山西省呂梁市2024屆高三第三次模擬考試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 呂梁市2024年高三年級(jí)第三次模擬考試 數(shù)學(xué) 注意事項(xiàng)： 1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在試卷和答題卡指定位置上. 2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案用0.5mm的黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上，寫在本試卷上無效. 3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回. 一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（????） A．第一象限 B．第二象限 C

2、．第三象限 D．第四象限 2．已知等邊的邊長為1，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若，則（????） A． B． C． D． 3．設(shè)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的（????） A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 4．如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為.若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長度，設(shè)經(jīng)過5次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于的位置，則（????） A． B． C． D． 5．已知a，，若，，則b的可能值為（????） A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6 6．設(shè)，當(dāng)變化時(shí)的最小值為（????） A

3、． B． C． D． 7．在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（????） A．4 B．6 C．8 D．4.5 8．設(shè)函數(shù).若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立，則（????） A． B．0 C．1 D． 二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. 9．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（????） A．當(dāng)最大 B．使得成立的最小自然數(shù) C． D．中最小項(xiàng)為 10．已知橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，兩曲線有公共焦點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個(gè)

4、公共點(diǎn)，，以下結(jié)論正確的是（????） A． B． C． D．若，則 11．已知正方體的棱長為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（????） A．若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為 B．平面平面 C．若，則的最小值為 D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為 三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12．在的展開式中，的系數(shù)為 (用數(shù)字作答) 13．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，已知，則 . 14．對(duì)任意閉區(qū)間I，用表示函數(shù) 在I上的最大值，若正實(shí)數(shù) a 滿足

5、,則a的值為 . 四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟. 15．某市質(zhì)監(jiān)部門根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對(duì)本地的500 家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家，統(tǒng)計(jì)其考核成績(單位：分)，并制成如下頻率分布直方圖. (1)求這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)及中位數(shù)a(精確到0.01); (2)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會(huì)，并從這 50 家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取5 家考核成績不低于88分的企業(yè)發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績?cè)赱96,100]的企業(yè)數(shù)為 Y，求 Y的

6、分布列與數(shù)學(xué)期望； (3)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績X服從正態(tài)分布， 其中μ近似為50 家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)x，σ2近似為樣本方差s2，經(jīng)計(jì)算得 ，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市500 家食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于95.32分的有多少家?(結(jié)果保留整數(shù)). 附參考數(shù)據(jù)與公式： 則 P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 16．已知函數(shù). (1)討論函數(shù)的單調(diào)性； (2)若對(duì)任意的，使恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍. 17．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且的邊長為，點(diǎn)在母線上，且，.

7、 (1)求證：，并求三棱錐的體積； (2)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離. 18．如圖，已知分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若到左焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過動(dòng)點(diǎn)作橢圓的切線，分別與直線和相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 19．對(duì)于無窮數(shù)列，若對(duì)任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”. (1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由； (2)已知數(shù)列為等差數(shù)列， ①若是“數(shù)列”，，且，求所

8、有可能的取值； ②若對(duì)任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”. 1．D 【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解. 【詳解】由復(fù)數(shù)滿足，可得，則， 則復(fù)數(shù) 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限. 故選：D. 2．B 【分析】取為基底，利用平面向量基本定理結(jié)合已知條件求解即可. 【詳解】在中，取為基底， 則， 因?yàn)辄c(diǎn)分別為的中點(diǎn)，, 所以， 所以. 故選：B. 3．C 【分析】根據(jù)題意，推得為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再由，得到，即，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解. 【詳解】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋? 且， 所

9、以為奇函數(shù)， 函數(shù)與均為遞增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增， 因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在也為單調(diào)遞增函數(shù)， 又因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增， 由，可得，所以，所以， 故對(duì)任意實(shí)數(shù)，則是的充要條件. 故選：C. 4．C 【分析】根據(jù)題意，由條件可得的可能取值為，且，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式代入計(jì)算，即可求解. 【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，的可能取值為，且， 所以 . 故選：C 5．B 【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合可得答案. 【詳解】由得，設(shè)，則， 又， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減． 因?yàn)?，所以? 結(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤. 故選：B. 6

10、．C 【分析】根據(jù)題意可得在，在上，將問題轉(zhuǎn)化為拋物線焦點(diǎn)到上點(diǎn)的最小值，結(jié)合拋物線的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可. 【詳解】在，在上， 設(shè)到準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，軸于. ， 又為焦點(diǎn)到上點(diǎn)的距離，設(shè)， 因?yàn)?所以過點(diǎn)的切線的斜率，當(dāng)與切線垂直時(shí)， 解得，所以，所以的最小值為. 故選：C. 7．A 【分析】由橢圓定義可知，點(diǎn)與點(diǎn)都在以為焦點(diǎn)的橢圓上，由到中點(diǎn)距離取最大值時(shí)得到，故此時(shí)體積最大. 【詳解】 由題可知，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)在平面內(nèi)以為焦點(diǎn)的橢圓上， 所以焦距為，即， 由橢圓定義可知長軸長為，即， 所以到中點(diǎn)距離的最大值為短半軸長，

