數(shù)字信號處理 第8章

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1、第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理8.1 引言 8.2 信號的整數(shù)倍抽取 8.3 信號的整數(shù)倍內(nèi)插 8.4 按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換 8.5 整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語音系統(tǒng)中的應(yīng)用 8.6 采樣率轉(zhuǎn)換濾波器的高效實現(xiàn)方法 8.7 采樣率轉(zhuǎn)換器的MATLAB實現(xiàn) 習(xí)題與上機題 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.1 引 言前面所討論的信號處理的各種方法都是把采樣率Fs視為固定值， 即在一個數(shù)字系統(tǒng)中只有一個采樣頻率。 但在實際系統(tǒng)中， 經(jīng)常會遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題， 即要求一個數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)。 例如： 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 （1） 在數(shù)字電視系

2、統(tǒng)中， 圖像采集系統(tǒng)一般按4 4 4標(biāo)準(zhǔn)或4 2 2標(biāo)準(zhǔn)采集數(shù)字電視信號， 再根據(jù)不同的電視質(zhì)量要求， 將其轉(zhuǎn)換成其它標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)字信號（如4 2 2， 4 1 1， 2 1 1等標(biāo)準(zhǔn)）進行處理、 傳輸。 這就要求數(shù)字電視演播室系統(tǒng)工作在多采樣率狀態(tài)。 （4 2 2標(biāo)準(zhǔn)的含義是“亮度信號Y的采樣率: 紅色差信號R-Y的采樣率:藍(lán)色差信號B-Y的采樣率=4 2 2”， 其他標(biāo)準(zhǔn)以此類推。） 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 （2） 在數(shù)字電話系統(tǒng)中， 傳輸?shù)男盘柤扔姓Z音信號， 又有傳真信號， 甚至有視頻信號， 這些信號的帶寬相差甚遠(yuǎn)。 所以， 該系統(tǒng)應(yīng)具有多采樣率功能， 并根據(jù)所傳輸?shù)男盘栕詣油瓿刹蓸勇?/p>

3、轉(zhuǎn)換。 （3） 對一個非平穩(wěn)隨機信號（如語音信號）作譜分析或編碼時， 對不同的信號段， 可根據(jù)其頻率成分的不同而采用不同的采樣率， 以達到既滿足采樣定理， 又最大限度地減少數(shù)據(jù)量的目的。 （4） 如果以高采樣率采集的數(shù)據(jù)存在冗余， 這時就希望在該數(shù)字信號的基礎(chǔ)上降低采樣速率， 剔除冗余， 減少數(shù)據(jù)量， 以便存儲、 處理與傳輸。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 以上所列舉的幾個方面都是希望能對采樣率進行轉(zhuǎn)換， 或要求數(shù)字系統(tǒng)工作在多采樣率狀態(tài)。 近年來， 建立在采樣率轉(zhuǎn)換基礎(chǔ)上的“多采樣率數(shù)字信號處理”已成為數(shù)字信號處理學(xué)科的主要內(nèi)容之一。 一般認(rèn)為， 在滿足采樣定理的前提下， 首先將以采樣率F1

4、采集的數(shù)字信號進行D/A轉(zhuǎn)換, 變成模擬信號， 再按采樣率F 2進行A/D變換， 從而實現(xiàn)從F1到F2的采樣率轉(zhuǎn)換。 但這樣較麻煩， 且易使信號受到損傷， 所以實際上改變采樣率是在數(shù)字域?qū)崿F(xiàn)的。 根據(jù)采樣率轉(zhuǎn)換理論， 對采樣后的數(shù)字信號x(n)直接進行采樣率轉(zhuǎn)換， 以得到最新采樣率下的采樣數(shù)據(jù)。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 采樣率轉(zhuǎn)換通常分為“抽?。―ecimation）”和“插值（Interpolation）”。 抽取是降低采樣率以去掉多余數(shù)據(jù)的過程， 而插值則是提高采樣率以增加數(shù)據(jù)的過程。 本章先討論抽取和插值的一般概念， 然后討論其幾種基本的實現(xiàn)方法。 本章所涉及的內(nèi)容也是語音及圖像數(shù)

5、據(jù)壓縮新技術(shù)子帶編碼的重要理論基礎(chǔ)。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.2 信號的整數(shù)倍抽取設(shè)x(n1T1)是連續(xù)信號xa(t)的采樣序列， 采樣率F1=1/T1(Hz)， T1稱為采樣間隔， 單位為秒， 即 如果希望將采樣率降低到原來的1/D， D為大于1的整數(shù)， 稱為抽取因子。 最簡單的方法是對x(n 1T1)每D點抽取1點， 抽取的樣點依次組成新序列y(n2T2)。 y(n2T2)的采樣間隔為T2， 采樣率為F2 = 1/T2(Hz)， T2與T1的關(guān)系為（8.2.1）)()( 11a11 TnxTnx 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 為了后面敘述方便， 我們將上述的抽取系統(tǒng)用圖8.2.1

6、(a)表示， 圖中符號表示采樣率降低為原來的1/D（D為Decimation的第一個字母， 表示抽?。?x(n1T1)和y(n2T2)分別如圖8.2.1（b）和（c）所示。 圖中n1和n2分別表示x(n1T1)和x(n2T2)序列的序號， 于是有 （8.2.3） 當(dāng)n 1=n2D時， y(n2T2)=x(n1T1)。 （8.2.2）12 DTT 1222 )( DTnxTny D 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.2.1 數(shù)字信號的時域抽取示意圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 1je X 上面在時域討論了整數(shù)倍抽取的概念。 抽取看起來好像很簡單， 只要每隔D1個抽取一個就可以了， 但抽取降

