2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義（16）平面幾何.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義（16）平面幾何 一、常用定理（僅給出定理，證明請(qǐng)讀者完成） 梅涅勞斯定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若三點(diǎn)共線(xiàn)，則 梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點(diǎn)共線(xiàn)。 塞瓦定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若三線(xiàn)平行或共點(diǎn)，則 塞瓦定理的逆定理 設(shè)分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，若則三線(xiàn)共點(diǎn)或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 分別是ΔABC的三邊BC，CA，AB所在直線(xiàn)上的點(diǎn)，則平行或共點(diǎn)的充要條件是 廣義托勒密定理 設(shè)ABCD為任意凸四邊形，則AB?CD+BC?AD≥AC?BD，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。 斯特瓦特定理 設(shè)P為ΔABC的邊BC上任意一點(diǎn)，P不同于B，C，則有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理 過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線(xiàn)，則三垂足共線(xiàn)。 西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線(xiàn)上的射影共線(xiàn)，則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。 九點(diǎn)圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線(xiàn)段的中點(diǎn)，這九點(diǎn)共圓。 蒙日定理 三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。（到兩圓的冪（即切線(xiàn)長(zhǎng)）相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)稱(chēng)根軸） 歐拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三點(diǎn)共線(xiàn)，且 二、方法與例題 1．同一法。即不直接去證明，而是作出滿(mǎn)足條件的圖形或點(diǎn)，然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q為ΔABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求證：A，P，Q三點(diǎn)共線(xiàn)。 2面積法。 例2 ◇ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點(diǎn)，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為∠BPD的平分線(xiàn) 3．幾何變換。 例3 （蝴蝶定理）AB是⊙O的一條弦，M為AB中點(diǎn)，CD，EF為過(guò)M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。 例4 平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個(gè)相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。 4．三角法。 例5 設(shè)AD，BE與CF為ΔABC的內(nèi)角平分線(xiàn)，D，E，F(xiàn)在ΔABC的邊上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。 5．向量法。 例6 設(shè)P是ΔABC所在平面上的一點(diǎn)，G是ΔABC的重心，求證：PA+PB+PC>3PG. 6．解析法。 例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一點(diǎn)，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點(diǎn)共線(xiàn)。 7．四點(diǎn)共圓。 例8 直線(xiàn)l與⊙O相離，P為l上任意一點(diǎn)，PA，PB為圓的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)，求證：直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)。 三、習(xí)題精選 1．⊙O1和⊙O2分別是ΔABC的邊AB，AC上的旁切圓，⊙O1與CB，CA的延長(zhǎng)線(xiàn)切于E，G，⊙O2與BC，BA的延長(zhǎng)線(xiàn)切于F，H，直線(xiàn)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：PABC。 2．設(shè)⊙O的外切四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，求證：E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)。 3．已知兩小圓⊙O1與⊙O2相外切且都與大圓⊙O相內(nèi)切，AB是⊙O1與⊙O2的一條外公切線(xiàn)，A，B在⊙O上，CD是⊙O1與⊙O2的內(nèi)公切線(xiàn)，⊙O1與⊙O2相切于點(diǎn)P，且P，C在直線(xiàn)AB的同一側(cè)，求證：P是ΔABC的內(nèi)心。 4．ΔABC內(nèi)有兩點(diǎn)M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求證： 5．ΔABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點(diǎn)H，直線(xiàn)ED和AB相交于點(diǎn)M，直線(xiàn)FD和AC相交于點(diǎn)N，求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。 6．設(shè)點(diǎn)I，H分別是銳角ΔABC的內(nèi)心和垂心，點(diǎn)B1，C1分別是邊AC，AB的中點(diǎn)，已知射線(xiàn)B1I交邊AB于點(diǎn)B2(B2≠B)，射線(xiàn)C1I交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C2，B2C2與BC相交于點(diǎn)K，A1為ΔBHC的外心。試證：A，I，A1三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是ΔBKB2和ΔCKC2的面積相等。 7．已知點(diǎn)A1，B1，C1，點(diǎn)A2，B2，C2，分別在直線(xiàn)l1,l2上 ，B2C1交B1C2于點(diǎn)M，C1A2交A1C2于點(diǎn)N，B1A2交B2A1于L。求證：M，N，L三點(diǎn)共線(xiàn)。 8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的內(nèi)接三角形（三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形）的最長(zhǎng)邊的最小值。 9．ΔABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點(diǎn)A，B，C關(guān)于對(duì)邊BC，CA，AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，求證：三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是OH=2R。