普通物理學(xué)教程力學(xué)課后答案高等教育出版社第七章 剛體力學(xué)習(xí)題解答

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1、第7章剛體力學(xué) 第七章剛體力學(xué) 習(xí)題解答 7.1.2 汽車發(fā)動機的轉(zhuǎn)速在12s內(nèi)由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假設(shè)轉(zhuǎn)動是勻加速轉(zhuǎn)動，求角加速度。⑵在此時間內(nèi)，發(fā)動機轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？ 解：⑴ ⑵ 對應(yīng)的轉(zhuǎn)數(shù)= 7.1.3 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內(nèi)的角位移為 。求t時刻的角速度和角加速度。 解： 7.1.4 半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在圓盤平面內(nèi)建立o-xy坐標(biāo)系，原點在軸上，x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點A當(dāng)t=0時恰好在x軸上，該

2、點的角坐標(biāo)滿足θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)。⑴t=0時，⑵自t=0開始轉(zhuǎn)45時，⑶轉(zhuǎn)過90時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影。 解： ⑴t=0時， ⑵θ=π/4時,由θ=1.2t+t2,求得t=0.47s,∴ω=1.2+2t=2.14rad/s ⑶θ=π/2時,由θ=1.2t+t2,求得t=0.7895s,ω=1.2+2t=2.78rad/s 7.1.5 鋼制爐門由兩個各長1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速率ω=10rad/s逆時針轉(zhuǎn)動，求臂與鉛直成45時門中心G的速度和加速度。 解：因爐門在

3、鉛直面內(nèi)作平動，所以門中心G的速度、加速度與B點或D點相同，而B、D兩點作勻速圓周運動,因此 ，方向指向右下方，與水平方向成45； ，方向指向右上方，與水平方向成45 7.1.6 收割機撥禾輪上面通常裝4到 6個壓板，撥禾輪一邊旋轉(zhuǎn)，一邊隨收割機前進。壓板轉(zhuǎn)到下方才發(fā)揮作用，一方面把農(nóng)作物壓向切割器，一方面把切下來 的作物鋪放在收割臺上，因此要求壓板運動到下方時相對于作物的速度與收割機前進方向相反。已知收割機前進速率為1.2m/s，撥禾輪直徑1.5m，轉(zhuǎn)速22rev/min,求壓板運動到最低點擠壓作物的速度。 解：撥禾輪的運動是平面運動，其上任一點的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機

4、前進的平動速度加上撥禾輪繞輪心轉(zhuǎn)動的速度。壓板運動到最低點時，其轉(zhuǎn)動速度方向與收割機前進速度方向相反，壓板相對地面（即農(nóng)作物）的速度 負(fù)號表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機前進方向相反。 7.1.7飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動機轉(zhuǎn)速2000rev/min. ⑴槳尖相對于飛機的線速率等于多少？⑵若飛機以250km/h的速率飛行，計算槳尖相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡。 解：⑴槳尖相對飛機的速度： ⑵槳尖相對地面的速度：，飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的， 所以， 顯然，槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線 7.1.8桑

5、塔納汽車時速為166km/h，車輪滾動半徑為0.26m，發(fā)動機轉(zhuǎn)速與驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速比為0.909, 問發(fā)動機轉(zhuǎn)速為每分多少轉(zhuǎn)？ 解：設(shè)車輪半徑為R=0.26m，發(fā)動機轉(zhuǎn)速為n1, 驅(qū)動輪轉(zhuǎn)速為n2, 汽車速度為v=166km/h。顯然，汽車前進的速度就是驅(qū)動輪邊緣的線速度，，所以： 7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質(zhì)量和質(zhì)心位置。⑴圓錐體為勻質(zhì)；⑵密度為h的函數(shù)：ρ=ρ0（1-h/L）,ρ0為正常數(shù)。 解：建立圖示坐標(biāo)o-x,據(jù)對稱性分析， 質(zhì)心必在x軸上,在x坐標(biāo)處取一厚為dx的質(zhì)元 dm=ρπr2dx，∵r/a=x/L，r=ax/L ∴ dm=ρπa2x2dx/L2