7、低了采樣頻率， 會引起頻譜混疊現(xiàn)象。 下面討論抽取過程中可能出現(xiàn)的頻譜混疊及改進措施。 如果x(n1T1)是連續(xù)信號xa(t)的采樣信號， 則xa(t)和x(n1T1)的傅里葉變換Xa(j)和將分別是 （8.2.4） （8.2.5） ja a(j ) ( )e dtX x t t 1 1 1j j1 1e ( )e nnX x nT 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 其中， =2f rad/s， f為模擬頻率變量; 1為數(shù)字頻率, （8.2.6）由（2.4.3）式有 （8.2.7） 111 2 FfT k kTxTX sa11a1j jj1)e( 1 式中， sa1=2/T1 rad/s, 亦稱為

8、采樣頻率。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 1je X為了對抽樣前后的頻譜進行比較， 作圖時均以模擬角頻率為自變量（橫坐標(biāo)）， 為此按（8.2.6）式將寫成的函數(shù)為 （8.2.8） 因為這里xa(t)是一般的非周期連續(xù)函數(shù)， 所以Xa(j)也是模擬頻率的非周期函數(shù)， 如圖8.2.2（a）所示。 kTT kxTXX )jj(1|)e()e( sa1a1jj 1111 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 而x(n1T1)的傅里葉變換為連續(xù)頻率1的周期函數(shù)。 在滿足采樣定理時，的頻譜在sa1/2, sq1/2上與Xa(j)相似（差一個比例常數(shù)1/T1）， 且無混疊現(xiàn)象， 如圖8.2.2（b）所示。 但如果將

9、采樣率降低到原來的1/D， 即T2=DT1， 當(dāng)D=4時， 得到y(tǒng)(n2T2)及其頻譜如圖8.2.3所示（實際上， 應(yīng)為圖中各重復(fù)譜的疊加曲線）。 圖中， y(n2T2)為對x(n1T1)抽取的結(jié)果， 為y(n 2T2)的傅里葉變換。 的周期sa2=2/T2=2/DT1=sa1/D。 這就是說， 的周期是周期的1/D。 1je X 1je X 2je Y 2je Y 2je Y 2je Y 2je Y 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.2.2 xa(t)與x(n1T1)及其頻譜圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.2.3 抽取引起的頻譜混疊現(xiàn)象 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 由圖8.2.3

10、可見， 是有混疊的， 無法從y(n2T2)中恢復(fù)出x(n1T1)來。 所以隨意對x(n1T1)進行抽取是不行的。 只有在抽取后仍能滿足采樣定理時才能恢復(fù)出原來的信號xa(t)， 否則就必須另外采取措施。 通常采取的措施是抗混疊濾波。 所謂抗混疊濾波， 就是在抽取之前先對信號進行低通濾波， 把信號的頻帶限制在sa2/2以下。 這種抽取系統(tǒng)框圖如圖8.2.4所示。 圖中h(n 1T1)為抗混疊濾波器， 它的輸出v(n1T1)的最高頻率已被h(n1T1)限制在sa2/2=sa1/(2D)以下。 即抗混疊濾波器的阻帶截止頻率為sa1/(2D)， 對應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為)e( 2jY 第8章 多采樣率

11、數(shù)字信號處理 圖8.2.4 帶有抗混疊濾波器的抽取系統(tǒng)框圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 所以， 在理想情況下， 抗混疊低通濾波器h(n1T1)的頻率響應(yīng)H(ej)由下式給出: （8.2.9） sa1 1 11 2 T TD TD D j 1,(e ) 0, DH D 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.2.4中各點的信號在時域和頻域中的示意圖如圖8.2.5所示。 這種辦法雖然把x(n1T1)中的高頻部分損失掉了， 但由于抽取后避免了混疊， 所以在中完好無損地保留了中的低頻部分， 可以從中恢復(fù)出的低頻部分。 )e( 2jY )e( 2jX)e( 2jY )e( 2jX 第8章 多采樣率數(shù)字信號

12、處理 圖8.2.5 抽取前后信號的時域和頻域示意圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 為了進一步搞清x(n1T1)經(jīng) 前后的頻譜關(guān)系， 對信號的抽取過程進行等效的數(shù)學(xué)描述， 如圖8.2.6所示， 以便于進行頻譜分析， 找出與之間的關(guān)系。 在抽取前先令x(n1T1)乘以周期序列， 即（8.2.10） 其中， 定義如下： D )e( 2jY 1je X)( 11Tn )()()( 111111 TnTnxTnx )( 11Tn ，其它，0 ,2,01)( 1 11 DDnTn def 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 )( 11Tnx D )( 11Tn)( k)( 11Tn 然后對 進行， 得到y(tǒng)(n2

13、T2)。 的離散傅里葉級數(shù)（DFS）系數(shù)為 （8.2.11） 于是的DFS展開式為（8.2.12） 1e)()( 10 2j11 1 1 Dn knDTnk 10 2j10 2j11 11 e1e)(1)( Dk knDDk knD DkDTn 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 將（8.2.12）式代入（8.2.10）式, 得 （8.2.13） 對進行抽取， 每隔D-1個點抽取一個樣值， 所取得抽樣點均在的點上。 把這樣抽取的結(jié)果作為y(n 2T2)， 如圖8.2.6所示（D=4）。 10 2j1111 1e)(1)( Dk knDTnxDTnx)( 11Tnx )( 11Tn 第8章 多采樣率數(shù)

