【試卷解析】福建省漳州市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

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1、 福建省漳州市2014-2015學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正確的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪?=? D． {﹣1}?{x|x＜0} 2．（5分）如果和是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中正確的是（） A． = B． ?=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 3．（5分）函數(shù)f（x）=lg（1﹣x）的定義域為（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1

2、] 4．（5分）與﹣463終邊相同的角可以表示為（k∈Z）（） A． k?360+463 B． k?360+103 C． k?360+257 D． k?360﹣257 5．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，則下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 6．（5分）已知向量，滿足||=||=2，與的夾角為120，則|﹣|的值為（） A． 1 B． C． D． 12 7．（5分）函數(shù)f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0）

3、 8．（5分）已知函數(shù)，則它的一條對稱軸方程為（） A． B． x=0 C． D． 9．（5分）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點（） A． 向左平移個單位縱坐標不變 B． 向左平移個單位縱坐標不變 C． 向右平移個單位縱坐標不變 D． 向右平移個單位縱坐標不變 10．（5分）函數(shù)f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的圖象可能是（） A． B． C． D． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C． ﹣4 D． ﹣1 12．（5分）已知函數(shù)f（x）=x，g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，g（x）=

4、x2﹣2x．記．給出下列關(guān)于函數(shù)F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的說法： ①當(dāng)x≥3時，F(xiàn)（x）=x2﹣2x； ②函數(shù)F（x）為奇函數(shù)； ③函數(shù)F（x）在[﹣1，1]上為增函數(shù)； ④函數(shù)F（x）的最小值為﹣1，無最大值． 其中正確的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置． 13．（4分）已知函數(shù)f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}，其對應(yīng)關(guān)系如下表所示，則f（f（4））=． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 1

5、4．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，則x=． 15．（4分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一個周期的圖象如圖所示．則函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=． 16．（4分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（tanx）=，則f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=． 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 18．（12分）已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式；

6、 （Ⅱ）求f（x）在的值域． 19．（12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的最值及取得最值時自變量x的取值． 20．（12分）某企業(yè)擬用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品可分別獲得y1，y2萬元的利潤，利潤曲線P1，P2如圖所示．問怎樣分配投資額，才能使投資獲得最大利潤？ 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化簡f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值． 22．（14分）已知函數(shù)為奇函數(shù)． （Ⅰ）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的

7、解析式； （Ⅱ）當(dāng)a=﹣2時，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實數(shù)t的最小值； （Ⅲ）當(dāng)a≥1時，求證：函數(shù)g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 福建省漳州市2014-2015學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的． 1．（5分）下列式子中，不正確的是（） A． 3∈{x|x≤4} B． {﹣3}∩R={﹣3} C． {0}∪?=? D． {﹣1}?{x|x＜0} 考點： 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．

8、專題： 集合． 分析： 本題的關(guān)鍵是正確認識元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系． 解答： 解：對于A，3≤4，故A正確 對于B，{﹣3}∩R={﹣3}，故B正確 對于C，{0}∪?={0}，故C錯誤 對于D，﹣1＜0，故D正確 故答案為：C 點評： 本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎(chǔ)題．要正確判斷兩個集合間的關(guān)系，必須對集合的相關(guān)概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，認清集合的特征． 2．（5分）如果和是兩個單位向量，那么下列四個結(jié)論中正確的是（） A． = B． ?=1 C． 2≠2 D． ||2=||2 考點： 平面向量數(shù)量積的運算． 專題： 平面向量及應(yīng)

9、用． 分析： 利用單位向量的定義和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出． 解答： 解：∵和是兩個單位向量， ∴． 故選：D． 點評： 本題考查了單位向量的定義和數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 3．（5分）函數(shù)f（x）=lg（1﹣x）的定義域為（） A． [0，1） B． （0，1） C． （0，1] D． [0，1] 考點： 函數(shù)的定義域及其求法． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出f（x）的定義域． 解答： 解：要使函數(shù)f（x）的解析式有意義，得： 解得：0≤x＜1； 所以原函數(shù)的定義域是：[0，1）．

10、 故選：A 點評： 本題考查了求函數(shù)定義域的問題，解題時應(yīng)根據(jù)函數(shù)的解析式，列出使解析式有意義的不等式組，從而求出定義域，是基礎(chǔ)題． 4．（5分）與﹣463終邊相同的角可以表示為（k∈Z）（） A． k?360+463 B． k?360+103 C． k?360+257 D． k?360﹣257 考點： 終邊相同的角． 專題： 計算題． 分析： 直接利用終邊相同的角的表示方法，寫出結(jié)果即可． 解答： 解：與﹣463終邊相同的角可以表示為：k?360﹣463，（k∈Z） 即：k?360+257，（k∈Z） 故選C 點評： 本題考查終邊相同的角，是基礎(chǔ)題． 5