6、 ⑴圓錐體為勻質(zhì)，即ρ為常數(shù)， 總質(zhì)量： 質(zhì)心： ⑵ 總質(zhì)量： 質(zhì)心： 7.2.3 長度為L的勻質(zhì)桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，由于桿不可能絕對沿鉛直方向，故隨即到下。求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標(biāo)系，并求出軌跡的方程式）。 解：設(shè)桿在o-xy平面內(nèi)運動。因桿 在運動過程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，∴vcx=0,acx=0，即質(zhì)心C無水平方向的移動，只能逆著y軸作加速直線運動，直到倒在桌面上。 取桿的上端點的坐標(biāo)為x,y，勻質(zhì)桿的質(zhì)心在其幾何中心，由圖示的任一瞬間的幾何關(guān)系可知：4x2+y2=L2(x≥

7、0,y≥0) 7.3.1 ⑴用積分法證明：質(zhì)量為m常為l的勻質(zhì)細(xì)桿對通過中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量等于；⑵用積分法證明：質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)薄圓盤對通過中心且在盤面內(nèi)的軸線的轉(zhuǎn)動慣量等于 證明：⑴取圖示坐標(biāo)，在坐標(biāo)x處取一線元，，它對y軸的轉(zhuǎn)動慣量為：， x y dx l/2 -l/2 整個細(xì)桿對y軸的轉(zhuǎn)動慣量： ⑵在坐標(biāo)x處取細(xì)桿狀質(zhì)元， 它對x軸的轉(zhuǎn)動慣量： 整個圓盤對x軸的轉(zhuǎn)動慣量： 為了能求出積分，作如下變換： 代入上式： 據(jù)三角函數(shù)公式： 7.3.2 圖示實驗用的擺，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,

8、mr=24.5kg,近似認(rèn)為圓形部分為勻質(zhì)圓盤，長桿部分為勻質(zhì)細(xì)桿。求對過懸點且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。 解：擺對o軸的轉(zhuǎn)動慣量I等于桿對o軸的轉(zhuǎn)動 慣量Il加上圓盤對o軸的轉(zhuǎn)動慣量Ir，即I=Il+Ir.根據(jù) 平行軸定理 7.3.3 在質(zhì)量為M，半徑為R的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。 解：大圓盤對過圓盤中心o且與盤面垂直的軸線（以下簡稱o軸）的轉(zhuǎn)動慣量為 .由于對稱放置，兩個小圓盤對o軸的轉(zhuǎn)動慣量相等，設(shè)為I’，圓盤質(zhì)量的面密度σ=M/πR2，根據(jù)平行軸

9、定理， 設(shè)挖去兩個小圓盤后，剩余部分對o軸的轉(zhuǎn)動慣量為I” 7.3.5一轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I=8.0kgm2，轉(zhuǎn)速為ω=41.9rad/s，兩制動閘瓦對輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為μ=0.4，輪半徑為r=0.4m，問從開始制動到靜止需多長時間？ 解：由轉(zhuǎn)動定理： 制動過程可視為勻減速轉(zhuǎn)動， 7.3.6 勻質(zhì)桿可繞支點o轉(zhuǎn)動，當(dāng)與桿垂直的沖力作用某點A時，支點o對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點稱為打擊中心。設(shè)桿長為L，求打擊中心與支點的距離。 解：建立圖示坐標(biāo)o-xyz,z軸垂直紙面向外。據(jù)題意，桿受力及運動情況如圖所示。

10、由質(zhì)心運 動定理： 由轉(zhuǎn)動定理； A F 把⑴代入⑵中，可求得 7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉(zhuǎn)動慣量。用輕線且盡可能潤滑輪軸。兩端懸掛重物質(zhì)量各為m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測得0.5s內(nèi)m2下降了0.75m?；嗈D(zhuǎn)動慣量是多少？ 解： T2 T1 β x o R a

11、a y m1 m2 m2g m1g T2 T1 隔離m2、m1及滑輪，受力及運動情況如圖所示。對m2、m1分別應(yīng)用牛頓第二定律： 對滑輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理： （3） 質(zhì)點m2作勻加速直線運動，由運動學(xué)公式：， 由 ⑴、⑵可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)： 7.3.8斜面傾角為θ，位于斜面頂端的卷揚機鼓輪半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為I，受到驅(qū)動力矩τ，通過繩所牽動斜面上質(zhì)量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為μ，求重物上滑的加速度，繩與斜面平行，不計繩質(zhì)量。