14、字信號處理 圖8.2.6 抽取過程的等效數(shù)學(xué)描述與直接抽取波形 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 下面推導(dǎo)與的關(guān)系： 當(dāng)n2D=n1時， ， 而當(dāng)n2Dn1時， =0， 所以 )e( 2jY 1je X 2 212 212 222 j22j12j22j e)(e)(e)()e( n Dnn DnTn n TnyDTnyTnyY )()( 1112 TnxDTny )( 11Tnx 10 2j j10 2j11j11j 1 1 1111 112 e1 ee)(1e)()e( Dk kD n nDk knDn nXD TnxDTnxY （8.2.14） 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 令 , 則 DDT

15、T zz /12/jjj1 211 eee （8.2.15） 10 /1 )(1)( Dk kDWzXDzY式中， 。 所以有（省去z的下標(biāo)） （8.2.16） （8.2.14）式就是與的關(guān)系， 即是的D個平移樣本之和， 相鄰的平移樣本在頻率軸1上相差2/D， 在模擬頻率軸上相差2/(DT1)=sa1/D=sa2， 如圖8.2.7和圖8.2.8所示。DWzz 2jj1j2 eee 12 ， 10 12 )(1)( Dk kWzXDzY )e( 2jY 1je X)e( 2jY 1je X 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 為了更清楚地說明上述關(guān)系， 將由求得y(n2T2)頻譜的過程用圖8.2.7和

16、圖8.2.8表示出來。 圖8.2.7給出了抽取后產(chǎn)生混疊的情況， 即中的最高頻率csa1/(2D)=sa2/2。 這里sa1 為的周期， sa2為的周期。 圖8.2.8給出了抽取后不產(chǎn)生混疊的情況， 即中的最高頻率 csa2/2時， 抽取前后的頻譜關(guān)系示意圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.2.8 c2c， 所以允許有一定的過渡帶， 可用線性相位FIR濾波器實現(xiàn)。 根據(jù)其功能， 將h(n2T2)稱為鏡像濾波器。 )e( 2jV 1je X )e( 2jY)e( 2jV)e( 2jV)e( 2jY )e( 2jH 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.3.6 零值內(nèi)插前后的時域信號及其頻譜 第

17、8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.3.7 鏡像濾波器的理想幅頻特性 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 將理想鏡像濾波器的阻帶截止頻率換算成數(shù)字頻率為 所以， 理想情況下， 鏡像濾波器h(n2T2)的頻率響應(yīng)特性為 （8.3.4）=sa1 12 1 2 TT T I I 2 2j 2, 0(e ) 0, C IH I 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 式中， C為定標(biāo)系數(shù)。 因此輸出頻譜為 （8.3.5） 定標(biāo)系數(shù)C的作用是， 在m=0, I, 2I, 3I, 時， 確保輸出序列y(m)=x(m/I)。 為了計算簡單， 取m=0來求解C的值。 jj (e ), 0(e ) 0, yy I y yCX I

18、Y I 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 因為2=1/I， 所以由此得出， 定標(biāo)系數(shù)C=I。 2 2/j j2 2/1(0) e d e d2 2 I IICy Y X 1j 11(0) (e )d (0) (0)2C Cy X x xI I 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 3 內(nèi)插器的輸入、 輸出關(guān)系1） 時域輸入、 輸出關(guān)系由圖8.3.2有 1 )()()( 222222 n mTTnhmTvTny ，其它及，0 )()( 2111112 ITTInmTnxTImxmTv因為（8.3.6） 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 所以 1 112 2 1 1 2 2 1 11 1 2 2 1 11 1 2

19、 1 2( ) ( )( )( ) nnny n T x nT h n T nTx nT h n T nTx nT h n n I T 上式就是內(nèi)插器時域輸入、 輸出關(guān)系。 （8.3.7） 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 )e()e( 12 jj XV 由（8.3.3）式知道， 所以 在復(fù)頻域分析圖8.3.2時， 其輸入x(n1T1)的Z變換X(z1)與輸出y(n2T2)的Z變換Y(z2)的關(guān)系推導(dǎo)如下： （8.3.10）)e()e()e()e()e( 22212 jjjjj HXHXY I（8.3.9）)()()( 222 zHzVzY )e()e()e( 222 jjj HVY （8.3.8

20、）2） 頻域輸入、 輸出關(guān)系 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 其中（8.3.11） （8.3.12） (8.3.12)式中所有變量都為z 2， 所以可去掉下標(biāo)， 得到： (8.3.13)22 22 112 2 22 21 2 2 11 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) nn nn In InV z V n T zn nx T z n I nI Ix nT z X z 為的整數(shù)倍即時)()()( 222 zHzXzY I )()()( zHzXzY I 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.4 按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換在按整數(shù)因子I內(nèi)插和整數(shù)因子D抽取的基礎(chǔ)上， 本節(jié)介紹按有理數(shù)因子I/

21、D采樣率轉(zhuǎn)換的一般原理。 顯然， 可以用圖8.4.1所示方案實現(xiàn)有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.4.1 按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換方法 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 首先對輸入序列x(n)按整數(shù)因子I內(nèi)插， 然后再對內(nèi)插器的輸出序列按整數(shù)因子D抽取， 達到按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換。 應(yīng)當(dāng)注意， 先內(nèi)插后抽取, 才能最大限度地保留輸入序列的頻譜成分。 用Fx=1/Tx和FY=1/Ty分別表示輸入序列x(n)和輸出序列y(m)的采樣頻率， 則Fy=(I/D)Fx。 另外， 圖中鏡像濾波器h I(l)和抗混疊濾波器hD(l)級聯(lián)， 而且工作在相同的采樣頻率