11、．（5分）已知a，b∈R，若a＞b，則下列不等式成立的是（） A． lga＞lgb B． 0.5a＞0.5b C． D． 考點： 不等式比較大?。? 專題： 不等式的解法及應(yīng)用． 分析： A．通過a，b取特殊值，即可得出選項的正誤； B．由a＞b，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出，不正確； C．通過a，b取特殊值，即可得出選項的正誤； D．利用函數(shù)f（x）=在R上單調(diào)遞增即可得出，正確． 解答： 解：對于A．取a=﹣1，b=﹣2，無意義，不正確； 對于B．∵a＞b，∴0.5a＜0.5b，不正確； 對于C．取a=﹣1，b=﹣2，無意義，不正確； 對于D．由于函數(shù)f（x

12、）=在R上單調(diào)遞增，又a＞b，因此，正確． 故選：D． 點評： 本題考查了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性，不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題． 6．（5分）已知向量，滿足||=||=2，與的夾角為120，則|﹣|的值為（） A． 1 B． C． D． 12 考點： 平面向量數(shù)量積的運算． 專題： 計算題；平面向量及應(yīng)用． 分析： 運用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，由完全平方公式計算即可得到． 解答： 解：由向量與的夾角為120，||=||=2， 則=22cos120=﹣2， 即有||== ==2． 故選B． 點評： 本題考查向量的數(shù)量積的

13、定義和性質(zhì)，主要考查向量的平方即為模的平方，屬于基礎(chǔ)題． 7．（5分）函數(shù)f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（） A． （1，2） B． （0，1） C． （﹣2，﹣1） D． （﹣1，0） 考點： 函數(shù)零點的判定定理；二分法求方程的近似解． 專題： 計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 易知函數(shù)f（x）=3x+x﹣2在R上單調(diào)遞增且連續(xù)，從而由函數(shù)的零點的判定定理求解． 解答： 解：易知函數(shù)f（x）=3x+x﹣2在R上單調(diào)遞增且連續(xù)， 且f（0）=1+0﹣2=﹣1＜0， f（1）=3+1﹣2=2＞0； 故函數(shù)f（x）=3x+x﹣2的零點所在的一個區(qū)間是（

14、0，1）； 故選B． 點評： 本題考查了函數(shù)的零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題． 8．（5分）已知函數(shù)，則它的一條對稱軸方程為（） A． B． x=0 C． D． 考點： 正弦函數(shù)的圖象． 專題： 計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用正弦函數(shù)的對稱性，可知2x+=kπ+（k∈Z），k賦值為0即可求得答案． 解答： 解：由2x+=kπ+，得x=+（k∈Z）， 令k=0，得x=， ∴它的一條對稱軸方程為x=， 故選：C． 點評： 本題考查正弦函數(shù)的對稱性，熟練掌握正弦函數(shù)的對稱軸方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 9．（5分）要得到函數(shù)的圖象

15、，只需將函數(shù)的圖象上所有點（） A． 向左平移個單位縱坐標不變 B． 向左平移個單位縱坐標不變 C． 向右平移個單位縱坐標不變 D． 向右平移個單位縱坐標不變 考點： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 由條件利用誘導(dǎo)公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論． 解答： 解：將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位縱坐標不變， 可得函數(shù)y=sin（x+）=sin（+）=cos（﹣）=cos（﹣）的圖象， 故選：A． 點評： 本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)

16、題． 10．（5分）函數(shù)f（x）=ax﹣（a＞0，a≠1）的圖象可能是（） A． B． C． D． 考點： 函數(shù)的圖象． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷函數(shù)恒經(jīng)過點（﹣1，0），問題得以解決． 解答： 解：當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=ax﹣，為減函數(shù)， 當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=ax﹣，為增函數(shù)， 且當(dāng)x=﹣1時f（﹣1）=0，即函數(shù)恒經(jīng)過點（﹣1，0）， 故選：D 點評： 本題主要考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)恒經(jīng)過點是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 11．（5分）sinπ+cosπ的值是（） A． 4 B． 1 C．

17、 ﹣4 D． ﹣1 考點： 對數(shù)的運算性質(zhì)；二倍角的正弦． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 利用對數(shù)運算法則和二倍角的正弦公式求解． 解答： 解：sinπ+cosπ = = = = =﹣4． 故選：C． 點評： 本題考查對數(shù)的運算，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意正弦二倍角公式的合理運用． 12．（5分）已知函數(shù)f（x）=x，g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，g（x）=x2﹣2x．記．給出下列關(guān)于函數(shù)F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R）的說法： ①當(dāng)x≥3時，F(xiàn)（x）=x2﹣2x； ②函數(shù)F（x）為奇函數(shù)； ③函數(shù)F（x）在[﹣1，1]上為