12、解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f=μN為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關(guān)系為a=βR 對重物應(yīng)用牛二定律： T- μN- mgsinθ=ma, N=mgcosθ，代入前式，得 T- μmgcosθ- mgsinθ=ma ① 對鼓輪應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理： mg T N f a θ T τ β τ- TR=Iβ=Ia/R ② 由①②聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度： m1,m2 h r 7.3.9利用圖中所示裝置測一輪盤的轉(zhuǎn)動慣量，懸線和軸的垂直距離為r，為減小因不計軸承摩擦力矩而產(chǎn)生的誤差，先懸掛質(zhì)量較小的重物m1，從距地面高度為h處由靜

13、止開始下落，落地時間為t1，然后懸掛質(zhì)量較大的重物m2，同樣自高度h處下落，所需時間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉(zhuǎn)動慣量，近似認(rèn)為兩種情況下摩擦力矩相等。 T T mg a β τf r 解：隔離輪盤與重物，受力及運動情況如圖示：τf為摩擦力矩，T為繩中張力，a=βr 對輪盤應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理： ，，兩式相減，得： 對重物應(yīng)用牛頓二定律： ，兩式相減，可得： ，代入①中，可得： 由運動學(xué)公式： ，將角加速度代入②中，得： 7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線o轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量為I.裝置的一端有槽，槽內(nèi)有彈簧，槽的中心軸線與轉(zhuǎn)軸垂直距離為r。在

14、槽內(nèi)裝有一小球，質(zhì)量為m，開始時用細(xì)線固定，使彈簧處于壓縮狀態(tài)?，F(xiàn)在燃火柴燒斷細(xì)線，小球以速度v0彈出。求轉(zhuǎn)動裝置的反沖角速度。在彈射過程中，由小球和轉(zhuǎn)動裝置構(gòu)成的系統(tǒng)動能守恒否？總機械能守恒否？為什么？ 解：取小球、轉(zhuǎn)動裝置構(gòu)成的物體系為研究對象。在彈射過程中，物體系相對豎直軸o未受外力距作用，故物體系對轉(zhuǎn)軸o的角動量守恒，規(guī)定順時方向為正，有 在彈射過程中，物體系動能不 守恒，因彈力做正功使動能增加； 總機械能守恒，因為只有保守內(nèi)力（彈力）做功。 7.4.2 質(zhì)量為2.97kg，長為1.0

15、m的勻質(zhì)等截面細(xì)桿可繞水平光滑的軸線o轉(zhuǎn)動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質(zhì)量為10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角θ. o 解：將子彈、桿構(gòu)成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究： 第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，獲得共同的角速度ω，此過程時間極短，可認(rèn)為桿原地未動。由于在此過程中，外力矩為零， 因此角動量守恒， 第二階段，子彈與桿以共同的初角速度ω擺動到最大角度θ，由于在此過程中，只有重力做功，所以物體系的機械能守恒，物體系

16、原來的動能等于重力勢能的增量： θ=3034’ 7.4.3一質(zhì)量為m1，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質(zhì)量為m2=99m1，長度為L的棒的端點，速度v1與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？ O C A m2,L v1 m1 解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個物體系，棒嵌入子彈后作平面運動，可視為隨質(zhì)心C的平動和繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動，繞質(zhì)心C轉(zhuǎn)動的角速度即為所求。 據(jù)質(zhì)心定義: ， 據(jù)角動量守恒： 7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來，求其上端到達地面時的線速度，設(shè)傾倒時，底部

17、未移動，可近似認(rèn)為煙囪為勻質(zhì)桿。 解：設(shè)煙囪質(zhì)量為m，高為h，質(zhì)心高度hC=h/2，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，倒在地面上時的角速度為ω 由機械能守恒： 上端點到達地面時的線速度： A B B A o 7.5.2 用四根質(zhì)量各為m長度各為l的勻質(zhì)細(xì)桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，支點o是光滑的。最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當(dāng)AB邊達到水平時，框架質(zhì)心的線速度vc及框架作用于支點的壓力N. 解：先求出正方形框架對支點o的轉(zhuǎn)動慣量： Ep=0 設(shè)AB邊達到水平位置時，框架的角速 度為ω，據(jù)機械能守恒定律：