22、IFx， 因此完全可以將它們合成為一個等效濾波器h(l)， 得到按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的實用原理方框圖， 如圖8.4.2所示。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.4.2 按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的實用原理方框圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 如前所述， 理想情況下， hI(l)和hD(l)均為理想低通濾波器， 所以等效濾波器h(l)仍是理想低通濾波器， 其等效帶寬應(yīng)當(dāng)是hI(l)和hD(l)中最小的帶寬。 h(l)的頻率響應(yīng)為（8.4.1） j , 0 min ,D(e ) 0, min ,Dy y yID IH I 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 現(xiàn)在推導(dǎo)圖8.4.2中輸出序列y(

23、m)的時域表達式。 零值內(nèi)插器的輸出序列為 （8.4.2） 線性濾波器輸出序列為 （8.4.3） , 0, , 2 , 3 ,( ) 0, lx l I I Iv l I 其它 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k kw l h l k v k h l kI x k 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 整數(shù)因子D抽取器最后輸出序列為y(m)， 其時域表達式為 （8.4.4） 如果線性濾波器用FIR濾波器實現(xiàn)， 則可以根據(jù)式（8.4.4）計算輸出序列y(m)。 除了前面介紹的采樣率變換技術(shù)， 在實際工作中還會遇到任意因子采樣率轉(zhuǎn)換（F y/Fx為任意有限數(shù)或可能隨機變化）。 有興趣的讀者請參考文獻

24、30。 ( ) ( ) ( ) ( )ky m w Dm h Dm kI x k 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 為了下面敘述方便， 首先說明本節(jié)對信號時域和頻域的表示方法和描述符號。 設(shè)x(t)為模擬信號， x(nT1)表示對x(t)的采樣序列， y(mT2)是對x(nT1)進行采樣率轉(zhuǎn)換（內(nèi)插或抽?。┖蟮男蛄小?并定義 (j ) FT ( )X x t 1 1j j 1(e ) (e ) FT ( )TX X x nT 2 2j j 2(e ) (e ) FT ( )TY X y mT 8.5 整數(shù)倍抽取和內(nèi)插在數(shù)字語音系統(tǒng)中的應(yīng)用 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 其中， 數(shù)字頻率與模擬頻率的

25、關(guān)系為1=1, 2=2。 x(nT1)的采樣頻率記為Fsa1=1/T1 Hz， y(nT2)的采樣頻率記為Fsa2=1/T2 Hz， 相應(yīng)的采樣角頻率記為sa1=2Fsa1=2T1 rad/s， sa2=2Fsa2=2/T2 rad/s。 為了通過觀察比較x(t)、 x(nT1)和y(mT2)的頻譜關(guān)系， 理解采樣率轉(zhuǎn)換在數(shù)字語音系統(tǒng)中的應(yīng)用原理， 本節(jié)全部以模擬角頻率 為自變量（橫坐標(biāo)）， 并采用上面定義的符號， 來繪制應(yīng)用系統(tǒng)中各信號的頻譜曲線。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.5.1 數(shù)字語音系統(tǒng)中的信號采樣過程及其存在的問題在數(shù)字語音系統(tǒng)中， 語音信號的采樣過程如圖8.5.1所示。

26、圖中， x(t)為模擬信號， 其有用頻譜分布范圍為fh, fh， fh表示x(t)中有用頻率成分的最高頻率。 信號中一般含有干擾噪聲， 其頻帶寬度遠(yuǎn)大于f h。 x(t)及其幅頻特性|X(j)|如圖8.5.1（b）所示。 下面以電話系統(tǒng)中的數(shù)字語音系統(tǒng)為例， 討論圖8.5.1（a）所示的基本采集系統(tǒng)中存在的技術(shù)問題。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.1 語音信號的一般采樣過程示意圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 在電話系統(tǒng)中， 一般要保證4 kHz的音頻帶寬， 即取fh=4 kHz。 但送話器發(fā)出的信號x(t)的帶寬比fh大很多。 因此， 在A/D變換之前要對其進行模擬預(yù)濾波， 以防止

27、采樣后發(fā)生頻譜混疊失真。 為了使信號采集數(shù)據(jù)量盡量小， 取采樣頻率Fs=2fh=8 kHz。 這時要求低通模擬濾波器h(t)的幅頻響應(yīng)特性|H(j)|如圖8.5.1（c）所示。 預(yù)濾波后的信號v(t)及其采樣序列v(nT)和相應(yīng)的頻譜分別如圖8.5.1（d）、 （e）所示。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 上述基本集系統(tǒng)對x(t)進行A/D變換的困難在于對預(yù)濾波器h(t)的技術(shù)要求太高（要求過渡帶寬度為0， 用理想低通濾波器）， 因而是難以設(shè)計與實現(xiàn)的。 顯然， 在接收端D/A變換過程中同樣會遇到此問題。 如果簡單地將采樣率提高， 如取Fs =16 kHz， 則預(yù)濾波器就容易實現(xiàn)（允許有4 kH

28、z的過渡帶）， 但使采集信號的數(shù)據(jù)量加大1倍， 傳輸帶寬也加大1倍。 下面討論如何采用整數(shù)因子抽取與整數(shù)因子內(nèi)插來解決該問題， 而不增加數(shù)據(jù)量。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.5.2 數(shù)字語音系統(tǒng)中改進的A/D轉(zhuǎn)換方案為了降低對模擬預(yù)濾波器的技術(shù)要求， 采用如圖8.5.2（a）所示的改進方案。 先用較高的采樣率進行采樣， 如采樣率Fsa1=1/T1=16 kHz， 經(jīng)過A/D后， 再按因子D=2抽取， 把采樣率降至8 kHz。 這時， 模擬預(yù)濾波器g(t)的過渡帶為4f12 kHz， 如圖8.5.2（c）所示。 這樣的預(yù)濾波器會導(dǎo)致采樣信號w(nT 1)的頻譜在412 kHz的頻帶中發(fā)生混

