2019-2020年高一上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含答案）.doc

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2019-2020年高一上學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)試題（含答案） 一．填空題：（共12小題，每小題3分） 1．已知集合，，則A∩B=________。 2．寫(xiě)出的一個(gè)必要非充分條件__________。 3．不等式的解集為_(kāi)____________。（用區(qū)間表示） 4．命題“已知，如果，那么或。”是_____命題。 （填“真”或“假”） 5．函數(shù)的定義域是____________（用區(qū)間表示） 6．若集合有且僅有兩個(gè)子集，則=_________。 7．若不等式的解集為（-1，2），則實(shí)數(shù)_________。 8．已知=，則 。 9．Δ和各代表一個(gè)自然數(shù)，且滿(mǎn)足+=1，則當(dāng)這兩個(gè)自然數(shù)的和取最小 值時(shí)，Δ= , = 。 10．已知集合，，若A∪B=B，則實(shí)數(shù)的取值范圍 是_________。 11．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)有： ，若用列舉法表示集合 。則= 。 12．如果關(guān)于的三個(gè)方程，，中， 有且只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________ _。 二． 選擇題：（共4小題，每題3分） 13．與函數(shù)有相同的圖象的函數(shù)是……………………………………………………（ ） （A） （B） （C） （D） 14．下列命題中的真命題是……………………………………………………………………（ ） （A）若則 （B）若則 （C）若則 （D）若則 15．直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） (A) (B) (C) (D) 16．設(shè)實(shí)數(shù)集為全集，集合， 則方程的解集是……………………………………………………（ ） (A) (B) (C) (D) 三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過(guò)程） 17．（本題8分）已知集合，，且， 求實(shí)數(shù)的取值范圍。 18．（本題8分）已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于的不等式。 19．（本題10分）已知直角梯形如圖所示， 線(xiàn)段上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，記， P D C B A 截直角梯形的左邊部分面積為。 （1）試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）作出函數(shù)的草圖。 20．（本題14分）已知是二次函數(shù)，對(duì)任意都滿(mǎn)足，且。 （1）求的解析式； （2）如果函數(shù)的圖像恒在的圖像下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）如果時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 21．（本題12分）先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題： 已知，求證：。 證明：構(gòu)造函數(shù),即 因?yàn)閷?duì)一切,恒有成立，所以, 從而證得。 （1）若……,，……+=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣形式； （2）參考上述證法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。 參考答案 （滿(mǎn)分100分，90分鐘完成） 一．填空題：（共12小題，每小題3分） 1．已知集合A={(x,y)|y=x+3}，B={(x,y)|y=3x-1}，則A∩B=________。{（2，5）} 2．寫(xiě)出x>1的一個(gè)必要非充分條件__________。x>0（答案不唯一） 4．命題“已知x、y∈R，如果x+y≠2，那么x≠0或y≠2.”是_____命題。（填 “真”或“假”）真 5． 函數(shù)的定義域是____________（用區(qū)間表示） 6． 集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且僅有兩個(gè)子集，則a=_________。0或 7． 若不等式|ax+2|<6的解集為（-1，2），則實(shí)數(shù)a等于_________。 8． 已知=，則 。 9． Δ和各代表一個(gè)自然數(shù)，且滿(mǎn)足+=1，則當(dāng)這兩個(gè)自然數(shù)的和取最小 值時(shí)，Δ=_______,=_______. 4和12 10．已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1>0}，若A∪B=B，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 是_________。(,1) 11．規(guī)定與是兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，其運(yùn)算法則如下：對(duì)任意實(shí)數(shù)有： ，用列舉法表示集合 。則= 。 12．如果關(guān)于x的三個(gè)方程x2+4ax-4a+3=0，x2+(a-1)x+a2=0，x2+2ax-2a=0中， 有且只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________。 (-2,]∪[-1,0)∪(,) 二．選擇題：（共4小題，每題3分） 13．與函數(shù)有相同的圖象的函數(shù)是……………………………………………………（ D ） （A） （B） （C） （D） 14．下列命題中的真命題是……………………………………………………………………（ B ） （A）若則 （B）若則 （C）若則 （D）若則 15．直線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，的值有正有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ D ） (A) (B) (C) (D) 16．設(shè)實(shí)數(shù)集為全集，集合， 則方程的解集是……………………………………………………（ A ） (A) (B) (C) (D) 三．解答題：（共5小題，本大題要有必要的過(guò)程） 17.（本題8分）已知集合，，且， 求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：A=[a-1,a+1] ……3分 B=(-∞,1)∪(4,+∞) ……3分 ∵，∴ a-1≥1且a+1≤4, ∴ a∈[2,3] ……2分 18.（本題8分）已知a為非負(fù)實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解：（1）a=0時(shí)，原不等式即為-x+1<0，∴原不等式解集為（1，+∞）；…2分 （2）a≠0時(shí)，不等式對(duì)應(yīng)方程的兩根為1和。 當(dāng)01，原不等式解集為(1, )；……2分 當(dāng)a=1時(shí)，=1，，原不等式解集為Ф； ……2分 當(dāng)a>1時(shí)， <1原不等式解集為(,1) ……2分 19．（本題滿(mǎn)分10分）已知直角梯形如圖所示， 線(xiàn)段上有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，記， P D C B A 截直角梯形的左邊部分面積為。 （1）試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）作出函數(shù)的草圖。 解：（1）設(shè)，則 （對(duì)端點(diǎn)0，4是否取到不作嚴(yán)格要求） 當(dāng)時(shí)，………………………….2分 當(dāng)時(shí)，……………..2分 ……………2分 （2）圖略（關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)不標(biāo)注，酌情扣分。）……………………………….4 分 20．（本題14分）已知是二次函數(shù)，對(duì)任意都滿(mǎn)足，且。 （1）求的解析式； （2）如果函數(shù)的圖像恒在的圖像下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）如果時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解：（1）設(shè)，……………………………………………..1 分 ，………………………………………………………….2分 又，，…………….2分 故………………………………………………………….1分 （2）由題意在上恒成立，即在上恒成立。 令易知，所以?！?分 說(shuō)明：此題若直接用做同樣得滿(mǎn)分。 （3）因?yàn)闀r(shí)，不等式恒成立，即在上恒成立。 令，由………………………….4分 21．（本題12分）先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題： 已知a1、a2∈R，a1+a2=1，求證：a12+a22≥. 證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2, f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a12+a22 因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0成立，所以Δ=4-8(a12+a22)≤0, 從而證得a12+a22≥. （1）若 a1、a2、…、an∈R，a1+a2+…+an=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣形式； （2）參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明。 解：（1）若 a1、a2、…、an∈R，a1+a2+…+an=1， 求證：a12+a22+…+an2≥。 ……4分 （2）證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+ (x-an)2, ……………2分 f(x)=nx2-2(a1+a2+…+an)x+a12+a22+…+an2 因?yàn)閷?duì)一切x∈R,恒有f(x)≥0成立，所以Δ=4-4n(a12+a22+…+an2)≤0, 從而證得a12+a22+…+an2≥. ……6分