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1、單擊以編輯,母版標題樣式,,單擊以編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,*,*,第五章 直線與平面的相對位置 兩平面的相對位置,§5-1 直線與平面平行 ? 兩平面平行,§5-2 直線與平面的交點 ? 兩平面的交線,§5-3 直線與平面垂直 ? 兩平面垂直,基本要求,1,,基本要求,（一）平行問題,,1 熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2 熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。,,（二）相交問題,,1 熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線
2、（其中一平面的投影具有積聚性）。 2 熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。 3 掌握利用重影點判別投影可見性的方法。,,（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。,,（四）點、線、面綜合題 1 熟練掌握點、線、面的基本作圖方法； 2 能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。,2,,§5-1 直線與平面平行 ? 兩平 面平行,一．直線與平面平行,,幾何條件：若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。這是解決直線與平面平行作圖問題
3、的依據。,,有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。,,,例題1,,例題2,,二．平面與平面平行,,幾何條件：若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據。,,兩面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的投影。,,,例題3,,例題4,,例題5,3,,一、,直線與平面平行,若一直線平行于屬于定平面的一直線，則該直線與平面平行,,P,C,D,B,A,4,,例題1 試判斷直線,AB,是否平行于定平面
4、,f,g,?,f,?,g,b,?,a,?,a,b,c,?,e,?,d,?,e,d,c,結論：直線,AB,不平行于定平面,5,,例題2 試過點,K,作水平線,AB,平行于,Δ,CDE,平面,b,?,a,?,a,f,?,f,b,c,?,e,?,d,?,e,d,k,?,k,c,6,,二、兩平面平行,若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行,P,S,E,F,D,A,C,B,7,,例題3 試判斷兩平面是否平行,f,?,e,?,d,?,e,d,f,c,?,a,?,a,c,b,?,b,m,?,n,?,m,n,r,?,r,s,s,?,結論：兩平面平行,8,,例題4
5、 已知定平面由平行兩直線,AB,和,CD,給定。試過點,K,作一平面平行于已知平面 。,e,m,?,n,?,m,n,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,r,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,k,?,k,9,,例題5 試判斷兩平面是否平行。,結論：兩平面平行,e,f,?,e,?,f,s,r,?,s,?,d,?,d,c,?,a,?,a,c,b,?,b,r,P,H,S,H,10,,§5-2 直線與平面的交點 ? 兩平 面的交線,,直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點，交點既在直線上又在平面上，因而交點是直線與平面的共有點。兩平面的交線
6、是直線，它是兩個平面的共有線。求線面交點、面面交線的實質是求共有點、共有線的投影。,,一、,直線與平面相交只有一個交點,,二、,兩平面的交線是直線,,三、,直線與,特殊位置,平面相交,,四、,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,,五、,直線與一般位置平面相交,,六、,兩一般,位置,平面相交,11,,一、,直線與平面相交,P,直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。,B,K,A,12,,M,B,C,A,二、平面與平面相交,F,K,N,L,兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有,13,,三、特殊位置線面相交,特殊位置線面相交，其交點的投影可利用直線或平面的積聚性投影直接求出。
