浙江省上杭金湖四校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第三次聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、【新結(jié)構(gòu)】2023—2024學(xué)年浙江省上杭金湖四校第三次聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷 一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若集合，則（????） A． B． C． D． 2．設(shè)，是非零向量，“”是“”的（????） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 3．已知函數(shù)y=f（x）的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是（　　） A． B． C． D． 4．已知，則（????）． A． B． C． D． 5．對(duì)于變量Y和變量x的

2、成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，對(duì)應(yīng)的殘差如下圖所示，模型誤差（????） A．滿足一元線性回歸模型的所有假設(shè) B．不滿足一元線性回歸模型的的假設(shè) C．不滿足一元線性回歸模型的假設(shè) D．不滿足一元線性回歸模型的和的假設(shè) 6．已知一個(gè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和?前項(xiàng)和?前項(xiàng)和分別為??，則下列等式正確的是（????） A． B． C． D． 7．已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的值是（????） A．1 B．2 C．3 D．4 8．半徑為3的圓內(nèi)有一點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)等于（????） A． B．3 C． D． 二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題

3、給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分． 9．已知長(zhǎng)方體，則有（????） A．若與所成的角分別為，則 B．若與面、面、面三側(cè)面所成的角分別為，則 C．若，則 D．若，則． 10．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉是史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)了被人們稱為“世界上最完美的公式”——?dú)W拉公式：（其中是虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），它也滿足實(shí)數(shù)范圍內(nèi)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（????） A． B． C．若復(fù)數(shù)的虛部為，，則的實(shí)部為 D．已知，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，則三角形面積的最大值為 11．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上、下頂點(diǎn)分別

4、為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為1，則（????） A．為定值 B． C．與的面積相等 D．與的面積和為定值 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分． 12．某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有 種（用數(shù)字作答）． 13．若則 ． 14．在中，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，滿足，則的值為 ． 四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知等

5、差數(shù)列的公差為，且，設(shè)為的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足. (1)若，且，求； (2)若數(shù)列也是公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 16．如圖，三棱臺(tái)，平面平面，與相交于點(diǎn)，且平面． (1)求三棱錐的體積； (2)平面與平面所成角為與平面所成角為，求的值． 17．現(xiàn)有4個(gè)除顏色外完全一樣的小球和3個(gè)分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個(gè)球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中（允許有空盒）． (1)記盒子乙中的小球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望； (2)對(duì)于兩個(gè)不互相獨(dú)立的事件，若，稱為事件的相關(guān)系數(shù)． ①若，求證：； ②若事件盒子乙不空，事件至少有兩個(gè)盒子不空，求． 18．已知橢圓：的離心率為，是上一點(diǎn)

6、. (1)求的方程. (2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上. 19．已知函數(shù). (1)判斷的單調(diào)性； (2)設(shè)函數(shù)，記表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，若對(duì)任意的正數(shù)恒成立，求的值. （參考數(shù)據(jù)：，） 1．D 【分析】求出集合后可求. 【詳解】，故， 故選：D 2．B 【分析】根據(jù)向量相等、單位向量判斷條件間的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性定義即知答案. 【詳解】由表示單位向量相等，則同向，但不能確定它們模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，則， 所以“”是“

7、”的必要而不充分條件. 故選：B 3．B 【詳解】由y＝f′(x)的圖象知，y＝f(x)的圖象為增函數(shù)， 且在區(qū)間(－1,0)上增長(zhǎng)速度越來越快， 而在區(qū)間(0,1)上增長(zhǎng)速度越來越慢． 故選B. 4．B 【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答. 【詳解】因?yàn)?，而，因此? 則， 所以. 故選：B 【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：三角函數(shù)求值的類型及方法 （1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)． （2）“給值

