（江蘇專用）高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第33練 圓錐曲線中的探索性問題 理

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1、第37練　圓錐曲線中的探索性問題 題型一　定值、定點問題 例1　已知橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F交橢圓于A、B兩點． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點M，且＝λ，＝μ，當直線l的傾斜角變化時，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請說明理由． 破題切入點　(1)待定系數(shù)法． (2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點A，B的橫坐標的關系式，然后根據(jù)向量關系式＝λ，＝μ.把λ，μ用點A，B的橫坐標表示出來，只要證明λ＋μ的值與直線的斜率k無關即證明了其為定值，否則就不是定值． 解　(1)

2、依題意得b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，c＝1，∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)因直線l與y軸相交于點M，故斜率存在， 又F坐標為(1,0)，設直線l方程為 y＝k(x－1)，求得l與y軸交于M(0，－k)， 設l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， 又由＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)， ∴λ＝，同理μ＝， ∴λ＋μ＝＋＝ ＝＝－. 所以當直線l的傾斜角變化時，直線λ＋μ的值為定值－. 題型二　定直線問題 例2　在平面直角坐標系xO

3、y中，過定點C(0，p)作直線與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點． (1)若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值； (2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由． 破題切入點　假設符合條件的直線存在，求出弦長，利用變量的系數(shù)恒為零求解． 解　方法一　(1)依題意，點N的坐標為N(0，－p)， 可設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直線AB的方程為y＝kx＋p， 與x2＝2py聯(lián)立得 消去y得x2－2pkx－2p2＝0. 由根與系數(shù)的關系得x1＋x2＝2pk，x1x2

4、＝－2p2. 于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝·2p|x1－x2| ＝p|x1－x2|＝p ＝p＝2p2， ∴當k＝0時，(S△ABN)min＝2p2. (2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a， AC的中點為O′，l與以AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H， 則O′H⊥PQ，Q′點的坐標為(，)． ∵O′P＝AC＝＝， O′H＝＝|2a－y1－p|， ∴PH2＝O′P2－O′H2 ＝(y＋p2)－(2a－y1－p)2 ＝(a－)y1＋a(p－a)， ∴PQ2＝(2PH)2＝4[(a－)y1＋a(p－a)]． 令a－＝0，得a＝， 此時PQ＝

5、p為定值，故滿足條件的直線l存在， 其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線． 方法二　(1)前同方法一，再由弦長公式得 AB＝|x1－x2| ＝· ＝· ＝2p·， 又由點到直線的距離公式得d＝. 從而S△ABN＝·d·AB ＝·2p·· ＝2p2. ∴當k＝0時，(S△ABN)min＝2p2. (2)假設滿足條件的直線l存在，其方程為y＝a， 則以AC為直徑的圓的方程為 (x－0)(x－x1)－(y－p)(y－y1)＝0， 將直線方程y＝a代入得x2－x1x＋(a－p)(a－y1)＝0， 則Δ＝x－4(a－p)(a－y1) ＝4[(a－)y1＋a(p－

6、a)]． 設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P(x3，y3)，Q(x4，y4)， 則有PQ＝|x3－x4|＝ ＝2. 令a－＝0，得a＝， 此時PQ＝p為定值，故滿足條件的直線l存在， 其方程為y＝，即拋物線的通徑所在的直線． 題型三　定圓問題 例3　已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，兩個焦點分別為F1和F2，橢圓G上一點到F1和F2的距離之和為12，圓Ck：x2＋y2＋2kx－4y－21＝0(k∈R)的圓心為點Ak. (1)求橢圓G的方程； (2)求△AkF1F2的面積； (3)問是否存在圓Ck包圍橢圓G？請說明理由． 破題切入點　(1)根據(jù)定義，

7、待定系數(shù)法求方程． (2)直接求． (3)關鍵看長軸兩端點． 解　(1)設橢圓G的方程為＋＝1(a>b>0)，半焦距為c，則解得 所以b2＝a2－c2＝36－27＝9. 所以所求橢圓G的方程為＋＝1. (2)點Ak的坐標為(－k,2)， S△AkF1F2＝×|F1F2|×2＝×6×2＝6. (3)若k≥0，由62＋02＋12k－0－21＝15＋12k>0，可知點(6,0)在圓Ck外； 若k<0，由(－6)2＋02－12k－0－21＝15－12k>0，可知點(－6,0)在圓Ck外． 所以不論k為何值，圓Ck都不能包圍橢圓G. 即不存在圓Ck包圍橢圓G. 總結(jié)提高　(1)定

8、值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關．在這類試題中選擇消元的方向是非常關鍵的． (2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：y－y0＝k(x－x0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：y＝kx＋m，則直線必過定點(0，m)． (3)定直線問題一般都為特殊直線x＝x0或y＝y(tǒng)0型． 1．在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y2＝1有兩個不同的交點P和Q. (1)求k的取值范圍； (2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量

9、＋與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由． 解　(1)由已知條件，得直線l的方程為y＝kx＋， 代入橢圓方程得＋(kx＋)2＝1. 整理得(＋k2)x2＋2kx＋1＝0.① 直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于Δ＝8k2－4(＋k2)＝4k2－2>0， 解得k<－或k>. 即k的取值范圍為(－∞，－)∪(，＋∞)． (2)設P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 由方程①，得x1＋x2＝－.② 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2.③ 而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1)． 所以＋與共線等價于x1＋x2＝－(y1＋y2)