7、 （,l）,當直線為一般位置，平面的某個投影具有積聚性時，交點的一個投影為直線與平面積聚性投影的交點，另一個投影可在直線的另一個投影上找到。 （2）當直線的某個投影具有積聚性，平面為一般位置時，交點的一個投影與直線的積聚性投影重合，另一個投影可利用在平面上找點的方法在平面的另一個投影上得到。,,,直線與,特殊位置,平面相交,,,判斷直線的可見性,,14,,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,n,?,直線與,特殊位置,平面相交,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交點可直接求出。,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,k,k,?,15,,判斷直線的
8、可見性,V,H,P,H,P,A,B,C,a,c,b,k,N,K,M,b,?,b,a,?,a,c,c,?,m,?,m,n,?,k,k,?,n,特殊位置線面相交，根據平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。,16,,四、一般位置平面與,特殊位置,平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,由于,特殊位置,平面的某些投影有積聚性,，,交線可直接求出。,,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,,判斷平面的可見性,,17,,一般位置平面與,特殊位置,平面相交,n,l,m,m,?,l,?,n,?,b,a,c,c,?,a,?,b,?,f,k,f,?,k,?,V,H,M,m,n,l,P,B,C,
9、a,c,b,P,H,k,f,F,K,N,L,18,,判斷平面的可見性,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,b,?,b,a,c,n,l,m,c,?,m,?,a,?,l,?,n,?,f,k,f,?,k,?,結 果,19,,判斷平面的可見性,b,?,b,a,c,n,l,m,c,?,m,?,a,?,l,?,n,?,f,k,f,?,k,?,V,H,M,m,n,l,B,C,a,c,k,f,F,K,N,L,20,,五、直線與一般,位置,平面相交,一般位置線面相交由于直線和平面的投影都沒有積聚性，求交點時無積聚性投影可以利用，因此通常要采用輔助平面法求一般位置線面的交點。一般位置線
10、、面相交求交點的步驟：,,（,l）,含已知直線作特殊位置輔助平面；,,（2）求輔助平面與已知平面的交線；,,（3）求交線與已知直線的交點，交點即為所求。,,以正垂面為輔助平面求線面交點,,示意圖,,以鉛垂面為輔助平面求線面交點,,示意圖,,判別可見性,,示意圖,,21,,f,?,e,?,e,f,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,?,2,?,以正垂面為輔助平面求線面交點,Q,V,2,1,k,k,?,,步驟,：,,1、 過,EF,作正垂平面,Q,。,,2、求,Q,平面與,Δ,ABC,的交線,ⅠⅡ,。,3、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點,K,。,22,,A,B,C,Q,過,MN,作平面,Q,垂
11、直于,V,投影面,M,N,以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖,23,,1,2,以鉛垂面為輔助平面求線面交點,。,P,H,1,?,f,?,e,?,e,f,b,c,?,a,?,a,c,b,?,步驟,：,,1、 過,EF,作鉛垂平面,P,。,,2、求,P,平面與,Δ,ABC,的交線,ⅠⅡ,。,3、求交線,ⅠⅡ,與,EF,的交點,K,。,k,?,k,2,?,24,,C,A,B,過,MN,作,平面,P,垂直于,H,投影面,N,M,P,E,F,K,以,鉛,垂面為輔助平面求線面交點 示意圖,25,,直線,EF,與平面,ABC,相交，判別可見性。,利用重影點。,,判別可見性,(,,),f,?,e,?,e
12、,f,b,a,?,a,c,b,?,c,?,1,2,4,?,3,?,2,?,1,?,3,4,（,,）,k,k,?,26,,,H,V,a,?,b,?,c,?,c,e,a,A,B,b,C,F,E,f,?,f,k,?,K,k,e,?,直線,EF,與平面,Δ,ABC,相交，判別可見性,示意圖,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,1,?,,(,2,?,),(,4,),3,利用重影點。,,判別可見性,27,,六、兩一般位置平面相交,求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。,,兩一般位置平面相交,求交線,,示意圖,,判別可見性,,例題6,,
13、,28,,兩一般位置平面相交，求交線步驟：,,,1、用直線與平面求交點的方法求出兩平面的兩個共有點,K,、,E,。,求兩平面的交線,b,a,c,c,?,b,?,a,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,P,V,Q,V,1,?,2,?,2,1,k,?,k,e,e,2、連接兩個共有點，畫出交線,KE,。,29,,兩一般位置平面相交求交線的方法,利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。,M,B,C,A,F,K,N,L,30,,利用重影點判別可見性,兩平面相交，判別可見性,b,a,c,c,?,b,?,a,?,l,l,?,n,m,m,?,n,?,k,e,e,?,k,?
