2019-2020年八年級數(shù)學下冊專題講解+課后訓練:梯形的輔助線 課后練習及詳解.doc
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2019-2020年八年級數(shù)學下冊專題講解+課后訓練:梯形的輔助線 課后練習及詳解 題一: (1)如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,腰AB= 4,兩底之差為2,求另一腰CD的長; (2)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,∠B=60,AD=8,BC=14,求梯形ABCD的周長; (3)如圖所示,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,DC=AD=BC,且對角線AC垂直于腰BC,求這個梯形各內角的度數(shù); (4)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90,AD=1,BC=3,E、F分別是AD、BC的中點,則EF= . 題二: (1)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=30,∠C=60,E、F、M、N分別為AB、CD、BC、DA的中點,已知BC=7,MN=3,則EF= ; (2)如圖,在梯形ABCD中,AD=DC,AB=DC,∠D=120,對角線CA平分∠BCD,且梯形的周長為20,則梯形ABCD的面積為 ; (3)如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,AB= 4,BC=7,求∠B的度數(shù); (4)如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,AD=3,BC=7,E在BC上,CE=2,則DE= . 題三: 已知:等腰梯形的上底是2cm,腰長是4cm,一個底角是60,則等腰梯形的下底是 cm. 題四: 已知:等腰梯形的一個底角等于60,它的兩底分別為4cm和7cm,則它的周長為 cm. 題五: 如圖所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,AC⊥BD,且AD= 4,BC=8,求AC的長. 題六: 如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BD,若AD=3,BC=7,求梯形ABCD面積的最大值. 題七: 如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點E在BC上,AE=BE,點F是CD的中點,且AF⊥AB,若AD=2.7,AF=4,AB=6,求CE的長. 題八: 如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90,CD=5,AB=11,點M、N分別為AB、CD的中點,求線段MN的長. 題九: 如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90,AB= 4,AD=3,BC=5,點M是邊CD的中點,連接AM、BM.求△ABM的面積. 題十: 如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC(AD<BC),∠B=90,AB=AD+BC.點E是CD的中點,點F是AB上的點,∠ADF= 45,F(xiàn)E=a,梯形ABCD的面積為m. (1)求證:BF=BC; (2)求△DEF的面積(用含a、m的代數(shù)式表示). 題十一: 以線段a=16,b=13為梯形的兩底,c=10,d=6為腰畫梯形,這樣的梯形( ) A.只能畫出一個 B.能畫出2個 C.能畫出無數(shù)個 D.不能畫出 題十二: 以線段a=5,b=10,c=15,d=20做梯形四邊形,這樣的梯形(不全等的)( ) A.至少能做3個 B.恰好能做2個 C.