2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)18 解三角形應(yīng)用舉例（文、理）（含詳解13高考題） .doc

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2019年高考數(shù)學(xué)新一輪復(fù)習(xí) 詳細(xì)分類題庫(kù) 考點(diǎn)18 解三角形應(yīng)用舉例（文、理）（含詳解，13高考題） 一、填空題 1. (xx福建高考理科T13)如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC, sin∠BAC=,AB=,AD=3,則BD的長(zhǎng)為　　　　　　　　. 【解題指南】顯然,sin∠BAC=cos∠BAD,用余弦定理. 【解析】sin∠BAC===cos∠BAD, 在△BAD中,BD2=AB2+AD2-2ABADcos∠BAD=18+9-23=3, 所以BD=. 【答案】 二、解答題 2.（xx重慶高考理科Ｔ20）在△中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，且． （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)，，求的值． 【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，由和差公式及的值通過(guò)化簡(jiǎn)可求出的值. 【解析】（Ⅰ）因?yàn)? 由余弦定理有故. （Ⅱ）由題意得 因此 ① 因?yàn)?所以 因?yàn)榧? 解得 由①得, 解得或. 3. （xx重慶高考文科Ｔ18）在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab. （Ⅰ）求； （Ⅱ）設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時(shí)B的值. 【解題指南】直接利用余弦定理可求出的值，再利用正弦定理求解S+3cosBcosC的最大值，并指出此時(shí)的值. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得 又因?yàn)?所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）得又有正弦定理及得 因此, 所以,當(dāng),即時(shí), 取最大值 4. （xx山東高考理科Ｔ17）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=. （1）求a，c的值； （2）求sin（A-B）的值. 【解題指南】（1）先由余弦定理可得到ac的關(guān)系式，再和已知a+c=6聯(lián)立方程，可得a，c的值；（2）由知，需先求出sinA,sinB,cosA,cosB的值，可先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出sinB,然后由正弦定理求出sinA，進(jìn)而求得cosA，從而本題得解. 【解析】（1）由與余弦定理得，得 又a+c=6，b=2，cosB=，所以ac=9，解得a=3,c=3. （2）在△ABC中，, 由正弦定理得. 因?yàn)閍=c，所以A為銳角. 所以. 因此. 5.（xx福建高考文科Ｔ21）如圖,在等腰直角中,, ,點(diǎn)在線段上. （I）若,求的長(zhǎng); （II）若點(diǎn)在線段上,且,問(wèn):當(dāng)取何值時(shí),的面積最小?并求出面積的最小值. 【解題指南】由等腰知，此時(shí)，可解；第(II)問(wèn),按“求什么設(shè)什么”列式求解，將面積表達(dá)式寫(xiě)出，利用三角函數(shù)計(jì)算公式求解。 【解析】（Ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得，，得，解得或． （Ⅱ）設(shè)，， 在中，由正弦定理，得， 所以， 同理 故 因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)的面積取到最小值．即時(shí)，的面積的最小值為． 6.(xx江蘇高考數(shù)學(xué)科T18)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車(chē)到B,在B處停留1min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min,山路AC長(zhǎng)為1260m,經(jīng)測(cè)量, ，. (1)求索道AB的長(zhǎng). (2)問(wèn):乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 【解題指南】(1)利用正弦定理確定出AB的長(zhǎng).(2)先設(shè)再建立時(shí)間t與甲、乙間距離d的函數(shù)關(guān)系式,利用關(guān)系式求最值.(3)利用條件“使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘”建立不等式求解. 【解析】(1)在△ABC中,因?yàn)閏osA=,cosC=,所以sinA=,sinC=. 從而sinB=sin[π-(A+C)] =sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC =， 由正弦定理=,得 AB=sinC= =1040(m). 所以索道AB的長(zhǎng)為1040m. (2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50), 因0≤t≤,即0≤t≤8, 故當(dāng)t= (min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短. (3)由正弦定理=,得BC=sinA==500(m). 乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50(2+8+1)=550(m),還需走710m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為vm/min,由題意得-3≤ ≤3,解得 所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在[，] (單位:m/min)范圍內(nèi).