18、 AB邊在水平位置時，框架所受到的向上的支撐力N和向下的重力W的作用線均通過支點o，對o軸的力矩為零，據(jù)轉(zhuǎn)動定理，框架的角加速度為零，∴ac=ω2l/2=6g/7，方向向上。規(guī)定向上方向為正，對框架應(yīng)用質(zhì)心運動定理： 據(jù)牛頓第三定律，支點受到的壓力，大小等于N，方向向下。 7.5.3由長為l，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿組成正方形框架，其中一角連于水平光滑轉(zhuǎn)軸O，轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直，最初，對角線OP處于水平，然后從靜止開始向下自由擺動，求OP對角線與水平成45時P點的速度，并求此時框架對支點的作用力。 解：先求出框架對O軸的轉(zhuǎn)動慣量：據(jù)平行軸定理， O P C n τ

19、 4mg N 設(shè)對角線OP轉(zhuǎn)過45后框架的角速度為ω，且勢能為零，由機械能守恒： 設(shè)支點O對框架的作用力為N，由定軸轉(zhuǎn)動定理：τ= Iβ， 質(zhì)心的法向加速度 在方向應(yīng)用質(zhì)心運動定理：， 在方向應(yīng)用質(zhì)心運動定理： ，設(shè)與-方向夾角為θ， 7.5.4 質(zhì)量為m長為l的勻質(zhì)桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時，求：⑴桿質(zhì)心的加速度，⑵桿B端所受的力。 解：⑴以支點B為轉(zhuǎn)軸，應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理：，質(zhì)心加速度 ，方向向下。 ⑵設(shè)桿B端受的力為N，對桿應(yīng)用質(zhì)心運動定理：Ny=0， Nx - mg = - m ac ,

20、 Nx = m(g – ac) = mg/4 ∴ N = mg/4，方向向上。 7.5.5 下面是勻質(zhì)圓柱體在水平地面上作無滑滾動的幾種情況，求地面對圓柱體的靜摩擦力f. ⑴沿圓柱體上緣作用一水平拉力F,柱體作加速滾動。 ⑵水平拉力F通過圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動。 ⑶不受任何主動力的拉動或推動，柱體作勻速滾動。 ⑷在主動力偶矩τ的驅(qū)動下加速滾動，設(shè)柱體半徑為R。 解：規(guī)定前進方向和順時針方向為正方向。假設(shè)靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所所示。對每種情況，都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理和只滾不滑條件，建立三個方程求解。 ⑴ 可求得f = - F/3,負(fù)

21、號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。 ⑵ 可求得f = F/3,正號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同，向后。 ⑶ ac = 0 , f = 0 ⑷,求得 負(fù)號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。 7.5.6 板的質(zhì)量為M，受水平力F的作用，沿水平面運動，板與平面間的摩擦系數(shù)為μ.在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動。求板的加速度。 解：隔離圓柱，其受力及運動情況如圖所示，其中ac為質(zhì)心對地的加速度，β為相對質(zhì)心的角加速度，f2、N2分別為板施加給 圓柱的靜摩擦力和壓力。 由質(zhì)心定理： 對質(zhì)心應(yīng)用轉(zhuǎn)動定理：

22、 隔離木板，其受力及運動情況如圖所示， 其中a為板對地的加速度，f1、N1分別為水平 面施加給板的滑動摩擦力和壓力。 應(yīng)用牛頓第二定律（或質(zhì)心定理）： 圓柱在木板上只滾不滑的條件是：a = ac +βR (6) (圓柱與板接觸點對地的加速度等于質(zhì)心加速度加上繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的加速度，即ac+βR，它必須等于木板對地的加速度a,才能只滾不滑) 將（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=Rβ 與（6）聯(lián)立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；將N1、f2代入（5）中，有