11、所以中，，， 所以，又， 所以當(dāng)垂直平面時(shí)四面體體積最大，最大值為， 故選：A. 8．B 【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用差角的正弦公式變形等式，借助恒成立建立關(guān)系，并分析計(jì)算可得答案. 【詳解】函數(shù) ， 依題意，對(duì)任意的恒成立， 即對(duì)恒成立， 因此對(duì)恒成立， 于是，顯然，否則且，矛盾， 則，顯然，否則且，矛盾， 從而，解得， 所以. 故選：B. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：把給定的等式利用差角的正弦公式按角展開，借助恒等式建立方程組是解決本問題的關(guān)鍵. 9．BD 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件即可得到，即可判斷AC，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時(shí)，；

12、時(shí)，即可判斷D, 【詳解】根據(jù)題意：，即， 兩式相加，解得：，當(dāng)時(shí)，最大，故A錯(cuò)誤 由，可得到，所以， ， 所以，故C錯(cuò)誤； 由以上可得：， ，而， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確. 當(dāng)，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 由， 所以中最小項(xiàng)為，故D正確. 故選：BD. 10．BCD 【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D. 【詳解】根據(jù)題意，設(shè)， 對(duì)于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得，所以， 即，所以A錯(cuò)誤； 對(duì)于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲

13、線的定義，可得， 所以， 又由余弦定理得， 可得， 所以，所以B正確； 對(duì)于C中，由，可得，所以C正確； 對(duì)于D中，因?yàn)?，所以? 由可得，所以，所以D正確. 故選：BCD. 11．BCD 【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求異面直線夾角的取值范圍，判斷A的真假；平面平面，B選項(xiàng)很好判斷；先確定點(diǎn)位置，再展開成平面，轉(zhuǎn)化成平面上兩點(diǎn)之間的距離問題判斷C的真假；先得到是線段上一點(diǎn)，連接并與交于點(diǎn)，分當(dāng)與重合，在線段（不含點(diǎn)）上，在線段（不含點(diǎn)，）上和與重合四種情況，得到截面積的最大值，判斷D的真假. 【詳解】對(duì)于，如圖： 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間

14、直角坐標(biāo)系， 則， 則 則， 因?yàn)? 所以， 故，則的取值范圍為，故A不正確； 對(duì)于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確； 對(duì)于C：正方體的棱長為2，為空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使,如圖： 由得，即，故為線段上一點(diǎn). 將平面沿展開至與平面共面，如下圖： 易知：， 則. 在平面圖中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故C正確； 對(duì)于D：因?yàn)椋?，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖： 連接并與交于點(diǎn). 當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4. 當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，

15、由三邊長均為，故此時(shí)截面面積最大值為. 當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖： 延長與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為. 由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為， 所以. 當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為. 故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確. 故選：BCD 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：立體幾何中截面的處理思路： （1）直接連接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)平面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面就是找交線的過程； （2）作平行線法：過直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的平面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過過點(diǎn)找直線的平行線找

16、到幾何體與截面的交線； （3）作延長線找交點(diǎn)法：若直線相交但在立體幾何中未體現(xiàn)，可通過作延長線的方法先找到交點(diǎn)，然后借助交點(diǎn)找到截面形成的交線； （4）輔助平面法：若三個(gè)點(diǎn)兩兩都不在一個(gè)側(cè)面或者底面中，則在作截面時(shí)需要作一個(gè)輔助平面. 12．15 【分析】集合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果. 【詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，得，令，則，所以系數(shù)為， 故答案為：15. 13．## 【分析】根據(jù)題意，求得且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得到，再聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合拋物線的定義，即可求解. 【詳解】設(shè)到直線的距離為， 因?yàn)椋傻?，所以? 所以，即且， 設(shè)直線的方

17、程為，聯(lián)立方程組，整理得， 則，所以，則， 聯(lián)立方程組，解得， 由拋物線的定義，可得. 故答案為： 14．或 【分析】就參數(shù)進(jìn)行分類討論函數(shù)在的最大值，結(jié)合求出的值，或判斷值不存在即得. 【詳解】當(dāng)時(shí)， ，由 可得， 此時(shí)； 當(dāng)時(shí)，， 或. 若，則由 可得，因，故無解； 若，則由 可得，此時(shí)，即； 當(dāng)時(shí)，，因區(qū)間的長度至少為，故， 而顯然不成立,故舍去； 綜上，a的值為或. 故答案為：或. 15．(1)84.80分，中位數(shù)84.67分； (2)分布列見解析，1； (3)11家 【分析】（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求解； （2）利用頻率分布直方

