《向量應(yīng)用舉例》PPT課件

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1、 7 向 量 應(yīng) 用 舉 例 平 行 、 垂 直 、 夾 角 、 距 離 、 全 等 、 相 似 等 ，是 平 面 幾 何 中 常 見 的 問 題 ， 而 這 些 問 題 都 可 以 由向 量 的 線 性 運(yùn) 算 及 數(shù) 量 積 表 示 出 來 .因 此 ， 平 面 幾何 中 的 某 些 問 題 可 以 用 向 量 方 法 來 解 決 ， 但 解 決問 題 的 數(shù) 學(xué) 思 想 、 方 法 和 技 能 ， 需 要 我 們 在 實(shí) 踐中 去 探 究 、 領(lǐng) 會 和 總 結(jié) . 思 考 1 用 向 量 方 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 的 基 本 思路 是 什 么 ？幾 何 問 題 向 量 化

2、 向 量 運(yùn) 算 關(guān) 系 化 向 量 關(guān) 系 幾 何 化 .探 究 點(diǎn) 1 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 倉 庫鐵 路 倉 庫l .M點(diǎn) 到 直 線 的 距 離l一 定 是 垂線 段 喲 ！ l M.o xy : Ax+By+C=0(x0,y0)點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 已 知 點(diǎn) M(x0, y0)和 直 線 l:Ax+By+C=0.則 點(diǎn) M到 直 線 l 的 距 離 d為 :0 02 2Ax By Cd A B 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 思 考 2 如 何 借 助 向 量 的 方 法 來 證 明 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離公 式 ？ .o xy M(x 0,y0)P(x

3、, y)n 0 0M ,P ,:A B C 0,B, A x yx yl x yv 是 直 線 外 一 定 點(diǎn) ，是 直 線 上 任 意 一 點(diǎn) ， 由 直線 可 以 取 它 的方 向 向 量 = .一 般 地 ， 稱 與直 線 的 方 向 向 量 垂 直 的 向 量 為 該直 線證 明 ：的 法 向 量 . l l: Ax+By+C=0 0 2 2 2 20 00 , .,: 0 :n A Bn n A B A BM x yl Ax By CPM n 于 是 ， 點(diǎn) 到 直 線的 距 離 等 于 向 量在 方 向 上 射 影 的 長 度 .o xy M(x0,y0)P(x, y)n 0 0

4、0 2 2 2 20 0 0 02 2 2 2, ,A Bd PM n x x y y A B A BA x x B y y Ax By Ax ByA B A B 0 02 2, ,. 又 因 為 為 上 任 意 一 點(diǎn) ， 所 以故 P x y l c Ax ByAx By cd A B 1.在 使 用 該 公 式 前 ， 需 將 直 線 方 程 化 為 一 般 式 2. A=0或 B=0， 此 公 式 也 成 立 ， 但 當(dāng) A=0且 B=0時(shí) 一般 不 用 此 公 式 計(jì) 算 距 離 特 別 提 醒 : 當(dāng) A=0或 B=0時(shí) ,直 線 方 程 為 y=y1或 x=x1的 形 式 .Q

5、Q x=x 1 M(x0,y0)-0 1MQ y y -0 1MQ x xyo y=y1 (x0,y0)xM(x0,y1) (x1,y0) 例 求 點(diǎn) 到 直 線 ： 的 距 離 .1 1 2 2 1 0P , l x y 0 02 21 2 2 1 12 1 1 2 1 52 11 2 5 由 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 ， 得所 以 點(diǎn) 到 線 的： 直 離 為解 距x ,y ,A ,B ,C .d ,P , l . 技 巧 方 法 :認(rèn) 清 公 式 的 形 式 ， 找 準(zhǔn) 每 一 個(gè) 變量 代 表 的 數(shù) 值 ， 準(zhǔn) 確 代 入 ， 精 確計(jì) 算 . P 0,3 ,3x + 4y

6、 = 0.P -2,0 ,4x + 3y -1= 0.P 0,0 ,4x + 7y = 37.P -1,-2 ,x + y = 0.P 2,3 ,x -1= 0.P 1,-1 ,y + 2 = 0.求 下 列 各 點(diǎn) 到 相 應(yīng) 直 線 的 距 離 9537 65653 2211課 堂 練 習(xí) 125 探 究 點(diǎn) 2 幾 何 中 的 應(yīng) 用 舉 例例 2 如 圖 ,已 知 AD， BE， CF分 別 是 ABC的 三 條 高 ， 求 證 ： AD， BE， CF相 交 于 同 一 點(diǎn) .思 路 分 析 解 決 此 類 問 題 一 般 是 將 相 關(guān) 的線 段 用 向 量 表 示 ， 利 用 向