8、求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系． （3）“給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時(shí)要壓縮角的取值范圍． 5．C 【分析】根據(jù)用一元線性回歸模型有關(guān)概念即可判斷. 【詳解】解：用一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸模型，根據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差圖，殘差的均值可能成立，但明顯殘差的軸上方的數(shù)據(jù)更分散，不滿足一元線性回歸模型，正確的只有C. 故選：C. 6．D 【分析】主要考察等比數(shù)列的性質(zhì)，字母為主，對(duì)學(xué)生的抽象和邏輯思維能力要求比較高

9、。 【詳解】當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 對(duì)于A, 當(dāng)時(shí)， 故A錯(cuò)， 對(duì)于B, 當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)， 對(duì)于C, 當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)， 對(duì)于D, 當(dāng)時(shí)，， ， 當(dāng)時(shí)， 則，故選項(xiàng)正確， 故選：D 7．A 【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對(duì)稱性求出，即可求的值． 【詳解】由題意，， 令， 因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 且的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱， 設(shè)， 則關(guān)于直線對(duì)稱， 所以且 由可得， 所以． 由可得， 所以， 又代入上式可得， 則． 故選：A． 8．C 【分析】畫

10、出圖形，當(dāng)時(shí)，最大，然后在中，用勾股定理求出即可． 【詳解】如左圖，作與E, ． 欲使最大，即最大，由于為定值，則只要最大即可． 當(dāng)，重合時(shí)，即時(shí)，最大，如右圖 中，，，， 則故當(dāng)最大時(shí)，的長(zhǎng)等于． 故選：C． 9．ABC 【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法求出夾角的正弦或余弦值，依次判斷選項(xiàng)即可． 【詳解】 如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)， 設(shè)， 則， 則， 對(duì)于， 同理可得， 則，故A正確； 對(duì)于B，面、面、面的一個(gè)法向量分別為， 則， 同理可得，則，故B正確； 對(duì)于C，， 故，C正

11、確； 由C選項(xiàng)分析可知，， 則，即； 同理，， 而顯然，則，故D錯(cuò)誤； 故選：ABC． 10．AB 【分析】根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)得模即可判斷A； ，整理即可判斷B； 根據(jù)歐拉公式及復(fù)數(shù)的虛部為，，結(jié)合三角恒等變換，求出，即可求出的實(shí)部，從而判斷C； 根據(jù)題意可得，點(diǎn)得軌跡時(shí)以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)三角形的面積公式即可求得三角形面積的最大值，從而判斷D. 【詳解】解：對(duì)于A，，故A正確； 對(duì)于B， ，故B正確； 對(duì)于C， ， 因?yàn)閺?fù)數(shù)的虛部為，所以， 又，所以， 故，所以， 所以， ， ， 即的實(shí)部為，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，由題意，， 則點(diǎn)

12、得軌跡時(shí)以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓， 又，， 當(dāng)，即時(shí)，取最大值， 所以三角形面積的最大值為，故D錯(cuò)誤. 故選：AB. 11．ABC 【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立等式，化簡(jiǎn)求出，為定值，可判斷A，根據(jù)直線斜率之間關(guān)系得到直線之間的關(guān)系可判斷，根據(jù)三角形面積公式即可判斷C,D. 【詳解】由題意可得，直線 所在直線方程為：， 設(shè)到直線的距離為， 則， 因?yàn)?在橢圓上， 所以，. 因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限， 所以， 有， 所以，，即，，故A正確， ，， 因?yàn)? 因?yàn)?，，所以，? 代入得，， 因?yàn)樵跈E圓上，有，即， 所以，，即，故B正確， ，

13、， 因?yàn)?，所以? 代入得,故C正確， ，， 因?yàn)椴皇嵌ㄖ?故D錯(cuò)誤. 故選：ABC. 【點(diǎn)睛】 12．64 【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解. 【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種； （2）當(dāng)從8門課中選修3門， ①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種； ②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種； 綜上所述：不同的選課方案共有種. 故答案為：64. 13． 【分析】由不等式的性質(zhì)求解． 【詳解】因?yàn)椋? 所以， 整理得，，即， 故答案為： 14．1 【分析】