僅僅只能做1個 D.一個也不能做 梯形的輔助線 課后練習參考答案 題一: (1)2;(2)34;(3)60,60,120,120;(4)1. 詳解:(1)過D作DE⊥BC于E,∵AB⊥BC,DE⊥BC,AD∥BC, ∴四邊形ADEB是個矩形,∴AB=DE= 4,CE=BC-AD=2, Rt△DEC中,CD===2; ; (2)過A、D點作AE⊥BC于E,DF⊥BC于F, ∵AB=CD,∠B=∠C,AE=DF,∴△ABE≌△DCF,∴BE=CF, ∵AD=8,BC=14,BE=CF=3,又∵在Rt△ABE中,∠B=60, ∴AB=2BE=6,∴梯形ABCD的周長為8+14+6+6=34; (3)如圖所示,過點C作CE∥AD,又DC∥AE, ∴四邊形AECD為平行四邊形,又DC=AD=BC, ∴四邊形AECD為菱形,∴AE=CE=BC,∴∠EAC=∠ECA,∠CEB=∠B, ∵∠B+∠CAB=90,即3∠CAE=90,∴∠CAE=30, ∴∠B=60=∠DAB,∠D=∠DCB=120; (4)過點E作AB、CD的平行線,與BC分別交于G,H,∵∠B+∠C=90, ∴∠EGH=∠B,∠EHG=∠C,∴∠EGH+∠EHG=90, ∴四邊形ABGE和四邊形CDEH都是平行四邊形,△EGH為直角三角形, ∵E、F分別是AD、BC的中點,∴BG=CH=0.5,GH=2, 根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知,EF=GH=1,∴EF=1. 題二: (1)4;(2)12;(3)60;(4)5. 詳解:(1)過點N分別作NG∥AB,NH∥CD,得平行四邊形ABGN和平行四邊形DCHN, ∴∠NGM+∠NHM=∠B+∠C=90,GH=BC-AD,MG=MH, ∴GH=2MN=6,∴AD=7-6=1,∴EF= 4; (2)∵在梯形ABCD中,AB=DC,∴梯形ABCD是等腰梯形,∴∠D+∠DCB=180, ∵∠D=120,∴∠B=∠DCB=60, ∵對角線CA平分∠BCD,∴∠ACB=30, ∵AD=DC,∴∠DAC=∠ACD=30,∴∠BAC=90,∴BC=2AB, ∵梯形的周長為AD+DC+BC+AB=5AB=20,∴AB= 4,∴AC=4,BC=8, 過點A作AE⊥BC于點E,∵AB= 4,AC=4,BC=8, ∴AE=2,∴梯形ABCD的面積為(4+8)2=12; (3)過點A作AE∥DC交BC于E,∵AD∥BC, ∴四邊形AECD是平行四邊形,∴EC=AD=3,DC=AE, ∴BE=BC-CE=7-3= 4,∴CD=AB= 4,∴AE=AB=BE= 4, ∴△ABE是等邊三角形,∴∠B=60; (4)過D作DF∥AC交BC的延長線于F,∵AD∥BC, ∴四邊形ACFD是平行四邊形,∴CF=AD=3, ∵BC=7,∴BF=BC+CF=7+3=10, ∵CE=2,∴BE=7-2=5,EF=2+3=5,∴BE=EF, 又∵AC⊥BD,DF∥AC,∴∠BDF=90,∴DE=BF=5. 題三: 6cm. 詳解:過D作DE∥AB交BC于E,∵DE∥AB,AD∥BC, ∴四邊形ABED是平行四邊形, ∴AD=BE=2cm,DE=AB=4cm,∠DEC=∠B=60,AB=DE=DC, ∴△DEC是等邊三角形,∴EC=CD= 4cm, ∴BC= 4cm+2cm=6cm. 題四: 17cm. 詳解:過上底頂點D作DE∥AB交BC于E, 則四邊形ABED是平行四邊形,∴DE=AB,AD=BE, ∵梯形的一個底角是60,∴∠C=60, 又∵腰長AB=CD=DE,∴△CDE是等邊三角形, ∴CD=CE=BC-BE=7-4=3cm,∴它的周長為3+7+3+4=17cm. 題五: . 詳解:過D作DE∥AC交BC的延長線于E, ∵AD∥BC,AB=CD, ∴四邊形ABCD是等腰梯形, ∴ADEC是平行四邊形, ∴AD=CE,AC=DE, 即可得出BE=BC+CE=BC+AD=12, 又∵AC=BD,∴BD=ED, ∴△BDE為等腰直角三角形, ∴AC=BD=. 題六: 25. 