甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、 甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題 一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．已知復(fù)數(shù)，則（????） A． B．2 C． D． 2．設(shè)集合，若，則（????） A． B． C． D． 3．已知向量，設(shè)與的夾角為，則（????） A． B． C． D． 4．在的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（????） A．-280 B．280 C．560 D．-560 5．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則的漸近線(xiàn)方程為（????） A． B． C． D． 6．已知a，b均為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（????）

2、 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 7．孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中一個(gè)重要定理，最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》，年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將其問(wèn)題的解法傳至歐洲，年英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”.現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將至這個(gè)整數(shù)中能被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列.設(shè)，則（????） A．8 B．16 C．32 D．64 8．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（????） A．

3、B． C． D． 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分-在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求-全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分． 9．在圓O的內(nèi)接四邊形中，，，，則（????） A． B．四邊形的面積為 C． D． 10．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖，則（????） A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在有4個(gè)極值點(diǎn) 11．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別為棱，上的動(dòng)點(diǎn)，則（????） A．四面體的體積為定值 B．四面體的體積為定值 C．四面體的體積最大值為 D．四面體的體積最大值為 三、填空題：本題共3小題

4、，每小題5分，共15分． 12．一組樣本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位數(shù)是 ． 13．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的方程為 ，的面積為 （為坐標(biāo)原點(diǎn)）． 14．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)的最大值與最小值的和為 ． 四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 15．如圖，四棱錐的底面是矩形，是等邊三角形，平面平面分別是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)． ?? (1)求證：平面； (2)平

5、面與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的大?。? 16．某高中學(xué)校為了解學(xué)生參加體育鍛煉的情況，統(tǒng)計(jì)了全校所有學(xué)生在一年內(nèi)每周參加體育鍛煉的次數(shù)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了60名同學(xué)在某一周參加體育鍛煉的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表： 一周參加體育鍛煉次數(shù) 0 1 2 3 4 5 6 7 合計(jì) 男生人數(shù) 1 2 4 5 6 5 4 3 30 女生人數(shù) 4 5 5 6 4 3 2 1 30 合計(jì) 5 7 9 11 10 8 6 4 60 (1)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為3次及3次以上的，稱(chēng)為“經(jīng)常鍛煉”，其余的稱(chēng)為“不經(jīng)常鍛煉”．請(qǐng)完成以下列聯(lián)

6、表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系； 性別 鍛煉 合計(jì) 不經(jīng)常 經(jīng)常 男生 女生 合計(jì) (2)若將一周參加體育鍛煉次數(shù)為0次的稱(chēng)為“極度缺乏鍛煉”，“極度缺乏鍛煉”會(huì)導(dǎo)致肥胖等諸多健康問(wèn)題．以樣本頻率估計(jì)概率，在全校抽取20名同學(xué)，其中“極度缺乏鍛煉”的人數(shù)為，求和； (3)若將一周參加體育鍛煉6次或7次的同學(xué)稱(chēng)為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，為進(jìn)一步了解他們的生活習(xí)慣，在樣本的10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪(fǎng)談，設(shè)抽取的3人中男生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望． 附： 0.1 0.05 0

7、.01 2.706 3.841 6.635 17．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且． (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若對(duì)于任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 18．如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為． ?? (1)若直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，求證：； (2)過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，求證：． 19．微積分的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展中的里程碑，它的發(fā)展和廣泛應(yīng)用開(kāi)創(chuàng)了向近代數(shù)學(xué)過(guò)渡的新時(shí)期，為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法和手段．對(duì)于函數(shù)在區(qū)間上的圖像連續(xù)不斷，從幾何上看，定積分便是由直線(xiàn)和曲線(xiàn)所圍成的區(qū)域（稱(chēng)為曲邊梯

8、形）的面積，根據(jù)微積分基本定理可得，因?yàn)榍吿菪蔚拿娣e小于梯形的面積，即，代入數(shù)據(jù)，進(jìn)一步可以推導(dǎo)出不等式：． (1)請(qǐng)仿照這種根據(jù)面積關(guān)系證明不等式的方法，證明：； (2)已知函數(shù)，其中． ①證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)，曲線(xiàn)在和處的切線(xiàn)均不重合； ②當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 1．D 【分析】利用復(fù)數(shù)乘法法則得到，利用模長(zhǎng)公式求出答案. 【詳解】， 故. 故選：D 2．A 【分析】根據(jù)集合交集、并集概念計(jì)算即可. 【詳解】因?yàn)榧希?，則， 即集合，所以. 故選：A 3．D 【分析】用夾角公式計(jì)算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關(guān)系即可算

