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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.4第1課時 基本不等式練習(xí) 新人教A版必修5
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=的最大值為( )
A. B.
C. D.1
[答案] B
[解析] 令t=(t≥0),則x=t2,
∴f(x)==.
當(dāng)t=0時,f(x)=0;
當(dāng)t>0時,f(x)==.
∵t+≥2,∴0<≤.
∴f(x)的最大值為.
2.若a≥0,b≥0,且a+b=2,則( )
A.a(chǎn)b≤ B.a(chǎn)b≥
C.a(chǎn)2+b2≥2 D.a(chǎn)2+b2≤3
[答案] C
[解析] ∵a≥0,b≥0,且a+b=2,
∴b=2-a(0≤a≤2),
∴ab=a(2-a)=-a2+2a=-(a-1)2+1.
∵0≤a≤2,∴0≤ab≤1,故A、B錯誤;
a2+b2=a2+(2-a)2=2a2-4a+4
=2(a-1)2+2.
∵0≤a≤2,∴2≤a2+b2≤4.故選C.
3.已知x>0,y>0,2x+3y=6,則xy的最大值為( )
A. B.3
C. D.1
[答案] C
[解析] ∵x>0,y>0,2x+3y=6,
∴xy=(2x3y)≤()2
=()2=,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y,
即x=,y=1時,xy取到最大值.
故選C.
4.下列函數(shù)中,最小值為2的是( )
A.y=+ B.y=lgx+(1
1顯然不成立,
∴A不正確;
lgx+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)lgx=,
即x=10或時,等號成立,而10,y>0,x、a、b、y成等差數(shù)列,x、c、d、y成等比數(shù)列,則的最小值是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
[答案] D
[解析] 由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)得
==++2≥2+2=4.當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時取等號,∴所求最小值為4.
二、填空題
7.(xx蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)已知正數(shù)x,y滿足x+2y=2,則的最小值為________.
[答案] 9
[解析] 因為x,y為正數(shù),且x+2y=2,所以=(+)(+y)=++5≥2+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時,等號成立,所以的最小值為9.
[易錯分析] 本題易出現(xiàn)以下錯解:由x+2y=2≥2,解得00,則函數(shù)y=的最小值是________.
[答案]?。?
[解析] ∵t>0,∴y==t+-4≥2-4=-2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時,等號成立.
三、解答題
9.已知x>0,y>0.
(1)若2x+5y=20,求u=lgx+lgy的最大值;
(2)若lgx+lgy=2,求5x+2y的最小值.
[解析] (1)∵x>0,y>0,
由基本不等式,得2x+5y≥2=2.
又∵2x+5y=20,
∴20≥2,
∴≤,∴xy≤10,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時,等號成立.
由,
解得.
∴當(dāng)x=5,y=2時,xy有最大值10.
這樣u=lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1.
∴當(dāng)x=5,y=2時,umax=1.
(2)由已知,得xy=100,
5x+2y≥2=2=20.
∴當(dāng)且僅當(dāng)5x=2y=,即當(dāng)x=2,
y=5時,等號成立.
所以5x+2y的最小值為20.
10.已知直角三角形兩條直角邊的和等于10 cm,求面積最大時斜邊的長.
[解析] 設(shè)一條直角邊長為x cm,(00.則下列不等式中,恒成立的是( )
A.a(chǎn)2+b2>2ab B.a(chǎn)+b≥2
C.+> D.+≥2
[答案] D
[解析] a=b時,A不成立;a、b<0時,B、C都不成立,故選D.
12.若02ab,a+b>2,a>a2,b>b2,
∴a+b>a2+b2,故選D.
解法二:取a=,b=,則a2+b2=,2=,2ab=,a+b=,顯然最大.
13.某工廠第一年產(chǎn)量為A,第二年的增長率為a, 第三年的增長率為b,這兩年的平均增長率為x,則( )
A.x= B.x≤
C.x> D.x≥
[答案] B
[解析] ∵這兩年的平均增長率為x
∴A(1+x)2=A(1+a)(1+b),
∴(1+x)2=(1+a)(1+b),由題設(shè)a>0,b>0.
∴1+x=≤
=1+,∴x≤,
等號在1+a=1+b即a=b時成立.∴選B.
14.a(chǎn)=(x-1,2),b=(4,y)(x、y為正數(shù)),若a⊥b,則xy的最大值是( )
A. B.-
C.1 D.-1
[答案] A
[解析] 由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.
∴xy=x(2-2x)=≤()2=,等號成立時2x=2-2x,即x=,y=1,∴xy的最大值為.
二、填空題
15.已知+=2(x>0,y>0),則xy的最小值是________.
[答案] 6
[解析] +≥2,∴2≤2,∴xy≥6.
16.已知x<,則函數(shù)y=4x-2+的最大值是________.
[答案] 1
[解析] ∵x<,∴4x-5<0,y=4x-2+
=4x-5++3=3-
≤3-2=1,
等號在5-4x=,即x=1時成立.
三、解答題
17.已知:a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值.
[易錯分析] 本題常犯錯誤是兩次利用基本不等式,條件不能同時成立.
[解析] (a+)2+(b+)2
=a2+b2+++4=(a2+b2)(1+)+4
=(1-2ab)(1+)+4,
∵a>0,b>0,a+b=1,
∴ab≤()2=,
∴1-2ab≥1-=,且≥16,1+≥17.
∴原式≥17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,等號成立),∴(a+)2+(b+)2的最小值是.
[警示] 利用基本不等式求最值時,無論怎樣變形,均需滿足“一正、二定、三相等”的條件.解題時,應(yīng)盡量避免多次應(yīng)用基本不等式,如連續(xù)應(yīng)用了基本不等式,應(yīng)特別注意檢查等號是否能同時成立.
18.某商場預(yù)計全年分批購入每臺2 000元的電視機(jī)共3 600臺.每批都購入x臺(x是自然數(shù))且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元.貯存購入的電視機(jī)全年所需付的保管費(fèi)與每批購入電視機(jī)的總價值(不含運(yùn)費(fèi))成正比.若每批購入400臺,則全年需用去運(yùn)輸和保管總費(fèi)用43 600元.現(xiàn)在全年只有24 000元資金可以支付這筆費(fèi)用,請問,能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨數(shù)量,使資金夠用?寫出你的結(jié)論,并說明理由.
[解析] 設(shè)總費(fèi)用為y元(y>0),且將題中正比例函數(shù)的比例系數(shù)設(shè)為k,則y=400+k(2 000x),依條件,當(dāng)x=400時,y=43 600,可得k=5%,
故有y=+100x
≥2=24 000(元).
當(dāng)且僅當(dāng)=100x,即x=120時取等號.
所以只需每批購入120臺,可使資金夠用.
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