14、,3,?,,4,?,,( ),3 4,2,1,( ),1,?,,2,?,31,,a,c,?,b,a,?,c,b,?,f,?,e,?,e,f,k,?,k,例題6,,試過,K,點作一直線平行于已知平面,Δ,ABC,，,并與直線,EF,相交,。,32,,分析,,F,P,C,A,B,E,K,H,過已知點,K,作平面,P,平行,于,?,,ABC,；,直線,EF,與平面,P,交于,H,；,連接,KH,，,KH,即為所求。,33,,作圖步驟,m,?,n,?,h,?,h,n,m,f,f,?,a,c,?,b,a,?,c,b,?,e,?,e,k,?,k,P,V,1,?,1,2,?,2,1、過點,K
15、,作平面,KMN,//,?,,ABC,平面。,2、過直線,EF,作正垂平面,P,。,3、,求平面,P,與平面,KMN,的交線ⅠⅡ。,4、求交線ⅠⅡ 與,EF,的交點,H,。,5、,連接,KH,，,KH,即為所求。,34,,§5-3 直線與平面垂直 ? 兩平面垂直,一、直線與平面垂直,,,幾何條件,,,定理1,,定理2,,,例題7,,例題8,,例題9,,例題10,,,二、兩平面垂直,,,幾何條件,,,例題11,,例題12,,例題13,35,,直線與平面垂直的幾何條件,：,若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該,,平面的一切直線。,,,,V,H,P,A,K,N,D,C,B,E,36,,定
16、理1：,若一直線垂直于一平面、則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,a,?,a,d,?,c,?,b,?,d,c,b,e,?,e,k,n,,k,?,n,?,37,,定理2（逆）：,若一直線垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影、則直線必垂直于該平面。,a,?,c,a,c,?,,n,?,,n,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,V,P,A,K,N,D,C,B,E,H,38,,例題7：平面由,?,,BDF,給定，試過定點,K,作平面的法線
17、。,a,?,c,a,c,?,,n,,n,?,k,f,?,d,?,b,?,d,b,f,k,?,39,,h,?,,h,例題8：試過定點,K,作特殊位置平面的法線。,,h,?,h,,h,?,h,k,k,?,S,V,k,?,k,P,V,k,?,k,Q,H,40,,例題9：平面由兩平行線,AB,、,CD,給定，試判斷直線,MN,是否垂直于定平面。,e,?,f,?,e,m,?,n,m,n,?,c,?,a,?,a,d,?,b,?,c,d,b,f,,41,,例題10 試過點,N,作一平面，使該平面與,V,面的夾角為60 °，與,H,面的夾角為45 °。,n,?,n,42,,分析：平面的法線與平面的最大斜度
18、線對同一投影面的夾角互為補角,H,P,A,K,F,D,C,B,E,f,?,?,43,,直徑任取,NM,作圖過程,|,y,M,-,y,N,|,|,z,M,-,z,N,|,m,?,h,?,m n,m,k,|,z,M,-,z,N,|,|,y,M,-,y,N,|,30,°,45,°,m n,m,?,n,?,k,?,,h,,n,?,n,44,,兩平面垂直的幾何條件,Ⅱ,若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。,A,D,45,,反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。,A,D,Ⅰ,Ⅱ,,兩平面垂直,兩平面不垂直,Ⅱ,Ⅰ,A,D,46,
19、,g,?,例題11 平面由,?,,BDF,給定，試過定點,K,作已知平面的垂面,h,a,?,c,a,c,?,,h,?,k,k,?,f,?,d,?,b,?,d,b,f,g,47,,例題12 試判斷,?,,A,BC,與相交兩直線,KG,和,KH,所給定的平面是否垂直。,g,?,h,?,a,?,c,h,a,c,?,k,k,?,b,?,b,g,,f,?,f,d,?,,d,結論：因為,AD,直線不在,?,,A,BC,平面上，所以兩平面不垂直。,48,,例題13 試過定點,A,作直線與已知直線,EF,正交。,a,?,e,f,a,f,?,e,?,49,,E,Q,分析,,過已知點,A,作平面與已知直線,EF,垂直交于點,K，,連接,AK，AK,即為所求。,F,A,K,50,,作圖過程,,2,?,,1,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,,2,?,,1,P,V,a,?,e,f,a,f,?,e,?,1,?,2,k,?,k,51,,本章結束,52,,
第五章 線、面相對位置 (2)