29、疊， 如圖8.5.2（e）所示。 但這部分混疊在抽取前用數(shù)字濾波器h(nT1)濾掉了。)e( 1j TW 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 數(shù)字濾波器h(nT1)的幅頻特性|如圖8.5.2（f）所示。 這樣， 模擬預(yù)濾波器就容易設(shè)計和實現(xiàn)了。 現(xiàn)在把問題轉(zhuǎn)移到設(shè)計和實現(xiàn)技術(shù)要求很高的數(shù)字濾波器h(nT1)上了， 這就是解決問題的關(guān)鍵技術(shù)。 數(shù)字濾波器可用FIR結(jié)構(gòu)， 容易設(shè)計成線性相位和陡峭的通帶邊緣特性。 這種方案最終并未增加信號數(shù)據(jù)量。 )e( 1j TH 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.2 數(shù)字語音系統(tǒng)中改進的A/D轉(zhuǎn)換方案及各點信號波形與頻譜示意圖 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8

30、.5.3 接收端D/A轉(zhuǎn)換器的改進方案設(shè)數(shù)字信號序列y(mT2)傳送到接收端后變成， 若不考慮信道噪聲， 則其頻譜與圖8.5.2（h）相同。 要將恢復(fù)為模擬信號， 若采用基本方案， 先將經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器， 再進行模擬低通濾波， 得到。 這種方案同樣會對模擬恢復(fù)低通濾波器提出難以實現(xiàn)的技術(shù)要求。 為了解決這一難題， 可采用如圖8.5.3所示D/A轉(zhuǎn)換器的改進方案。 該方案的思路是， 采用整數(shù)因子內(nèi)插， 將模擬恢復(fù)低通濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)的困難轉(zhuǎn)移到設(shè)計濾除鏡像頻譜的高性能數(shù)字濾波器來解 決。 具體實現(xiàn)原理如下。 2( )y mT2( )y mT ( )x t2( )y mT ( )x t( )g t

31、( )g t 1( )h nT 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.3 D/A轉(zhuǎn)換器的改進方案 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 設(shè)輸入數(shù)字信號 如圖8.5.4（a）所示（與圖8.5.2（h）相同）。 經(jīng)內(nèi)插后將采樣率提高2倍， 濾波器的輸出為， 假定可設(shè)計成陡峭通帶邊緣特性， 則的時域和頻域波形如圖8.5.4（b）所示。 對進行D/A變換， 得到: (8.5.1) 及其幅頻特性如圖8.5.5所示。 應(yīng)當(dāng)說明， 這種D/A轉(zhuǎn)換器難以實現(xiàn)， 實際中常用零階保持型D/A 轉(zhuǎn)換器代替， 但其頻響特性不理想， 會引入幅頻失真。 這種失真可在數(shù)字域進行預(yù)處理補償。 2( )y mT1( )h nT 1(

32、 )v nT 1( )h nT1( )v nT1( )v nT 1 11( ),( ) 0,v nT t nTv t t nT ( )v t (j )V 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.4 和時域和頻域示意圖2( )y mT 1( )v nT 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.5 時域和頻域示意圖 ( )v t 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 對進行模擬低通濾波， 這時要求模擬低通濾波器的通帶邊緣頻率為p=/(2T1)， 過渡帶為/(2T1)|3/(2T1)， 阻帶為3/(2T1)|。 的幅頻特性曲線如圖8.5.6所示， 當(dāng)然， 過渡帶上的頻響曲線可以不是直線。 的輸出則為模擬信號

33、。 由于過渡帶較寬， 所以模擬低通濾波器的設(shè)計與實現(xiàn)較容易。 我們希望恢復(fù)的信號就是， 其時域和頻域示意圖如圖8.5.7所示。 ( )v t( )g t( )g t ( )g t( )x t ( )g t( )x t 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.6 的幅頻特性曲線 ( )g t 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.5.7 恢復(fù)的模擬信號 及其頻譜示意圖 ( )x t 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 8.6 采樣率轉(zhuǎn)換濾波器的高效實現(xiàn)方法8.6.1 直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)1 整數(shù)倍抽取器的FIR直接實現(xiàn)整數(shù)（D）倍抽取器框圖如圖8.2.4所示。 抗混疊低通濾波器用FIR結(jié)構(gòu)時， 抽取器

34、的時域輸入、 輸出關(guān)系為（設(shè)h(n 1T1)長度為N） 10 11111 )()()( Nr TrnxrThTnv（8.6.1）（8.6.2）)()( 1222 DTnvTny 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 如果濾波器用FIR直接型結(jié)構(gòu)， 則該抽取器的實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖8.6.1（a）所示。 經(jīng)濾波卷積運算得出v(n1T1）， 最后將v(n1T1)每隔D1個取一個作為輸出y(n2T2)， 即v(n1T1)中有（D1）/D的樣值都被舍棄了。 所以這種結(jié)構(gòu)是一種低效實現(xiàn)結(jié)構(gòu)， 而且要求計算每一個v(n1T1)的N次乘法和N1次加法在一個T 1時間內(nèi)完成。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.1

35、按整數(shù)因子D抽取系統(tǒng)的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 為了得到相應(yīng)的高效FIR直接實現(xiàn)， 對圖8.6.1（a）進行等效變換。 顯然， 將圖8.6.1（a）中的移在N條乘法器支路中的乘法器之前， 如圖8.6.1（b）所示， 所得y(n2T2)與原結(jié)構(gòu)輸出相同， 即圖8.6.1（a）與圖8.6.1（b）是等效的。 圖8.6.1（b）中各條支路里的同時在n 1=n2D時開通， 例如D=4， N=11， n2=5時， n1=20， 第0條支路通過的是x(20T1)， 第1條支路通過的是x(19T1)， 最下面的第N1條支路通過的是x(10T1)。 DD 第8章 多采樣率數(shù)字信號處