18、增函數(shù)； ④函數(shù)F（x）的最小值為﹣1，無最大值． 其中正確的是（） A． ①②④ B． ①③④ C． ①③ D． ②④ 考點： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 可結(jié)合圖象寫出F（x）的解析式，然后結(jié)合F（x）的圖象判斷函數(shù)F（x）的奇偶性和單調(diào)性，從而判斷②③的正確，最后結(jié)合圖象分段求函數(shù)F（x）的最值． 解答： 解：因為函數(shù)f（x）=x，g（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，g（x）=x2﹣2x，所以g（x）=x2﹣2|x|， F（x）=，所以當(dāng)x≥3時，F(xiàn)（x）=x2﹣2x，即①對； 因為F（x）的圖象不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)F（x）不

19、為奇函數(shù)，即②錯； 由圖象知函數(shù)F（x）在[﹣1，3]上是增函數(shù)，所以在[﹣1，1]上是增函數(shù)，即③對； 由圖象易知函數(shù)F（x）的最小值為F（﹣1）=﹣1，無最大值．即④對． 故選：B 點評： 本題主要考查函數(shù)的兩個重要性質(zhì)﹣﹣奇偶性和單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)上數(shù)形結(jié)合這一重要方法，是一道中檔題． 二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置． 13．（4分）已知函數(shù)f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}，其對應(yīng)關(guān)系如下表所示，則f（f（4））=5． x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 考點： 函數(shù)的值． 專

20、題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 利用函數(shù)對應(yīng)關(guān)系表得到f（4）=1，f（1）=5，由此能求出f（f（4））． 解答： 解：∵函數(shù)f（x）的定義域和值域都是{1，2，3，4，5}， 由其對應(yīng)關(guān)系表得到f（4）=1，f（1）=5， ∴f（f（4））=f（1）=5， 故答案為：5． 點評： 本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意識表能力的培養(yǎng)． 14．（4分）已知向量=（3，1），=（x，﹣3），若⊥，則x=1． 考點： 平面向量數(shù)量積的運算． 專題： 計算題；平面向量及應(yīng)用． 分析： 運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，計算即可得到x． 解答： 解：由=（3，1

21、），=（x，﹣3）， 若⊥，則=0， 即為3x﹣3=0， 解得，x=1． 故答案為：1 點評： 本題考查平面向量的定義和性質(zhì)，考查向量垂直的條件，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題． 15．（4分）已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）一個周期的圖象如圖所示．則函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=f（x）=sin（2x+）． 考點： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 由圖象可得A，由周期的一半可得ω，代入點（，﹣1）結(jié)合φ的范圍可得φ值，進而可得解析式． 解答： 解：由圖象可得A=1，周期

22、T滿足==﹣， 解得ω=2， ∴f（x）=sin（2x+φ）， 又圖象過點（，﹣1）， ∴﹣1=sin（+φ）， 又∵， ∴φ= ∴所求函數(shù)的解析式為：f（x）=sin（2x+） 故答案為：f（x）=sin（2x+） 點評： 本題考查三角函數(shù)解析式的求解，由圖象得出函數(shù)的周期，振幅和特殊點是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 16．（4分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（tanx）=，則f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0． 考點： 三角函數(shù)的化簡求值；函數(shù)的值；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值． 分析

23、： 由已知中f（tanx）=，根據(jù)萬能公式，可得f（x）的解析式，進而可得f（x）+f（ ）=0，進而可得答案． 解答： 解：∵f（tanx）==， ∴f（x）=，f（）=== ∴f（x）+f（）=0 ∴f（2）+f（3）+…+f+f（）+f（）+…+f（）=0 故答案為：0 點評： 本題考查的知識點是三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，其中根據(jù)已知求出f（x）=，以及f（x）+f（）=0是解答的關(guān)鍵． 三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．（12分）已知tanα=﹣2，求：α的值． 考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用．

24、專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： 原式利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，把已知等式代入計算即可求出值． 解答： 解：∵tanα=﹣2， ∴原式=+cos2α=+=+=+=1． 點評： 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵． 18．（12分）已知二次函數(shù)f（x）滿足：f（0）=f（1）=1，且． （Ⅰ）求f（x）的解析式； （Ⅱ）求f（x）在的值域． 考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）【解法一】設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），根據(jù)題意列出方程組，求出a、b、c的值即

