到的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3）與（4，9），求、的值； （3）把拋物線向左平移三個(gè)單位，向下平移兩個(gè)單位后，所得圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)的拋物線，求原二次函數(shù)的解析式． 解析 （1）拋物線向右平移個(gè)單位后，得到的拋物線為．于是方程有兩個(gè)相同的根，即方程 的判別式 所以．這時(shí)的交點(diǎn)為． 拋物線向下平移個(gè)單位，得到拋物線．于是方程 有兩個(gè)相同的根，即 ， 所以．這時(shí)的交點(diǎn)為． （2）把向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，得到拋物線為． 于是，由題設(shè)得 解得，，即拋物線向右平移了兩個(gè)另個(gè)單位，向上平移了一個(gè)單位． （3）首先，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可求得． 設(shè)原來(lái)的二次函數(shù)為，由題設(shè)知 解得，．原二次函數(shù)為 ． 評(píng)注 將拋物線向右平移個(gè)單位，得到的拋物線是；向左平移個(gè)單位，得到的拋物線是；向上平移個(gè)單位，得到；向下平移個(gè)單位，得到． 6.3.2 ★★ 已知拋物線的一段圖像如圖所示． （1）確定、、的符號(hào)； （2）求的取值范圍． 解析 （1）由于拋物線開(kāi)口向上，所以．又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，從而，結(jié)合便知．所以，，． （2）記．由圖像及（1）知 即 所以 ， 6.3.3 ★ 一條拋物線的頂點(diǎn)為，且與軸的兩個(gè)焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)為一正一負(fù)，則、、中為整數(shù)的（ ） （A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）只有和 解析 由頂點(diǎn)為，拋物線交軸于兩點(diǎn)，知． 設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為標(biāo)為、，即為方程的兩個(gè)根． 由題設(shè)，知，所以． 根據(jù)對(duì)稱軸，即有，知． 故知結(jié)論（A）是正確的． 6.3.4 ★★ 已知二次函數(shù)（其中是正整數(shù)）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，并且與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的最大值. 解析 由于二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)、，所以 解得 因?yàn)槎魏瘮?shù)圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，，即，由于是正整數(shù)，故． 所以．又因?yàn)?，且?dāng)，，時(shí)，，滿足題意，故的最大值為． 6.3.5 ★★ 的三個(gè)頂點(diǎn)、、均在拋物線上，并且斜邊平行軸．若斜邊上的高為，則（ ） （A） （B） （C） （D） 解析 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由勾股定理，得 ， ， ， 所以． 由于，所以，故斜邊上高．故選（B） 6.3.6 ★★ 在直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，若、兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為、，且滿足，求的值． 解析 設(shè)方程的兩根分別為、，且，則有 ，． 所以，，由，可知，又，所以，拋物線的對(duì)稱軸在軸的左側(cè)，于是，．所以 ， ， 故 ． 解得． 6.3.7 ★ 不論取任何實(shí)數(shù)，拋物線 的頂點(diǎn)都在一條直線上．求這條直線的函數(shù)解析式． 解析 將二次函數(shù)變形為，知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 消去，得 ． 所以 ． 6.3.8 ★ 設(shè)、為常數(shù)，并且，拋物線的圖像為圖中的四個(gè)圖像之一．求． 解析 由，知對(duì)稱軸不是，所以拋物線的圖像必為后兩個(gè)圖像之一．于是， ． 解得 ，． 易知后兩個(gè)圖像的對(duì)稱軸為，得．所以，． 6.3.9 ★★ 已知拋物線（其中）不經(jīng)過(guò)第二象限． （1）判斷這條拋物線的頂點(diǎn)所在的象限，并說(shuō)明理由； （2）若經(jīng)過(guò)這條拋物線頂點(diǎn)的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求拋物線的解析式． 解析 （1）因?yàn)槿?，則拋物線開(kāi)口向上，于是拋物線一定經(jīng)過(guò)第二象限，所以當(dāng)拋物線的圖像不經(jīng)過(guò)第二象限時(shí)，必有．又當(dāng)時(shí)，，即拋物線與軸的交點(diǎn)為．因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過(guò)第二象限，所以．于是 ， ， 所以頂點(diǎn)在第一象限． （2）由于點(diǎn)在拋物線，所以 ， 所以．于是點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)的坐標(biāo)為．由于點(diǎn)在直線上，所以，所以．