36、理 此刻開始計算N個支路的N次乘法和最后的N1次加法， 得到一個輸出樣值： y(n2T2)=y(5T2)=y(5DT1)=y(20T1)。 由于在x(21T1)到來之前所有的同時關(guān)閉， 直到n2=6時， 即n1=n2D=24時， N個才又同時開通， 分別讓x(24T1)， x(23T1)， ， x(11T1)通過， 開始計算下一個輸出序列樣值y(6T2)。 所以， 改進后的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)將乘法運算移到低采樣率一側(cè)， 使乘法運算速度要求降低到原來的1/D， 即原來要在一個T 1時間內(nèi)完成的運算， 現(xiàn)在只要在DT1時間之內(nèi)完成就可以了。 當(dāng)然， 也使計算量減少到原來的1/D。 故稱之為高效結(jié)構(gòu)。 DD

37、第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 應(yīng)當(dāng)說明， 圖8.6.1（b）中將放在h(0)， h(T1)， ， h(N1)T1之前， 減少了運算量， 但這并不是把抗混疊濾波放到了抽取之后， 而是與原來的濾波作用等效。 對此作如下解釋： 濾波和抽取的作用次序在FIR實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中體現(xiàn)在濾波器輸入端及延遲鏈上所加的信號序列， 如果所加信號是抽取以前的信號， 則是先濾波后抽取， 反之是先抽取后濾波。 圖8.6.1（b）中， 所有均安排在延遲鏈之后， 即濾波器延遲鏈上各點的信號仍然是原序列x(n 1T1)， x(n11)T1， ， x(n1N+1)T1， 而不是抽取后的信號。 DD 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 每當(dāng)開

38、通時， 進入左側(cè)的信號是未抽取的原信號， 即輸出的y(n2T2)與圖8.6.1（a）中抽選的y(n2T2)相同， 而兩次開通之間所阻擋的信號恰好就是圖8.6.1（a）中將來要舍棄的部分， 所以計算結(jié)果是正確的。 但絕對不能將提前到延遲鏈之前， 那樣才是真正的先抽取后濾波器， 會產(chǎn)生嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象。 D D 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 由于常常希望把FIR濾波器設(shè)計成線性相位的， 因而實現(xiàn)設(shè)計濾波器時可用FIR線性相位結(jié)構(gòu)， 這樣又可以使乘法計算量減少一半。 根據(jù)線性相位時域特性 可畫出抽取器FIR結(jié)構(gòu)的線性相位形式如圖8.6.2所示。 1 1( ) ( 1 ) h nT h N n T 第8

39、章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.2 抽取器FIR結(jié)構(gòu)的線性相位形式(N=11) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 2 整數(shù)倍內(nèi)插器的FIR直接實現(xiàn)整數(shù)倍內(nèi)插系統(tǒng)框圖如圖8.3.2所示。 鏡像濾波器h(n2T2)采用FIR結(jié)構(gòu)時， I倍內(nèi)插器的FIR直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖8.6.3所示。 圖8.6.3中乘法是在高采樣率一側(cè)進行的， 不是高效結(jié)構(gòu)， 應(yīng)設(shè)法將乘法運算移到低采樣率一側(cè)以減少計算量。 可采用以下方法進行網(wǎng)絡(luò)等效變換， 得出相應(yīng)的高效結(jié)構(gòu)。 先將FIR濾波網(wǎng)絡(luò)部分進行轉(zhuǎn)置， 得到圖8.6.4所示的FIR轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu)， 再用其代替圖8.6.3中的FIR濾波 網(wǎng)絡(luò)， 得到圖8.6.5所示的內(nèi)插系統(tǒng)直

40、接實現(xiàn)。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.3 按整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.4 FIR轉(zhuǎn)置型結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 由整數(shù)倍抽取系統(tǒng)的FIR直接實現(xiàn)的等效變換概念可知， 圖8.6.5中先零值內(nèi)插后分支相乘與先分支相乘后零值內(nèi)插等效。 因此， 可將圖8.6.5中的分別移到FIR網(wǎng)絡(luò)的各支路的乘法器之后， 可得到圖8.6.6所示的內(nèi)插系統(tǒng)直接實現(xiàn)高效結(jié)構(gòu)。 由于延時鏈上所加的仍然是內(nèi)插后的信號， 因而等效變換后的高效結(jié)構(gòu)仍是先內(nèi)插后濾波。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.5 濾波網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置后的內(nèi)插器的 第8章 多采樣

41、率數(shù)字信號處理 圖8.6.6 內(nèi)插器FIR直接實現(xiàn)的高效結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 當(dāng)滿足線性相位條件h(n2T2)=h(N1n2)T2)時， 可用線性相位結(jié)構(gòu)實現(xiàn)， 將乘法次數(shù)再減少一半。 取N=9， 畫出內(nèi)插器的線性相位FIR直接高效實現(xiàn), 如圖8.6.7所示。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.7 內(nèi)插器的線性相位FIR直接實現(xiàn)結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 觀察圖8.6.6和圖8.6.1（b）可發(fā)現(xiàn)一個有趣的規(guī)律: 圖8.6.7所示的按整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)與圖8.6.1（b）所示的按整數(shù)因子D抽取系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)互為轉(zhuǎn)置關(guān)系。 這種關(guān)系有

