2019-2020年高中數學競賽教案講義（16）平面幾何.doc

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2019-2020年高中數學競賽教案講義（16）平面幾何 一、常用定理（僅給出定理，證明請讀者完成） 梅涅勞斯定理 設分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三點共線，則 梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點共線。 塞瓦定理 設分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三線平行或共點，則 塞瓦定理的逆定理 設分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若則三線共點或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB所在直線上的點，則平行或共點的充要條件是 廣義托勒密定理 設ABCD為任意凸四邊形，則AB?CD+BC?AD≥AC?BD，當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號。 斯特瓦特定理 設P為ΔABC的邊BC上任意一點，P不同于B，C，則有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。 西姆松定理的逆定理 若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在三角形的外接圓上。 九點圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點，這九點共圓。 蒙日定理 三條根軸交于一點或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長）相等的點構成集合為一條直線，這條直線稱根軸） 歐拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三點共線，且 二、方法與例題 1．同一法。即不直接去證明，而是作出滿足條件的圖形或點，然后證明它與已知圖形或點重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q為ΔABC內部兩點，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求證：A，P，Q三點共線。 2面積法。 例2 ◇ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為∠BPD的平分線 3．幾何變換。 例3 （蝴蝶定理）AB是⊙O的一條弦，M為AB中點，CD，EF為過M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。 例4 平面上每一點都以紅、藍兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個三角形三個頂點同色。 4．三角法。 例5 設AD，BE與CF為ΔABC的內角平分線，D，E，F(xiàn)在ΔABC的邊上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。 5．向量法。 例6 設P是ΔABC所在平面上的一點，G是ΔABC的重心，求證：PA+PB+PC>3PG. 6．解析法。 例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一點，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點共線。 7．四點共圓。 例8 直線l與⊙O相離，P為l上任意一點，PA，PB為圓的兩條切線，A，B為切點，求證：直線AB過定點。 三、習題精選 1．⊙O1和⊙O2分別是ΔABC的邊AB，AC上的旁切圓，⊙O1與CB，CA的延長線切于E，G，⊙O2與BC，BA的延長線切于F，H，直線EG與FH交于點P，求證：PABC。 2．設⊙O的外切四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點分別為E，F(xiàn)，求證：E，O，F(xiàn)三點共線。 3．已知兩小圓⊙O1與⊙O2相外切且都與大圓⊙O相內切，AB是⊙O1與⊙O2的一條外公切線，A，B在⊙O上，CD是⊙O1與⊙O2的內公切線，⊙O1與⊙O2相切于點P，且P，C在直線AB的同一側，求證：P是ΔABC的內心。 4．ΔABC內有兩點M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求證： 5．ΔABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點H，直線ED和AB相交于點M，直線FD和AC相交于點N，求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。 6．設點I，H分別是銳角ΔABC的內心和垂心，點B1，C1分別是邊AC，AB的中點，已知射線B1I交邊AB于點B2(B2≠B)，射線C1I交AC的延長線于點C2，B2C2與BC相交于點K，A1為ΔBHC的外心。試證：A，I，A1三點共線的充要條件是ΔBKB2和ΔCKC2的面積相等。 7．已知點A1，B1，C1，點A2，B2，C2，分別在直線l1,l2上 ，B2C1交B1C2于點M，C1A2交A1C2于點N，B1A2交B2A1于L。求證：M，N，L三點共線。 8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的內接三角形（三個頂點分別在三條邊上的三角形）的最長邊的最小值。 9．ΔABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點A，B，C關于對邊BC，CA，AB的對稱點分別為，求證：三點共線的充要條件是OH=2R。