9、出正弦值. 【詳解】因?yàn)椋? 所以，， 所以， 因?yàn)闉榕c的夾角，所以. 故選：D 4．B 【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式求解即可. 【詳解】的二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，, 令，可得， 所以， 故含的項(xiàng)的系數(shù)為. 故選：B. 5．C 【分析】先得到方程，求出，得到雙曲線(xiàn)方程和漸近線(xiàn)方程. 【詳解】由題意得，解得， ，故漸近線(xiàn)方程為. 故選：C 6．A 【分析】解不等式得到，，充分性成立，舉出反例，故必要性不成立. 【詳解】a，b均為正實(shí)數(shù)，，故， ， 充分性，，，故，充分性成立， 必要性，，不妨設(shè)，滿(mǎn)足， 但不滿(mǎn)足，必要性不成立， 則“”是“”的充

10、分不必要條件. 故選：A 7．A 【分析】由題中的條件可得數(shù)列是一個(gè)以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出結(jié)果. 【詳解】被除余且被除余的數(shù)，按從小到大的順序排成一列，把這列數(shù)記為數(shù)列， 則數(shù)列是一個(gè)以5為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列； 所以， 故； . 故選：A. 8．C 【分析】由題意可得，在上單調(diào)遞減，所以不等式恒成立，等價(jià)于在恒成立，即恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在的最值即可得答案． 【詳解】解：因?yàn)?，，易知在上單調(diào)遞減， 所以， 所以，所以， 又因?yàn)閷?duì)于任意的，不等式恒成立， 即對(duì)于任意的，不等式恒成立， 所以在上恒成立，

11、即在上恒成立． 由，知，， 所以當(dāng)，上式等價(jià)于恒成立． 設(shè)，， ，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為， 當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，而， 所以，所以，即． 故選：C. 【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)、函數(shù)中心對(duì)稱(chēng)、函數(shù)與不等式綜合，恒成立問(wèn)題.借助導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和最值，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力，屬于難題. 9．ABD 【分析】選項(xiàng)A，在，分別使用余弦定理，求解即可； 選項(xiàng)B，結(jié)合面積公式，即得解； 選項(xiàng)C，轉(zhuǎn)化利用數(shù)量積的定義求解即可； 選項(xiàng)D，轉(zhuǎn)化，，利用數(shù)量積的定義求解即可. 【詳解】 由題意，，故， 在中，由余弦定理， 在中，由余弦定理， 故，解得，又，故 故，解得，A正確；

12、 ，B正確； 在中，， 在中，， ，C錯(cuò)誤； ， 又 ，故，D正確. 故選：ABD 10．BD 【分析】由“五點(diǎn)法”求得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的概念依次判斷選項(xiàng)即可. 【詳解】A:由圖可知的周期為：，又，所以； 由，，且，所以； 由，所以，故A錯(cuò)誤； B：由A的分析知，所以 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故B正確； C：由，得，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤； D：因?yàn)椋?，，，故D正確. 故選：BD. 11．BCD 【分析】根據(jù)到平面的距離不是定值即可判斷A；根據(jù)為定值與到平面的距離即可判斷B；確定當(dāng)Q與、與重合時(shí)四面體的體積取得最大值，即可判斷判斷C；如圖，確定四面

13、體的體積為，即可判斷D. 【詳解】A：因?yàn)榈拿娣e為，到平面的距離不是定值， 所以四面體的體積不是定值，故A錯(cuò)誤； B：因?yàn)榈拿娣e為，P到矩形的距離為定值， 所以到平面的距離為，則四面體的體積為，故B正確； C：當(dāng)Q與重合時(shí)，取得最大值，為， 當(dāng)與重合時(shí)，到平面的距離d取得最大值， 在正中，其外接圓的半徑為，則， 故四面體的體積最大值為，故C正確； D：過(guò)點(diǎn)作，，， 設(shè)，，則，， ，，，， 故四面體的體積為，其最大值為，故D正確． 故選：BCD 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正方體的性質(zhì)，三棱錐體積有關(guān)問(wèn)題.明確當(dāng)體積達(dá)到最值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵. 12．

14、37.5## 【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可. 【詳解】從小到大排序?yàn)椋?0，12，14，16，20，24，30，35，40，43； ，故第80百分位數(shù)是． 故答案為：37.5 13． ## 【分析】由題意求出拋物線(xiàn)方程，進(jìn)而求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，求得，，結(jié)合計(jì)算即可求解. 【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為， 則，得直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立整理得， 設(shè)，故，， 故的面積為． 故答案為：； 14． 【分析】求導(dǎo)，可得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解極值點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值，即可求解最值. 【詳解】， 當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，