10、， 將②③代入上式，解得k＝. 由(1)知k<－或k>， 故不存在符合題意的常數(shù)k. 2．已知雙曲線方程為x2－＝1，問：是否存在過點M(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于P、Q兩點，且M是線段PQ的中點？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由． 解　顯然x＝1不滿足條件，設l：y－1＝k(x－1)． 聯(lián)立y－1＝k(x－1)和x2－＝1， 消去y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－3＝0， 由Δ>0，得k<，x1＋x2＝， 由M(1,1)為PQ的中點，得＝＝1， 解得k＝2，這與k<矛盾， 所以不存在滿足條件的直線l. 3．設橢圓E：＋＝

11、1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點，O為坐標原點． (1)求橢圓E的方程； (2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程，并求AB的取值范圍；若不存在，請說明理由． 解　(1)因為橢圓E：＋＝1(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點， 所以解得 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥，設該圓的切線方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，解方程組得x2＋2(kx＋m)2＝8， 即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－

12、8＝0， 則Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0. 故 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2 ＝－＋m2 ＝. 要使⊥，需使x1x2＋y1y2＝0， 即＋＝0， 所以3m2－8k2－8＝0， 所以k2＝≥0. 又8k2－m2＋4>0，所以所以m2≥， 即m≥或m≤－， 因為直線y＝kx＋m為圓心在原點的圓的一條切線， 所以圓的半徑為r＝， r2＝＝＝，r＝， 所求的圓為x2＋y2＝， 此時圓的切線y＝kx＋m都滿足m≥或m≤－， 而當切線的斜率不存在時切線

13、為x＝±與橢圓＋＝1的兩個交點為(，±)或(－，±)滿足⊥，綜上，存在圓心在原點的圓x2＋y2＝，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且⊥. 4．(2014·重慶)如圖，設橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，點D在橢圓上，DF1⊥F1F2，＝2，△DF1F2的面積為. (1)求該橢圓的標準方程． (2)是否存在圓心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由． 解　(1)設F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c2＝a2－b2. 由＝2，得DF

14、1＝＝c， 從而S△DF1F2＝DF1·F1F2＝c2＝，故c＝1， 從而DF1＝. 由DF1⊥F1F2，得DF＝DF＋F1F＝， 因此DF2＝. 所以2a＝DF1＋DF2＝2， 故a＝，b2＝a2－c2＝1. 因此，所求橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)如圖，設圓心在y軸上的圓C與橢圓＋y2＝1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，F(xiàn)1P1，F(xiàn)2P2是圓C的切線，且F1P1⊥F2P2. 由圓和橢圓的對稱性，易知，x2＝－x1，y1＝y(tǒng)2. 由(1)知F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)， 所以＝(x1＋1，y1)，＝(－x1－1，

15、y1)， 再由F1P1⊥F2P2，得－(x1＋1)2＋y＝0. 由橢圓方程得1－＝(x1＋1)2，即3x＋4x1＝0， 解得x1＝－或x1＝0. 當x1＝0時，P1，P2重合，題設要求的圓不存在． 當x1＝－時，過P1，P2分別與F1P1，F(xiàn)2P2垂直的直線的交點即為圓心C. 設C(0，y0)， 由CP1⊥F1P1，得·＝－1. 而求得y1＝，故y0＝. 圓C的半徑CP1＝ ＝. 綜上，存在滿足題設條件的圓， 其方程為x2＋(y－)2＝. 5．(2014·江西)如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過點M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與

16、直線AO相交于點D(O為坐標原點)． (1)證明：動點D在定直線上； (2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點N1，與(1)中的定直線相交于點N2，證明：MN－MN為定值，并求此定值． (1)證明　依題意可設AB方程為y＝kx＋2， 代入x2＝4y， 得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8. 直線AO的方程為y＝x； BD的方程為x＝x2. 解得交點D的坐標為 注意到x1x2＝－8及x＝4y1， 則有y＝＝＝－2. 因此動點D在定直線y＝－2上(x≠0)． (2)解　依題設，切線l

17、的斜率存在且不等于0，設切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡整理得b＝－a2. 故切線l的方程可寫為y＝ax－a2. 分別令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐標為 N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)， 則MN－MN＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8， 即MN－MN為定值8. 6．(2014·福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程． (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點

18、M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論． 解　方法一　(1)設S(x，y)為曲線Γ上任意一點， 依題意，點S到F(0,1)的距離與它到直線y＝－1的距離相等，所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y＝－1為準線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2＝4y. (2)當點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變．證明如下： 由(1)知拋物線Γ的方程為y＝x2， 設P(x0，y0)(x0≠0)，則y0＝x， 由y′＝x，得切線l的斜率 k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x0， 所以切線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)， 即y＝x0x－x. 由得A(x0,0)． 由得M(x0＋，3)． 又N(0,3)，所以圓心C(x0＋，3)， 半徑r＝MN＝|x0＋|， AB＝ ＝ ＝. 所以點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變． 方法二　(1)設S(x，y)為曲線Γ上任意一點， 則|y－(－3)|－＝2， 依題意，點S(x，y)只能在直線y＝－3的上方，所以y>－3，所以＝y(tǒng)＋1， 化簡，得曲線Γ的方程為x2＝4y. (2)同方法一．