7、 量 的 三 角形 法 則 和 平 行 四 邊 形 法 則 ， 結(jié) 合 題目 中 的 已 知 條 件 進(jìn) 行 運(yùn) 算 ， 得 出 結(jié)果 ， 再 翻 譯 成 幾 何 語 言 . C DE F BA H 兩 式 相 減 ， 得 ，即 所 以 ，又所 以 ， ， 三 點(diǎn) 共 線 ， 在 上 .CH CB CACH AB , CH ABCH AB, CF AB,C H F H CF 00 :設(shè) 交 于 點(diǎn) ， 以 下 只 需證 明 點(diǎn) 在 上 .因 為所 以又 ，證 明 0 0 00AD,BE HH CF AD BC,BE CA,AH CB ,BH CA .CH CA CB CH CB CA CB ,

8、CH CB CA CH CA CB CA C DE F BA H 簡 述 ：1.建 立 平 面 幾 何 與 向 量 的 聯(lián) 系 ， 用 向 量 表 示 問 題 中涉 及 的 幾 何 元 素 ， 將 平 面 幾 何 問 題 轉(zhuǎn) 化 為 向 量 問 題 .2.通 過 向 量 運(yùn) 算 ， 研 究 幾 何 元 素 之 間 的 關(guān) 系 ， 如 距離 、 夾 角 等 問 題 .3.把 運(yùn) 算 結(jié) 果 “ 翻 譯 ” 成 幾 何 元 素 .思 考 3 根 據(jù) 例 題 你 能 總 結(jié) 一 下 利 用 向 量 法 解 決 平面 幾 何 問 題 的 基 本 思 路 嗎 ？用 向 量 方 法 解 決 平 面 幾 何

9、 問 題 的 “ 三 步 曲 ” ：形 到 向 量 向 量 的 運(yùn) 算 向 量 和 數(shù) 到 形 思 考 4 物 理 中 力 的 合 成 與 分 解 中 體 現(xiàn) 了 向 量 的 哪 種運(yùn) 算 ?提 示 ： 體 現(xiàn) 了 向 量 的 加 減 法 的 運(yùn) 算 .思 考 5 在 物 體 的 運(yùn) 動 過 程 中 ,是 否 力 越 大 ,做 的 功 就越 多 ?提 示 ： 不 一 定 .力 所 做 的 功 不 僅 取 決 于 力 的 大 小 ,還和 力 與 物 體 運(yùn) 動 方 向 的 夾 角 有 關(guān) 系 .探 究 點(diǎn) 3 物 理 中 的 應(yīng) 用 舉 例 例 3 一 架 飛 機(jī) 從 A地 向 北 偏 西 60

10、 的 方 向 飛 行 1 000km到 達(dá) B地 ， 然 后 向 C地 飛 行 .設(shè) C地 恰 好 在 A地 的 南 偏 西 60 ， 并 且 A， C兩 地 相 距 2 000km， 求飛 機(jī) 從 B地 到 C地 的 位 移 . B ADC 60 o60o西 南 東北分 析 : 要 求 飛 機(jī) 從 B地 到 C地 的 位移 ， 需 要 解 決 兩 個(gè) 問 題 ： 利 用 解 三 角 形 的 知 識 求 線 段 BC的長 度 . 求 BC與 基 線 的 夾 角 . 60 km60 km 601 000km1 30 902 3sin60 oo oo oo設(shè) 在 東 西 基 線 和 南 北 基 線

11、 的 交 點(diǎn) 處 .依 題 意 ，的 方 向 是 北 偏 西 ， ； 的 方 向 是南 偏 西 ， .所 以 過 點(diǎn) 作 東 西 基 線 的 垂 線 ， 交 于 ，則 為 正 三 角 形 .所 以解 ： ，.所 以 .=2 000AAB AB ACAC BAC .B AC DABD BD CDCBD BCD BDA ABCBC AC 1000 3 km 3km2 3 km30 o = , =1 000 .答 ： 飛 機(jī) 從 地 到 地 的 位 移 大 小 是 1000 ，方 向 是 南 偏 西 BCB C. 向 量 解 決 航 空 、 航 海 問 題 方 法 ：1.按 照 題 意 正 確 作