又由于直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以．拋物線的解析式為． 6.3.10 ★★ 設(shè)二次函數(shù)滿足條件：，，且其圖像在軸上所截得的線段長(zhǎng)為，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式． 解析 由，，得 即，．因此所求的二次函數(shù)是 ． 由于二次函數(shù)的圖像在軸上所截得的線段長(zhǎng)，就是方程兩根差的絕對(duì)值，而這二次方程的兩根為 ， 于是 ， 即， ， 或． 因此所求的二次函數(shù)表達(dá)式為 或． 6.3.11 ★★ 設(shè)二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最大值10，并且它的圖像在軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求、、的值． 解析 當(dāng)時(shí)，取得最大值10的二次函數(shù)可寫成，且． 因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是，又因?yàn)閳D像在軸上截得線段長(zhǎng)是4，所以由對(duì)稱軸性。圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是1、5．因此，二次函數(shù)又可寫成 的形式，從而 ， ． 所以 ． 因此，，，． 6.3.12 ★★ 如圖，點(diǎn)、在函數(shù)的圖像上，點(diǎn)、都在軸上，使得、都是等邊三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析 如圖，過(guò)點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、，設(shè)，，則，，所以，點(diǎn)、的坐標(biāo)為 ． 所以 解得于是，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 6.3.13 ★★ 已知點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，若二次函數(shù)的圖像與線段恰有一個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍． 解析 設(shè)，由，得；由，得，此時(shí)，，符合題意；由，得，此時(shí)，，不符合題意． 令，由判別式，得． 當(dāng)時(shí)，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意． 綜上所述，的取值范圍是或者． 6.3.14 ★★ 已知關(guān)于正整數(shù)的二次式（為實(shí)常數(shù)）．若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解析 由于對(duì)于實(shí)數(shù)，有， 其圖像對(duì)稱軸為． 當(dāng)可以取正整數(shù)時(shí)，且當(dāng)且僅當(dāng)使得有最小值．于是必有對(duì)稱軸在與之間，且偏于，即 ， 得． 所以，的取值范圍是． 6.3.15 ★★ 已知，的圖像與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、，且 ， 求的值． 解析 首先，由，得或．由題意，可設(shè) ， 則 ， ， 所以 ， 解得，或者（舍去）． 故． 6.3.16 ★★ 已知二次函數(shù)， 求所有的值，使得此二次函數(shù)圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)不可能都落在軸的正半軸上． 解析 根據(jù)題意，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求當(dāng)方程 的兩根中至少有一根為非正數(shù)時(shí)的值． 因?yàn)榇朔匠谈呐袆e式為 ， 所以此方程必有兩實(shí)根，即函數(shù)與軸必有兩個(gè)焦點(diǎn)． 運(yùn)用方程根與系數(shù)的關(guān)系得方程的兩根、滿足 ， 當(dāng)時(shí)，，則方程有且只有一個(gè)根的負(fù)數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，但，則、均為非正數(shù)． 所以，滿足要求的為一切實(shí)數(shù)． 評(píng)注 在處理有關(guān)二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為二次方程根的問(wèn)題予以解決．反過(guò)來(lái)，在處理有關(guān)二次方程根的問(wèn)題時(shí)，常常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)及其圖像的問(wèn)題加以解決．二次函數(shù)與二次方程“相得益彰”，它們是相通的． 6.3.17 ★★ 設(shè)有二次函數(shù)與軸交于兩點(diǎn)、，現(xiàn)有直線過(guò)其中一交點(diǎn)且與拋物線交于另一點(diǎn)，又若，求拋物線的方程． 解析 由已知條件知，其中一交點(diǎn)．為二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)．如圖所示． 故，且即為方程的兩根之差的絕對(duì)值． ． 的高為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值．解方程組 由②知代入①，得 ． 而，故此方程即，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．由于，故 ． 解方程組 得 所以，拋物線的方程為或． 