42、助于對簡化整數(shù)因子抽取系統(tǒng)和整數(shù)因子內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)的研究， 在多相實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的討論中將用到該關(guān)系。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 3 按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)為了敘述方便， 先由圖8.4.2畫出按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的直接型FIR結(jié)構(gòu)， 如圖8.6.8所示。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.8 按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效結(jié)構(gòu)一般基于內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)與抽取系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)進行設(shè)計。 其指導(dǎo)思想是， 使FIR濾波

43、器運行于最低采樣速率。 為此， 當(dāng)ID時， Fy Fx， 將圖8.6.8中的直接型FIR結(jié)構(gòu)與前面的用圖8.6.6所示的整數(shù)因子I內(nèi)插器的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)代替即可。 當(dāng)ID時， F yFx， 將圖8.6.8中的直接型FIR結(jié)構(gòu)與后面的 用圖8.6.1（b）所示的整數(shù)因子D抽取器的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)代替即可。 如果采用線性相位FIR濾波器， 則應(yīng)當(dāng)用相應(yīng)的線性相位FIR濾波器的高效內(nèi)插結(jié)構(gòu)或高效抽取結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。 ID 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 （8.6.3） 8.6.2 多相濾波器結(jié)構(gòu)可以證明， 圖8.6.6所示的按整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的高效FIR濾波器結(jié)構(gòu)可以用一組較短的多相濾波器組實

44、現(xiàn)。 如果FIR濾波器總長度為M=NI， 則多相濾波器組由I個長度為N=M/I的短濾波器構(gòu)成， 且I個短濾波器輪流分時工作。 為了證明上述結(jié)論， 觀察圖8.6.3給出的整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)。 為了下面描述簡單， 用x(n)表示x(n1T1)， 用v(m)表示v(n2T2)， y(m)表示y(n2T2)。 輸出序列y(m)為10( ) ( ) ( )Mny m h n v m n 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 零值內(nèi)插器的輸出序列v(m)是在輸入序列x(n)的兩個相鄰樣值之間插入I1個零樣值得到的， 因此v(m)進入FIR濾波器的M個樣值中只有N=M/I個非零值。 所以在任

45、意m時刻， 計算y(m)=h(m)*v(m)時只有N個非零值與h(m)中的N個系數(shù)相乘。 由（8.3.2）式知道所以， m=jI時刻， ( ) , 0, , 2 , 3 ,( ) 0, x m I m I I Iv m 其他 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 (8.6.4) m=jI+1時刻， （8.6.4）中v(jIn)右移1位， N個x(n)的非零值與h(n)的對應(yīng)關(guān)系又右移1位， 所以(8.6.5) 1 10 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( 1) (2 ) ( 2) ( ) ( ( 1)M Nn ny m h n v m n h nI x j nh x

46、j h I x j h I x j h N I x j N 1 10 0( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) (1) ( ) (1 ) ( 1) (1 2 ) ( 2) (1 ) ( ( 1)M Nn ny m h n v m n h nI x j nh x j h I x j h I x j h N I x j N 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 當(dāng)m=jI+I時刻， N個x(n)的值與h(n)的對應(yīng)關(guān)系又重復(fù)（8.6.4）式， 只是x(n)又移進1位， 所以(8.6.6) 綜上所述， 當(dāng)m=jI+k, k=0, 1, 2, , I1, j=0, 1, 2, 時, 有 （8.6.7） 1

47、10 0( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) (0) ( 1) ( ) ( ) (2 ) ( 1) ( ) ( 1 ( 1)M Nn ny m h n v m n h nI x j nh x j h I x j h I x j h N I x j N 1 10 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )M Nn ny m h n v m n h k nI x j n 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 把式（8.6.7）中的h(k+nI)看做長度N=M/I的子濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 并用pk(n)表示： 這樣， 從m=0開始， 整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的輸出序列y(m)計算如下： （8.6.9）( )

48、 ( ) 0,1,2, , 1 0,1,2, , 1kp n h k nI k I n N ；（8.6.8） 10( ) ( ) ( ) ( ) ( )N k kny m p n x j n p n x n 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 式中， m=jI+k; k=0, 1, 2, , I-1; j=0, 1, 2, 。 顯然， 當(dāng)m=jI+k從0開始增大時， k從0開始以I為周期循環(huán)取值； j表示循環(huán)周期數(shù)。 所以， 實現(xiàn)（8.6.9）式的多相濾波器結(jié)構(gòu)如圖8.6.9所示 。 I個子濾波器均運行于低采樣率Fx下， 且系數(shù)少， 計算量小， 所以多相濾波器結(jié)構(gòu)是一種高效結(jié)構(gòu)。 輸入端的x(n)每

49、移入一個樣值， I個子濾波器分別計算出y(m)的I個樣值， 選擇電子開關(guān)以高采樣率F y=IFx， 依次逆時針循環(huán)選取I個子濾波器的輸出， 形成輸出序列y(m)。 實現(xiàn)了整數(shù)因子I內(nèi)插功能。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.9 整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 從I個子濾波器的頻響特性可以解釋“多相濾波器”的含義。 對低通濾波器h(n)按整數(shù)因子I抽取得到子濾波器pk(n)。 h(n)是截止頻率為/I的理想低通濾波器， 則pk(n)的截止頻率必然是， 即I個子濾波器都是全通濾波器， 幅度特性相同， 它們的唯一區(qū)別是相位特性不同， 故稱為“多相濾波器”結(jié)構(gòu)