14、根據(jù)正弦定理與一元二次方程根的判別式可得，進(jìn)而可得答案． 【詳解】已知， 則由正弦定理得：，（為外接圓半徑）， ， ，， ，即， ， ，，， ． 故答案為：1． 15．(1)； (2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，依次求出，列出不等式求解即得. （2）設(shè)，由已知求出，借助恒成立求出，再按奇偶分類并結(jié)合分組求和法求解即得. 【詳解】（1）依題意，，， 則，由，得，解得，而， 所以. （2）由是公差為的等差數(shù)列，設(shè)， 又， 于是對(duì)任意恒成立， 即對(duì)任意恒成立， 則，又，解得，從而，， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， ； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ， 所以. 1

15、6．(1)2 (2) 【分析】（1）通過證明線線和線面垂直，并結(jié)合已知條件即可得出三棱錐的體積； （2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出角與的正余弦值，即可解出． 【詳解】（1）由題意，平面平面， 且平面平面平面， 平面， 平面，， 又平面， 平面． 連接，平面平面，平面平面，， ，，． 三棱錐底面三角形的面積為 ，高， 其體積為：． （2）由題意及（1）得， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖，， 則． 設(shè)平面的法向量為， 由，取，則， 平面的一個(gè)法向量為， 所以． 又因?yàn)?，所以? ． 又，所

16、以． 17．(1) (2)①證明見詳解；② 【分析】（1）每個(gè)小球的選擇都是一次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，而每個(gè)小球選擇盒子乙的概率為，所以可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布； （2）①由條件概率的公式很容易證明；②主要是根據(jù)題意，確定是平均分組還是非平均分組，進(jìn)而根據(jù)排列組合的公式即可得到相關(guān)事件的概率；由于某些分組情況比較復(fù)雜，因此考慮其對(duì)立事件，會(huì)減少計(jì)算量. 【詳解】（1）由題意可知，的可能的取值為0,1,2,3,4，且，故； （2）①因?yàn)椋遥? 所以，即，而, 所以成立. ②事件：盒子乙不空，則事件：盒子乙空， 由第1問可知，所以， 事件：至少有兩個(gè)盒子不空，則事件：有一個(gè)盒子不

17、空， ，所以 事件：至少有兩個(gè)盒子不空且盒子乙不空，分為兩種情況，一種是三個(gè)盒子都不空，按照1、1、2分組；另一種是兩個(gè)盒子不空且乙不空，此時(shí)甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分組即可， 故, 所以， 化簡(jiǎn)得. 18．(1)； (2)①證明見解析；②證明見解析. 【分析】(1)由條件列出關(guān)于的方程，解方程可得，由此可得橢圓的方程； (2)①聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式求即可證明； ②求出直線與直線方程，聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，由此證明點(diǎn)在定直線上. 【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)， 所以，解得， 所以橢圓的方程為； （2）①因?yàn)檫^點(diǎn)

18、且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，，則 ，. 兩式相除得 ，． 因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，． 從而； ②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上. 【點(diǎn)睛】過x軸上定點(diǎn)斜率不為0的動(dòng)直線方程可設(shè)為；過y軸上定點(diǎn)(0，y0)斜率存在的動(dòng)直線方程可設(shè)為. 19．(1)在上單調(diào)遞減 (2) 【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷出導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0，即可得在上單調(diào)遞減； （2）利用導(dǎo)函數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)不等式可得出以及的取值范圍，代入整理

19、可得，再根據(jù)函數(shù)的定義和參考數(shù)據(jù)即可求得結(jié)果. 【詳解】（1）函數(shù)的定義域是， 易知恒成立， ∴在上單調(diào)遞減. （2），定義域是， 則， 令，則；令，則. ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ∵，，. ∴存在，使，即. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)， ∵ 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，. ∴1和是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根. ∴，由韋達(dá)定理. ∴，，∴. 即 ∴ 又由，∴ 又，∴ 所以（其中） 由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞減 且，. ∴. 即. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于求出函數(shù)最值以后，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成研究二次函數(shù)的根的分布情況得出參數(shù)的關(guān)系式，然后對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可.