6.3.18 ★★ 已知二次函數(shù)，求證：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，這些二次函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)、，并求出，的坐標(biāo)． 解析 將式子，整理成關(guān)于的式子為 ． 令 解方程組，得 則、． 6.3.19★★ 設(shè)、是拋物線上的點(diǎn)，原點(diǎn)位于線段的中點(diǎn)處．試求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)． 解析如圖，設(shè)．因原點(diǎn)是的中點(diǎn)，知和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即． 又、是拋物線上的點(diǎn)，分別將它們代入拋物線的方程，得 解得或． 所以、或、． 6.3.20 ★★ 已知二次函數(shù) （1）隨著的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是否都在某條拋物線上？如果是，請(qǐng)求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）如果直線經(jīng)過(guò)二次函數(shù) 圖象的頂點(diǎn)，求此時(shí)的值． 解析（1）將二次函數(shù)配方，得 ， 所以頂點(diǎn)坐標(biāo)． 方法1：分別取，，1，得到三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)、、．過(guò)這三個(gè)頂點(diǎn)的二次函數(shù)的表達(dá)式是． 將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入的左右兩邊，經(jīng)檢驗(yàn)，左邊=右邊． 因此，無(wú)論塒取何值，頂點(diǎn)都在拋物線上． 方法2：令，． 將代入，得 ． 故點(diǎn)所在的拋物線的函數(shù)表達(dá)式是． （2）如果頂點(diǎn)在直線上，則 ， 即． 故或． 所以，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)二次函數(shù) 圖象的頂點(diǎn)時(shí)，的值是或0． 6.3.21 ★★ 設(shè)有整系數(shù)二次函數(shù)，其圖象開(kāi)口方向朝上，且與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別在、內(nèi)，且，的判別式等于5，試求、、的值． 解析 依題意知，如圖所示． 設(shè)，的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為、，且，則，． 由于， 所以 ．① ．② 由于，所以 ．③ 由②、③知，故． 由于為正整數(shù)，且由①知為貧整數(shù)，從而，于是判別式 ， 且當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立． 所以，，，． 即． 6.3. 22 ★★★ 求所有的整系數(shù)二次函數(shù)，使得，． 解析 由題設(shè)得 ， ① ． ② ②一①，得 ， ， 因?yàn)?，所以，故，令，是整?shù)，則 ， ， 所以， 故，，． 于是，，，，進(jìn)而可得 ，．． 所以，滿足題設(shè)的二次函數(shù)為，，． 6.3.23 ★★★ 已知二次函數(shù) 的圖象恒不在軸下方，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解析 由題設(shè)知，恒成立，所以， ，且． 記，則 ， 當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，不等式等號(hào)成立，從而的最小值為3，于是，的取值范圍是． 6.3. 24 ★★★ 已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，并且，．證明： （1）； （2）． 解析（1）由韋達(dá)定理知 ． （2）設(shè)，則的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，且與軸的兩交點(diǎn)在與2 之間，所以，即 ， ， 所以 ， 故 評(píng)注 利用二次函數(shù)的圖象來(lái)研究二次方程的根以及系數(shù)之間的關(guān)系，是一種行之有效的方法． 6.3.25 ★★★ 設(shè)函數(shù)，，這里以是正整數(shù)，則在的值域中有多少個(gè)整數(shù)？ 解析 解決本例需先確定函數(shù)的值域，因?yàn)榈膱D象是一段拋物線弧，因此確定值域只需求出的最大值與最小值． 函數(shù)圖象（拋物線）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，且拋物線開(kāi)口向上，故函數(shù)的圖象（一段拋物線?。┰谇笆鰭佄锝q對(duì)稱軸的右側(cè)（如圖），其中和為示意位置，實(shí)線表示的圖象． 故）的最大值為，最小值為，而值域?yàn)椋渲械恼麛?shù)，，…，，共有 （個(gè)）． 6.3. 26 ★★★ 設(shè)、為正整數(shù)，且，如果對(duì)一切實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離不小于，求、的值． 解析 因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛謩e為和，所以二次函數(shù) 的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為． 