25、可； 【解法二】根據(jù)題意求出f（x）的對稱軸與頂點坐標，設(shè)出f（x）的頂點式方程，求出它的解析式； （Ⅱ）根據(jù)f（x）的解析式，結(jié)合對稱軸，求出f（x）在閉區(qū)間上的值域即可． 解答： 解：（Ⅰ）【解法一】設(shè)f（x）=ax2+bx+c，（a≠0）， 由已知得， 解得a=1，b=﹣1，c=1， ∴f（x）=x2﹣x+1； 【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且， ∴f（x）的對稱軸是，頂點為， ∴設(shè)， ∵， 解得a=1； ∴； （Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1的對稱軸是， 且， ， f（2）=4﹣2+1=3， ∴f（x）的值域為． 點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖象

26、與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了求二次函數(shù)的解析式與值域的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 19．（12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在上的最值及取得最值時自變量x的取值． 考點： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （Ⅰ）首先通過三角恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用公式求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間． （Ⅱ）直接利用函數(shù)的定義域，利用整體思想求出函數(shù)的最值． 解答： 解：（Ⅰ）∵， ∴f（x）的最小正周期． 由， 得， ∴f（x

27、）的單調(diào)增區(qū)間為． （Ⅱ）∵，∴， ∴當(dāng)，即時，f（x）min=﹣2， ∴當(dāng)，即x=0時，． 點評： 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型． 20．（12分）某企業(yè)擬用10萬元投資甲、乙兩種商品．已知各投入x萬元，甲、乙兩種商品可分別獲得y1，y2萬元的利潤，利潤曲線P1，P2如圖所示．問怎樣分配投資額，才能使投資獲得最大利潤？ 考點： 函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用． 專題： 應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)函數(shù)的模型求出兩個函數(shù)解析式．將企業(yè)獲利表示成對產(chǎn)品乙投資x

28、的函數(shù)，再利用配方法，求出對稱軸，即可求出函數(shù)的最值． 解答： 解：由圖可得，（x≥0），，（x≥0）， 設(shè)用x萬元投資甲商品，那么投資乙商品為（10﹣x）萬元，總利潤為y萬元．，（0≤x≤10） 當(dāng)且僅當(dāng)即時， 答：用6.25萬元投資甲商品，3.75萬元投資乙商品，才能獲得最大利潤． （也可把投資乙商品設(shè)成x萬元，把投資甲商品設(shè)成（10﹣x）萬元） 點評： 本題考查將實際問題的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題、考查二次函數(shù)的最值，屬于中檔題． 21．（12分）已知f（α）=． （Ⅰ）化簡f（α）； （Ⅱ）若f（α）=﹣cosα，且α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．

29、 考點： 同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用；運用誘導(dǎo)公式化簡求值． 專題： 三角函數(shù)的求值． 分析： （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行化簡f（α）； （Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式進行求解． 解答： 解：（Ⅰ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得f（α）=sinα， ∴，即， 兩邊平方得， ∴ 又α∈（0，π），則， ∴sinα﹣cosα＞0 由， 故 點評： 本題主要考查三角函數(shù)值的化簡和求值，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵． 22．（14分）已知函數(shù)為奇函數(shù)． （Ⅰ）若f（1）=5，求函數(shù)f（x）的解析式； （Ⅱ）當(dāng)a=﹣2時，不等式f

30、（x）≤t在[1，4]上恒成立，求實數(shù)t的最小值； （Ⅲ）當(dāng)a≥1時，求證：函數(shù)g（x）=f（2x）﹣c（c∈R）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 考點： 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題： 綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： （Ⅰ）由奇函數(shù)定義可得f（﹣x）=﹣f（x），可求b，由f（1）=5可得a； （Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等價于f（x）max≤t，易判斷a=﹣2時f（x）在[1，4]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可得最大值； （Ⅲ）表示出g（x），只需判定函數(shù)g（x）在（﹣∞，﹣1]單調(diào)即可，利用單調(diào)性的定義可作出判斷； 解答： 解

31、：（Ⅰ）∵函數(shù)為奇函數(shù)， ∴f（﹣x）=﹣f（x），即， ∴b=0， 又f（1）=4+a+b=5， ∴a=1 ∴函數(shù)f（x）的解析式為． （Ⅱ）a=﹣2，． ∵函數(shù)在[1，4]均單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f（x）在[1，4]單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x∈[1，4]時，． ∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立， ∴， ∴實數(shù)t的最小值為． （Ⅲ）證明：， 設(shè)x1＜x2≤﹣1， =， ∵x1＜x2≤﹣1， ∴， ∵a≥1，即﹣a≤﹣1， ∴，又， ∴g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2）， ∴函數(shù)g（x）在（﹣∞，﹣1]單調(diào)遞減， 又c∈R，可知函數(shù)g（x）在（﹣∞，﹣1]上至多有一個零點． 點評： 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)最值的求解，考查學(xué)生綜合運用函數(shù)性質(zhì)分析解決問題的能力，屬中檔題． - 18 -