23、 7.5.7 在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為b，外徑為R,其繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量為mR2/3,線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為μ。線軸受一水平拉力F,如圖所示。 ⑴使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值是多少？ ⑵若F和水平方向成θ角，試證，cosθ＞b/R時，線軸向前滾；cosθ＜b/R時，線軸向后滾動。 解：可將（1）看作（2）的特殊情況。建立圖示坐標(biāo)，z軸垂直紙面 向外，為角量的正方向。根據(jù)靜摩擦 力的性質(zhì)，可知其方向與F水平分量方向相反。設(shè)線軸質(zhì)心的加速度為a，繞質(zhì)心的角加速度為β。 由質(zhì)心定理： 由轉(zhuǎn)動定理： 只滾不滑：a+βR=0 (4) 由⑴,

24、⑶,⑷聯(lián)立，可求得： ⑴ F為水平拉力時，即 . ⑵ 若，即線軸向前滾； 若，即線軸向后滾。 7.5.9 一質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)實心小球沿圓弧形導(dǎo)軌自靜止開始無滑滾下，圓弧形導(dǎo)軌在鉛直面內(nèi)，半徑為R。最初，小球質(zhì)心與圓環(huán)中心同高度。求小球運動到最低點時的速率以及它作用于導(dǎo)軌的正壓力。 解：設(shè)小球運動到最低點時，其質(zhì)心速 度為v，繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度為ω，由機械 能守恒，有 只滾不滑條件：ω=v/r,代入上式，可求得 在最低點應(yīng)用質(zhì)心運動定理： ，作用于導(dǎo)軌的正壓力與此等大，方向向下。 7.6.1 汽車在水平路面上勻速行駛，后面牽引旅行

25、拖車，假設(shè)拖車僅對汽車施以水平向后的拉力F.汽車重W,其重心與后軸垂直距離為a,前后軸距離為l，h表示力F與地面的距離。問汽車前后論所受地面支持力與無拖車時有無區(qū)別？試計算之。 l 解：隔離汽車，受力 情況如圖所示（摩擦力沒 C F 有畫出，因與此題無關(guān)）。 h 在豎直方向應(yīng)用力平 N1 W a N2 衡方程： 以前輪為支點，由力矩平衡方程， 由（2）解得： 將N2代入(1)中得： 令F=0，即得到無拖車時前后輪的支持力N1

26、’和N2’。顯然，有拖車時，前輪支持力減小，后輪支持力增大。 l mg Mg N o 7.6.3 電梯高2.2m，其質(zhì)心在中央，懸線亦在中央。另有負(fù)載5010kg，其重心離電梯中垂線相距0.5m。問⑴當(dāng)電梯勻速上升時，光滑導(dǎo)軌對電梯的作用力，不計摩擦（電梯僅在四角處受導(dǎo)軌作用力）；⑵當(dāng)電梯以加速度0.05m/s2上升時，力如何？ 解：⑴以o為軸,據(jù)力矩平衡條件： ⑵設(shè)電梯的加速度為a，以電梯為參考系，負(fù)載除受重力外，還受慣性力作用f*=ma,方向向下, 據(jù)力矩平衡條件： x z r N C (m1+m2)g 7.7.1環(huán)形框架質(zhì)量為0.20kg，上面裝有質(zhì)量為1.20kg的回轉(zhuǎn)儀，框架下端置于光滑的球形槽內(nèi)，回轉(zhuǎn)儀既自傳又旋進，框架僅隨回轉(zhuǎn)儀的轉(zhuǎn)動而繞鉛直軸轉(zhuǎn)動，回轉(zhuǎn)儀自身重心以及它連同框架的重心均在C點，C點與轉(zhuǎn)動軸線的垂直距離為r=0.02m，回轉(zhuǎn)儀繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為4.810-4kgm2,自轉(zhuǎn)角速度為120rad/s. ⑴求旋進角速度；⑵求支架球形槽對支架的總支承力。 解：根據(jù)旋進與自旋的關(guān)系式： 把回轉(zhuǎn)儀與支架當(dāng)作一個系統(tǒng)，設(shè)球形槽對支架的支承力為N，整個裝置的質(zhì)心C相對豎直軸做勻速圓周運動，由質(zhì)心運動定理： 與豎直軸夾角