由題意，，即，即 由題意知，，且上式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以 所以或 6.3.27 ★★★ 設(shè)、為正整數(shù)，且，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為．如果對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求、的值． 解析 因?yàn)橐辉畏匠痰膬筛謩e為和，所以； 一元二次方程的兩根分別為和，所以． 所以， ． ① 由題意知，，且①式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，所以 所以或 6.3. 28★★★已知函數(shù) 有最大值，求實(shí)數(shù)的值， 解析 因?yàn)? ，， 它的對(duì)稱軸是直線，于是必須根據(jù)值是否在的范圍內(nèi)分三種情況討論． （1）若，即時(shí)，隨著的增加而減少．這時(shí)，的最大值，即．由 得．因，故． （2）若，即時(shí)，的最大值為，即．由得，這與矛盾． （3）若，即時(shí)，隨著增加而增加，這時(shí)的最大值是，即．由，得．得．因?yàn)?，故? 綜上所述，滿足題意的為廂或． 6.3.29設(shè)、是實(shí)常數(shù)，當(dāng)是取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù) 的圖象與軸都交于點(diǎn)． （1）求、6的值； （2）若函數(shù)圖象與軸的另一交點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，求的最大值． 解析（1）由題設(shè)知，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上， 所以 ， ． 上面這個(gè)關(guān)于的一次方程有無(wú)窮多個(gè)解，所以 解得，． （2）由（1）知，，，這時(shí)函數(shù)為 ． 設(shè)點(diǎn)，則．由韋達(dá)定理知 ， ， 所以， ， 所以 ， 所以 ． 又當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，． 所以，的最大值為2． 6.3.30 ★★ 若拋物線與連結(jié)兩點(diǎn)、的線段（包括、兩點(diǎn)）有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，求的取值范圍． 解析 易知過(guò)點(diǎn)、的直線方程為．而拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)就是方程 在0上有兩個(gè)不相等的實(shí)根． 令，則有 解得 ． 評(píng)注 利用二次函數(shù)的圖象來(lái)研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段． 6.3.31 ★★ 當(dāng)取遍0到5的所有實(shí)教時(shí)，求滿足 的整數(shù)6的個(gè)數(shù)． 解析 由題設(shè)等式，得 ． 它的圖象是以為頂點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線，當(dāng)時(shí)，在處取最小值，在處取最大值． 所以 ， 所以，，1，2，…，10，11． 滿足題設(shè)條件的整數(shù)共有13個(gè)． 6.3.32 ★★ 設(shè)，，且、都是整數(shù)．已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． （1）求證：（這表示不能被整除），且是負(fù)整數(shù)； （2）在取整數(shù)所得的所有函數(shù)值，中，使取最小值的是多少？ 解析 （1）拋物線開(kāi)口向上，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．又由題設(shè)可知在的范圍內(nèi)有一個(gè)實(shí)根．因此該拋物線還經(jīng)過(guò)點(diǎn)（如圖）． 注意到的兩根是和，故．由于，故，且由知必是負(fù)整數(shù)． （2）因拋物線的對(duì)稱軸是，而，．因此在所有整數(shù)中，到的距離最小的是8．從而當(dāng)取整數(shù)時(shí)，使取最小值的必是． 6.3.33 ★★ 在坐標(biāo)平面上，縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．試在二次函數(shù)的圖象上找出滿足的所有整點(diǎn)，并說(shuō)明理由． 解析 由題意得 ， 即有 ． ① 當(dāng)時(shí)，式①化為 ， 得 2． 又， 則滿足及均是整數(shù)的有，；，；，；，． 當(dāng)時(shí)，式①化為 ， 得． 則滿足及均是整數(shù)的有，；，． 所以滿足題中要求的整點(diǎn)是 、、、、、． 6.3.34 ★★ 坐標(biāo)平面上，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如果將二次函數(shù)與軸所圍成的封閉圖形涂成紅色，求在此紅色區(qū)域內(nèi)部及其邊界上的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解析 與軸有兩個(gè)交點(diǎn)和，軸上在與之間共有5個(gè)整數(shù)：2、 3、 4、 5、6． 將函數(shù)改寫為． 當(dāng)，有，滿足的整數(shù)有0、1、2，共3個(gè)； 當(dāng)，有等，滿足等的整數(shù)有0，1，…．5．共6個(gè)； 當(dāng)，有，滿足的整數(shù)有0，1，…，6，共7個(gè)； 當(dāng)，有等，滿足的整數(shù)有0，1，…，5，共6個(gè)； 當(dāng)，有，滿足的整數(shù)有0、1、2，共3個(gè)． 共得25個(gè)整點(diǎn)，