12、圖 .2.分 析 圖 形 的 邊 角 關(guān) 系 .3.利 用 平 面 幾 何 的 知 識 求 出 答 案 . 30分 析 ： 本 題 是 向 量 在 物 理 學(xué) 中 “ 力 學(xué)問 題 ” 上 應(yīng) 用 的 例 子 ， 可 以 清 楚 地 看出 向 量 的 直 接 作 用 ， 根 據(jù) 向 量 數(shù) 量 積的 幾 何 意 義 ， 可 知 對 物 體 所 做 的 功 即是 表 示 力 的 向 量 和 表 示 位 移 的 向 量 的數(shù) 量 積 .例 4 已 知 力 與 水 平 方 向 的 夾 角 為 30 （ 斜 向 上 ） ，大 小 為 50 N， 一 個(gè) 質(zhì) 量 為 8 kg的 木 塊 受 力 的 作

13、用 在動 摩 擦 因 數(shù) =0.02的 水 平 平 面 上 運(yùn) 動 了 20 m.問 力 和 摩 擦 力 所 做 的 功 分 別 為 多 少 ？ （ g=10 m/s2）F F Ff F 1F2Ff G 1 80 25 002 11 Ncos180 11 20 1 22 J3J J o所 以 ， 摩 擦 力 的 大 小 為因 此答 和 所 做 的 功 分 別 是 500 和 -22ff G F . . .f s f s . .F f . 11 350 20 500 3 J2150 25 N2 oo設(shè) 木 塊 的 位 移 為 ， 則cos 30將 力 分 解 ， 它 在 鉛 垂 線 方 向 上

14、的 分 力 的 大 小 為sin 0解 ： 3 sF s F s .F FF F , 向 量 解 決 物 理 問 題 方 法 ：1.將 物 理 中 的 矢 量 用 向 量 表 示 .2.找 出 向 量 與 向 量 的 夾 角 .3.利 用 向 量 的 數(shù) 量 積 計(jì) 算 功 . 1.證 明 直 徑 所 對 的 圓 周 角 是 直 角 . A BCO如 圖 所 示 ， 已 知 O， AB為 直 徑 ， C為 O上 任 意 一 點(diǎn) ， 不 與 AB重 合 .求 證 ACB=90 . a b 要 證 ACB=90 ， 只 需 證 向量 ， 即 .AC CB 0AC CB 思 路 分 析 證 明 ：

15、設(shè) 則 ，由 此 可 得 ： , , AO OB aOC b ,AC a bCB a b AC CB a b a b 2 2 2 2 0,a a b b a b r r 即 ， ACB=90 . 0AC CB 所 以 ,AC CB 12 500 m10km h 2 km h 2 一 條 河 的 兩 岸 平 行 ， 河 寬 ， 一 艘 船 從出 發(fā) 航 行 到 河 的 正 對 岸 處 .航 行 的 速 度， 水 流 的 速 度 ， 問 行 駛 航 程 最短 時(shí) ， 所 用 的 時(shí) 間 是 多 少 ？. d AB v/ v / v v2v1 AB1 212 210 km/h,2 km/h. 如 圖

16、 ， 已 知 ， ， 求 v v vvvv v t 思 路 分 析 0,2 由 已 知 條 件 得解 :： v v 2 21 2| | | | | | 96(km /h),v v v 所 以 dt v 0.5 60 3.1(min).| | 96本 題 方 法 ：1.計(jì) 算 速 度 的 合 速 度 .2.計(jì) 算 時(shí) 間 必 須 使 速 度 的 方 向 和 位移 的 方 向 一 致 .答 ： 行 駛 航 程 最 短 時(shí) ， 所 用 的 時(shí) 間 是 3.1 min. 注 意 :用 該 公 式 時(shí) 應(yīng) 先 將 直 線 方 程 化 為 一 般 式 . 1.點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 ： ，0 02 2Ax By Cd A B 2.掌 握 用 向 量 方 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 的 三 個(gè) 步 驟 ：簡 述 ： 形 到 向 量 向 量 的 運(yùn) 算 向 量 和 數(shù) 到 形