15、，遞減； ，，， 故最大值與最小值的和為：． 故答案為： 15．(1)證明見(jiàn)解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直性質(zhì)定理證明平面，可得，再利用向量法證明，然后由線(xiàn)面垂直判定定理可證； （2）以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可解. 【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，是中點(diǎn)，所以， 又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面內(nèi)且相交，故平面 （2）分別為的中點(diǎn)，， 又平面過(guò)且不過(guò)，平面． 又平面交平面于，故，進(jìn)而， 因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)． 以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則

16、， ，， ?? 設(shè)平面法向量為， 則，即，取，得， 則， 因?yàn)?，所? 16．(1)填表見(jiàn)解析；性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系 (2)， (3)分布列見(jiàn)解析；期望為 【分析】（1）由60名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表，代入公式可得，即可得結(jié)論； （2）求出隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率，由二項(xiàng)分布即可得和； （3）易知的所有可能取值為，利用超幾何分布公式求得概率即可得分布列和期望值. 【詳解】（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表格數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表如下： 性別 鍛煉 合計(jì) 不經(jīng)常 經(jīng)常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合計(jì) 21 3

17、9 60 零假設(shè)為：性別與鍛煉情況獨(dú)立，即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性無(wú)關(guān)； 根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算可得 根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立， 即性別因素與學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1 （2）因?qū)W?？倢W(xué)生數(shù)遠(yuǎn)大于所抽取的學(xué)生數(shù)，故近似服從二項(xiàng)分布， 易知隨機(jī)抽取一人為“極度缺乏鍛煉”者的概率 即可得， 故，． （3）易知10名“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值為； 且服從超幾何分布： 故所求分布列為 0 1 2 3 可得 17．(1) (2) 【分析】（1）根

18、據(jù)題意，得到時(shí)，，兩式相減得到，得到及均為公差為4的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）由（1）求得，證得為恒成立，設(shè)，求得數(shù)列的單調(diào)性和最大值，即可求解. 【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，即， 當(dāng)時(shí)，可得， 兩式相減得， 因?yàn)?，故? 所以及均為公差為4的等差數(shù)列： 當(dāng)時(shí)，由及，解得， 所以，， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. （2）解：由（1）知，可得， 因?yàn)閷?duì)于任意成立，所以恒成立， 設(shè)，則， 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)， 所以，故，所以， 即實(shí)數(shù)的取值范圍為. 18．(1)證明見(jiàn)解析 (2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）根據(jù)

19、拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，設(shè)直線(xiàn)的方程為聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程求得，，即可得，得證； （2）寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)的的垂線(xiàn)方程，解得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，再由相似比即可得，即證得. 【詳解】（1）易知拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為； 設(shè)直線(xiàn)的方程為 聯(lián)立得， 可得，所以； 不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對(duì)于； 可得的斜率為 所以的方程為，即為 令得 直線(xiàn)的方程為， 令得． 又，所以 即得證． （2）方法1： 由（1）中的斜率為可得過(guò)點(diǎn)的的垂線(xiàn)斜率為， 所以過(guò)點(diǎn)的的垂線(xiàn)的方程為，即， 如下圖所示： 聯(lián)立，解得的縱坐標(biāo)為 要證明，因?yàn)樗狞c(diǎn)共線(xiàn)， 只需證明（*）． ， ．

20、 所以（*）成立，得證. 方法2： 由知與軸平行， ① 又的斜率為的斜率也為，所以與平行， ②， 由①②得，即得證. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)點(diǎn)法，從而得到，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而轉(zhuǎn)化為證明即可. 19．(1)證明見(jiàn)解析 (2)① 證明見(jiàn)解析；② 【分析】（1）根據(jù)題，設(shè)過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)分別交于，結(jié)合，即可得證； （2）①求得，分別求得在點(diǎn)和處的切線(xiàn)方程，假設(shè)與重合，整理得，結(jié)合由（1）的結(jié)論，即可得證； ②根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，在恒成立， 設(shè)，求得，分和，兩種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解. 【詳解】（1）解：在曲線(xiàn)取一點(diǎn)． 過(guò)點(diǎn)作的切

21、線(xiàn)分別交于， 因?yàn)椋? 可得，即． （2）解：①由函數(shù)，可得， 不妨設(shè)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為 ，即 同理曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為， 假設(shè)與重合，則， 代入化簡(jiǎn)可得， 兩式消去，可得，整理得， 由（1）的結(jié)論知，與上式矛盾 即對(duì)任意實(shí)數(shù)及任意不相等的正數(shù)與均不重合． ②當(dāng)時(shí)，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下證：當(dāng)時(shí)，恒成立． 因?yàn)?，所? 設(shè) （i）當(dāng)時(shí)，由知恒成立， 即在為增函數(shù)，所以成立； （ii）當(dāng)時(shí)，設(shè)，可得， 由知恒成立，即在為增函數(shù)． 所以，即在為減函數(shù)，所以成立， 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略： 1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍； 2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題． 3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．