力矩 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量

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1、會計(jì)學(xué)1力矩力矩 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)注注 （1 1）在定軸轉(zhuǎn)動在定軸轉(zhuǎn)動問題中，如不加說明，問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。轉(zhuǎn)軸的力矩。轉(zhuǎn)動平面把力分解為平行和垂直于把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 第1頁/共31頁O合力矩合力矩合力矩等于各個合力矩等于各個力矩的代數(shù)和力矩的代數(shù)和.第2頁/共31頁4合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩O剛體的合內(nèi)力矩為零剛體的合內(nèi)力矩為零設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)1 1和質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)2 2間相互作用力間相互作用力在垂直轉(zhuǎn)軸平面的分力各為在垂直轉(zhuǎn)軸平

2、面的分力各為F1212和和F2121,它們大小相等、方向它們大小相等、方向相反且在同一直線上相反且在同一直線上,如圖如圖.它們的合力矩它們的合力矩質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)點(diǎn)系的合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩=?0第3頁/共31頁5例：例：有兩個力作用在一個有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：有兩個力作用在一個有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上：1 1、這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力、這兩個力都平行于軸作用時，它們對軸的合力矩一定為零。矩一定為零。2 2、這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力、這兩個力都垂直于軸作用時，它們對軸的合力矩可能為零。矩可能為零。3 3、當(dāng)這兩個力合力為零時，它們對軸的合力矩一、當(dāng)這兩個力合力為零時，它們對軸的合力

3、矩一定也為零。定也為零。4 4、當(dāng)這兩個力對軸的合力矩為零時，它們合力一、當(dāng)這兩個力對軸的合力矩為零時，它們合力一定也為零。定也為零。第4頁/共31頁 二二二二.剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用牛頓第二定律，可得：應(yīng)用牛頓第二定律，可得：O對剛體中任一質(zhì)量元對剛體中任一質(zhì)量元-外力外力-內(nèi)力內(nèi)力采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：采用自然坐標(biāo)系，上式切向分量式為：O第5頁/共31頁用用 乘以上式左右兩端：乘以上式左右兩端：設(shè)剛體由設(shè)剛體由N 個點(diǎn)構(gòu)成，對每個質(zhì)點(diǎn)可寫出上述個點(diǎn)構(gòu)成，對每個質(zhì)點(diǎn)可寫出上述類似方程，將類似方程，將N 個方程左右相加，得：個方程左右相

4、加，得：根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)根據(jù)內(nèi)力性質(zhì)(每一對內(nèi)力等值、反向、共每一對內(nèi)力等值、反向、共線線,對同一軸力矩之代數(shù)和為零對同一軸力矩之代數(shù)和為零)，得：，得：第6頁/共31頁得到：得到：上上式式左左端端為為剛剛體體所所受受外外力力的的合合外外力力矩矩，以以M 表表示示；右右端端求求和和符符號號內(nèi)內(nèi)的的量量與與轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動狀狀態(tài)態(tài)無無關(guān)關(guān)，稱稱為為剛體轉(zhuǎn)動慣量，以剛體轉(zhuǎn)動慣量，以J J 表示。于是得到表示。于是得到剛體定剛體定軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動定律定律剛體定剛體定軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動定律定律第7頁/共31頁討論：討論：（2）J 與總質(zhì)量、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)與總質(zhì)量、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān);（3）M 的符號：使

5、剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速的符號：使剛體向規(guī)定的轉(zhuǎn)動正方向加速 的力矩為正的力矩為正.慣性大小的量度；慣性大小的量度；轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動（1）M 一定，一定，J對比對比第8頁/共31頁10例題、例題、質(zhì)量為質(zhì)量為m半徑為半徑為R的薄圓盤從靜止開始在恒力矩的薄圓盤從靜止開始在恒力矩M的作用下繞通過直徑的光滑軸轉(zhuǎn)動，的作用下繞通過直徑的光滑軸轉(zhuǎn)動，（J=mR2/4），），t秒后點(diǎn)秒后點(diǎn)B的切向加速度的切向加速度at=_，法向加速度法向加速度an=_.解：由轉(zhuǎn)動定律解：由轉(zhuǎn)動定律 M=J 得得=M/J而而 at=Ran=2R =t第9頁/共31頁11三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量 J 的的意義：意義

6、：轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度.轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：kgm2決定轉(zhuǎn)動慣量的要素：決定轉(zhuǎn)動慣量的要素：(1)體密度體密度;(2)幾何形狀幾何形狀;(3)轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)軸位置.兩個相同的圓盤兩個相同的圓盤,鐵質(zhì)與木質(zhì)鐵質(zhì)與木質(zhì)質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn),J 越大越大同一剛體同一剛體,轉(zhuǎn)軸位置不同轉(zhuǎn)軸位置不同,J 就不相同就不相同第10頁/共31頁12v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布 J 的計(jì)算方法的計(jì)算方法 v 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布：質(zhì)量元：質(zhì)量元：體積元：體積元第11頁/共31頁13 例例.求求長長L,質(zhì)質(zhì)量量m均均勻勻細(xì)細(xì)棒棒的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動慣慣量量.(1)O軸軸通通過過棒棒一一端且