18、圖的性質(zhì)及根據(jù)已知條件求出隨機(jī)變量的取值，利用古典概型的概率公式求出隨機(jī)變量相應(yīng)取值的概率，進(jìn)而得出隨機(jī)變量的分布列，利用期望公式即可求解； （3）根據(jù)已知條件及正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解. 【詳解】（1）這 50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)為： 由頻率分布直方圖得內(nèi)， 解得中位數(shù) (分) . （2）這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于88分的企業(yè)有 家， 其中考核成績?cè)趦?nèi)的企業(yè)有家， 由題意可知，的可能取值為， , , , ∴Y的分布列為： Y 0 1 2 P . （3）由題意得, , ∴ (家) ， ∴估計(jì)該市 500家食

19、品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量管理考核成績高于 95.32分的有11家. 16．(1)答案見解析 (2) 【分析】（1）由，定義域?yàn)?，求?dǎo)，令，討論當(dāng)取不同的值時(shí)的正負(fù)情況，即可得到的單調(diào)性； （2）法一：由可化為，令，討論取正、負(fù)、零時(shí)恒成立，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍； 法二：由可得，令，即恒成立，由，則令，則恒成立，討論取正、負(fù)、零時(shí)的單調(diào)情況，得到極值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍. 【詳解】（1）的定義域?yàn)椋? 令， 又， ，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增 ，當(dāng)，即時(shí)， 令，解得 其中，當(dāng)時(shí)， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，， 故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增. 綜上：在上單調(diào)

20、遞增； 在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. （2）法一：不妨設(shè)，則，同除以得， 所以令， 當(dāng)時(shí)，恒成立， ，若恒成立，符合題意， ，當(dāng)恒成立， 令則， 所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 所以，所以， ，若，同理恒成立，由知，當(dāng) 所以不存在滿足條件的. 綜上所述：. 法二：. 令，則只需在單調(diào)遞增， 即恒成立， ，令，則恒成立； 又， ①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增成立； ②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，又，故不恒成立.不滿足題意； ③當(dāng)時(shí)，由得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增， 因?yàn)楹愠闪?，所以? 解得， 綜上，. 17．(1)證明見解析， (2) 【分析】（

21、1）設(shè)，連接，即可證明平面，平面、平面，再由錐體的體積公式計(jì)算可得； （2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出直線與平面所成角的正弦值最大值，再由點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算可得. 【詳解】（1）設(shè)，連接， 為底面圓的內(nèi)接正三角形， 為中點(diǎn)， 又， ； ， ； 平面平面平面平面， 平面平面平面平面， 又平面， 又平面，又平面， 所以， 又平面， 平面平面平面； 為中點(diǎn)，，即， 又平面，平面， 平面平面， ， ， 又平面， . （2）為中點(diǎn)，又， 為中點(diǎn)，， ， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系， 則， ，

22、 ， ， 設(shè)， ； 設(shè)平面的法向量， 則，令，解得：， 設(shè)直線與平面所成角為， ， 令，則， ， 當(dāng)，即時(shí)，， ，此時(shí)， ， 點(diǎn)到平面的距離. 18．(1) (2)存在，， 【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合橢圓方程可得，結(jié)合題意列式求即可； （2）分析可知切線的方程為，進(jìn)而可得坐標(biāo)，利用交軌法可得點(diǎn)的軌跡方程為，進(jìn)而可得結(jié)果. 【詳解】（1）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，由得 則， 且，可得， 由題意可得：，解得，則， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即， 結(jié)合在圓上一點(diǎn)處的切線方程猜測(cè)橢圓上的一點(diǎn)處的切線方程為， 下面證明這

23、個(gè)猜想： 聯(lián)立方程，消去y整理得， 即，整理得，解得， 可知直線與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)， 即切線的方程為， 令得，令知：得， 因?yàn)椋瑒t直線，① 又因?yàn)?，則直線，② 由①②知：， 點(diǎn)的軌跡方程為， 即存在定點(diǎn)，使得為定值6， 即的坐標(biāo)為或. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程分析可知切線的方程為，進(jìn)而結(jié)合題意分析求解. 19．(1)是，理由見解析 (2)①的可能值為.②證明見解析 【分析】（1）根據(jù)題意，推得，取，得到，即可求解； （2）若是“數(shù)列”，且為等差數(shù)列，得到，進(jìn)而得到存在，使得，求得，得到的值，進(jìn)而求得的可能值； ②設(shè)數(shù)列公差為，得到，求得，雞兒推得，得到答案. 【詳解】（1）解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為， 對(duì)任意的，都有， 取，則，所以 是“數(shù)列”. （2）解：數(shù)列為等差數(shù)列， ①若是“數(shù)列”，，且， 則， 對(duì)任意的， ，由題意存在，使得， 即，顯然， 所以，即， .所以是8的正約數(shù)，即， 時(shí)，； 時(shí)； 時(shí)； 時(shí). 綜上，的可能值為. ②若對(duì)任意，存在，使得成立， 所以存在， 設(shè)數(shù)列公差為，則， 可得， 對(duì)任意， 則，取， 可得，所以數(shù)列是“數(shù)列”.