詳解:過D作DE∥AC交BC延長線于E,∵AD∥BC,DE∥AC, ∴四邊形ACED是平行四邊形,∴AD=CE, ∴根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出△ADC的面積等于△DCE的面積, 即梯形ABCD的面積等于△BDE的面積, ∵AC⊥BD,DE∥AC,∴∠BDE=90,BE=3+7=10, ∴此時△BDE的邊BE邊上的高越大,它的面積就越大, 即當高是BE時最大,即梯形的最大面積是1010=25. 題七: 2.3. 詳解:延長AF、BC交于點G,∵AD∥BC,∴∠D=∠FCG,∠DAF=∠G, 又DF=CF,∴△AFD≌△GFC,∴AG=2AF=8,CG=AD=2.7, ∵AF⊥AB,AB=6,∴BG=10,∴BC=BG-CG=7.3, ∵AE=BE,∴∠BAE=∠B,∴∠EAG=∠AGE,∴AE=GE, ∴BE=BG=5,∴CE=BC-BE=2.3. 題八: 3. 詳解:如圖,過D作DE∥BC,DF∥MN, ∵在梯形ABCD中,AB∥CD,DE∥BC,∴CD=BE=5,AE=AB-BE=11-5=6, ∵M為AB的中點,∴MB=AM=AB=11=5.5,ME=MB-BE=5.5-5=0.5, ∵N為DC的中點,∴DN=DC=5=2.5, 在四邊形DFMN中,DC∥AB,DF∥MN,∴FM=DN=2.5, ∴FE=FM+ME=2.5+0.5=3=AE,∴F為AE的中點, 又∵DE∥BC,∴∠B=∠AED, ∵∠A+∠B=90,∴∠A+∠AED=90, ∴∠ADE=90,即△ADE是直角三角形, ∴DF=MN=AE=6=3. 題九: 8. 詳解:延長AM交BC的延長線于點N,∵AD∥BC,∴∠DAM=∠N,∠D=∠MCN, ∵點M是邊CD的中點,∴DM=CM,∴△ADM≌△NCM(AAS), ∴CN=AD=3,AM=MN=AN,∴BN=BC+CN=5+3=8, ∵∠ABC=90,∴S△ABN=AB?BN=48=16, ∴S△ABM=S△ABN=8,即△ABM的面積為8. 題十: 見詳解. 詳解:(1)∵四邊形ABCD是直角梯形,∴∠A=90, ∵∠ADF=45,∴∠AFD= 45,∴AD=AF, ∵AB=AF+BF,AB=AD+BC,∴BF=BC; (2)連接FC,設AD=AF=x,BC=BF=y,連接CF,作DH⊥BC于H,易證四邊形ABHD為矩形、△CDF為直角三角形,又∵E是CD中點,∴CD=2EF=2a, 由勾股定理得x2+y2=2a2…①, 由直角梯形的面積公式可得:(x+y)2=2m…②, 由②-①,得xy=m-a2, ∵S△DFC=S梯形ABCD-S△AFD-S△BFC=(x+y)2 -x2 -y2 = xy, ∴S△DEF=S△DFC=m-a2. 題十一: D. 詳解:如圖,過點B作BE∥AD,則出現(xiàn)平行四邊形ABED和一個△BEC, ∵AB=13,CD=16,AD=10,BC=6 ∴CE=3,BE=10, ∵3+6<10, ∴BE,CE,BC不能構成三角形 ∴這樣的梯形一個也不能作. 故選D. 題十二: C. 詳解:作DE∥AB,則DE=AB, ①當a=5為上底,b=10為下底,c、d為腰時,10-5=5,與15,20不能構成三角形,故不滿足題意; ②當a=5為上底,b=15為下底,b、d為腰時,15-5=10,與10,20不能構成三角形,故不滿足題意; ③當a=5為上底,d=20為下底,b、c為腰時,20-5=15,與10,15可以構成三角形,故滿足題意; ④當b=10為上底,c=15為下底,a、d為腰時,15-10=5,與5,20不能構成三角形,故不滿足題意; ⑤當b=10為上底,d=20為下底,a、c為腰時,20-10=10,與5,15不能構成三角形,故不滿足題意; ⑥當c=15為上底,d=20 為下底,a、b為腰時,20-15=5,與5,10不能構成三角形,故不滿足題意; 綜上可得只有當a=5為上底,d=20為下底,b、c為腰時,滿足題意,即以線段a=5,b=10,c=15,d=20做梯形四邊形,這樣的梯形(不全等的)只能做一個. 故選C.- 配套講稿:
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