7、與棒垂直端且與棒垂直;(2)O軸通過棒中點(diǎn)且與棒垂直軸通過棒中點(diǎn)且與棒垂直.xdxOO 解：解：取軸為坐標(biāo)原點(diǎn)取軸為坐標(biāo)原點(diǎn),取長度微元如圖取長度微元如圖dm=dx,=m/LdJ=r2dm=x2 dx(1)過棒的一端過棒的一端O=L3/3=mL2/3(2)過棒的中點(diǎn)過棒的中點(diǎn)O=x3/3=L3/12=mL2/12結(jié)果表明：結(jié)果表明：同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量并不相同。同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量并不相同。第12頁/共31頁14例題例題 求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的 轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m

8、，密度均勻。，密度均勻。rRdr解解 設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2 rdr，環(huán)的，環(huán)的 質(zhì)量質(zhì)量dm=2 rdr 。可得?？傻玫?3頁/共31頁15幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量：細(xì)棒細(xì)棒細(xì)棒細(xì)棒薄圓環(huán)薄圓環(huán)或薄圓筒或薄圓筒圓盤或圓盤或圓柱體圓柱體第14頁/共31頁16m1rm1質(zhì)點(diǎn)與剛體組合的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點(diǎn)與剛體組合的轉(zhuǎn)動慣量第15頁/共31頁17四四 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為

9、 ，則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CO第16頁/共31頁18質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為L的細(xì)棒繞其一端的的細(xì)棒繞其一端的JP圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量OO1d=L/2O1O2O2第17頁/共31頁19(2)為瞬時關(guān)系為瞬時關(guān)系(3)轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同地位相同(1),與與 方方向相同向相同 說明說明 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用第18頁/共31頁20竿竿子子長長些些還還是是短短些些較較安安全全？飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣大都分布于外輪緣？第19頁/共31頁21例例1 1、一根輕繩跨過一定滑

10、輪（滑輪、一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪 視為圓盤），繩的兩端分別視為圓盤），繩的兩端分別 懸有質(zhì)量懸有質(zhì)量 為為 m m1 1 和和 m m2 2 的物體的物體，m m1 1 m m2 2 ，滑輪的滑輪的 質(zhì)量為質(zhì)量為 m m，半徑為，半徑為 R R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩為力矩為 M Mf f ，繩與滑輪間無相對滑動。，繩與滑輪間無相對滑動。試求：物體的加速度和繩的張力。試求：物體的加速度和繩的張力。已知：已知：m1，m2，m，R，Mf求：求：.解解:研究對象研究對象 m1 ，m2 ，m 建立坐標(biāo)，受力分析建立坐標(biāo)，受力分析 如圖如圖Mf對對m1：對對m2：對對m：第20頁/共31頁

11、22聯(lián)立求得：聯(lián)立求得：注意：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量及摩擦阻力時：量及摩擦阻力時：這便是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)中這便是質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)中所熟知的結(jié)果所熟知的結(jié)果第21頁/共31頁2024/4/723例：例：已知已知 ：R R，m m 求：圓盤自靜止開始轉(zhuǎn)動后，轉(zhuǎn)過的角度與時間的關(guān)系求：圓盤自靜止開始轉(zhuǎn)動后，轉(zhuǎn)過的角度與時間的關(guān)系。解：解：圓盤和物體受力分析如圖：圓盤和物體受力分析如圖：對圓盤：對圓盤：對物體：對物體：聯(lián)立（聯(lián)立（1）、（）、（2）、（）、（3）得：）得：第22頁/共31頁24 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩平面上

12、，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過一半徑為索跨過一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎直懸掛豎直懸掛滑輪與繩索間無滑動，滑輪與繩索間無滑動，且滑輪且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)與軸承間的摩擦力可略去不計(jì)(1)兩物體兩物體的線加速度為多少？的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？的張力各為多少？(2)物體物體 B 從靜止落下從靜止落下距離距離 y 時，其速率是多少時，其速率是多少？第23頁/共31頁25解解 (1)用用隔離法分隔離法分別對各物體作受力分析，別對各物體作受力分析

13、，取如圖所示坐標(biāo)系取如圖所示坐標(biāo)系A(chǔ)BCOO第24頁/共31頁26OO第25頁/共31頁27解得：解得：第26頁/共31頁28如令如令 ，可得，可得 （2）B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動，由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動，下落的速率下落的速率第27頁/共31頁29穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成動試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時角時的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例3一長為一長為 l、質(zhì)質(zhì)量為量為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動相接，并可繞其轉(zhuǎn)動由于此豎直放置的細(xì)桿處由于此豎直放置的細(xì)桿處于非于非m,lOmg第28頁/共31頁30 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力鉸鏈對細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動定律得作用，由轉(zhuǎn)動定律得式中式中得得m,lOmg第29頁/共31頁31由角加速度的定義由角加速度的定義對上式積分，利用初始條件，對上式積分，利用初始條件，m,lOmg解得：解得：有有第30頁/共31頁