50、。 正是由h(n)的I個不同的起始點抽取得到I個子濾波器， 形成了這種多相特性。 根據(jù)整數(shù)因子I內(nèi)插器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)與整數(shù)因子D抽取器的實現(xiàn)結(jié)構(gòu)互為轉(zhuǎn)置關(guān)系的規(guī)律， 將圖8.6.9 給出的整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu)進行轉(zhuǎn)置， 則得到圖 8.6.10 所示的整數(shù)因子D抽取系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu)。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.6.10 整數(shù)因子D抽取系統(tǒng)的多相濾波器結(jié)構(gòu) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 定義多相濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 式中， N為pk(n)的長度。 一般選擇原抗混疊FIR濾波器總長度M=DN， N=M/D。 電子開關(guān)以速率Fx逆時針旋轉(zhuǎn)， 從子濾波器p 0(n)在m=0時刻

51、開始， 并輸出y(0)； 然后電子開關(guān)以速率Fx逆時針每旋轉(zhuǎn)一周， 即每次轉(zhuǎn)到子濾波器p0(n)時， 輸出端就以速率F y=Fx/D送出一個y(m)樣值。 ( ) ( ) 0,1,2, , 1; 0,1,2, , 1kp n h k nD k D n N （8.6.10） 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 下面以N=D=2， M=DN=4為例， 驗證圖8.6.9所示的抽取系統(tǒng)多相結(jié)構(gòu)的正確性。 首先根據(jù)圖8.6.1（a）計算出抽取器的正確輸出y(m): 假設(shè)x(n)為因果信號， 則 （8.6.11） 30( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (2 )v n h n x n h x

52、ny m v Dm v m (0) (0) (0) (0)(1) (2) (0) (2) (1) (1) (2) (0)(2) (4) (0) (4) (1) (3) (2) (2) (3) (0)y v h xy v h x h x h xy v h x h x h x h x 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 現(xiàn)在根據(jù)圖8.6.10計算多相實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的輸出y(m)。 圖8.6.10中， 多相子濾波器p0(n)=h(0), h(2), p1(n)=h(1), h(3), 開始時k=0, n=0， 只有x(0)進入p0(n)， p1(n)中無信號， 所以總輸出y(0)=p0(0)x(0)=h(0)x

53、(0)。 逆時針旋轉(zhuǎn)開始下一周期: k=D1=1時， 電子開關(guān)轉(zhuǎn)到p1(n), x(1)進入p1(n)， p1(n)的輸出為p1(0)x(1)=h(1)x(1)； k=0時， 電子開關(guān)又轉(zhuǎn)到p 0(n)， 此時， x(2)進入p0(n)第一節(jié)， 上一周期中進入p0(n)的x(0)移位到p0(n)的第二節(jié)， 所以p0(n)的輸出為p0(0)x(2)+p0(1)x(0)=h(0)x(2)+h(2)x(0) 總的輸出y(1)為p0(n)與p1(n)輸出之和， 即y(1)=h(0)x(2)+h(2)x(0)+h(1)x(1) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 同樣道理， 可求出下一旋轉(zhuǎn)周期得到的輸出為所求

54、y(0)、 y(1)和y(2)與（8.6.11）式相同， 所以， 圖8.6.10所給結(jié)構(gòu)是正確的。 1 1 0 0(2) (0) (3) (1) (1) (0) (4) (1) (2) = (1) (3) (3) (1) (0) (4) (2) (2) y p x p x p x p xh x h x h x h x 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 需要說明， 在實際采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)中， 常常會遇到抽取因子和內(nèi)插因子很大的情況。 例如， 按有理數(shù)因子I/D=150/61的采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)， 從理論上講， 可以采用多相濾波器結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確地實現(xiàn)這種采樣率轉(zhuǎn)換， 但是實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中將需要150個多相濾波器， 而且

55、其工作效率很低。 “多級實現(xiàn)結(jié)構(gòu)”可以很好地解決該問題。 而且， 多級實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可以使濾波器總長度大大降低。 多級實現(xiàn)內(nèi)容請參考文獻12， 19。 按有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)還可以采用線性時變?yōu)V波器結(jié)構(gòu)實現(xiàn) 12。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 【例8.6.1】 設(shè)計一個按因子I=5的內(nèi)插器， 要求鏡像濾波器通帶最大衰減為0.1 dB， 阻帶最小衰減為30 dB， 過渡帶寬度不大于/20。 設(shè)計FIR濾波器系數(shù)h(n)， 并求出多相濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個多相濾波器系數(shù)。 解 由（8.3.4）式知道FIR濾波器h(n)的阻帶截止頻率為/5， 根據(jù)題意可知濾波器其他指標(biāo)參數(shù): 通帶截止頻率為/

56、5/20=3/20， 通帶最大衰減為0.1 dB， 阻帶最小衰減為30 dB。 調(diào)用remezord函數(shù)求得h(n)長度M=47， 為了滿足5的整數(shù)倍， 取M=50。 調(diào)用remez函數(shù)求得h(n)如下: 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 h(0)=6.684246e002=h(49) h(1)=3.073256e002=h(48)h(2)=4.303671e002=h(47)h(3)=5.803096e002=h(46)h(4)=6.759203e002=h(45)h(5)=6.493009e002=h(44)h(6)=4.657608e002=h(43)h(7)=1.386252e002=h(

57、42) h(8)=2.674276e002=h(41) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 h(9)=6.463158e002=h(40)h(10)=8.776083e002=h(39)h(11)=8.607506e002=h(38)h(12)=5.500303e002=h(37)h(13)=1.800562e003=h(36)h(14)=7.220485e002=h(35)h(15)=1.370181e001=h(34)h(16)=1.740193e001=h(33) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 h(17)=1.631924e001=h(32)h(18)=9.215300e002=h(31)h(

58、19)=4.004513e002=h(30)h(20)=2.202029e001=h(29)h(21)=4.239994e001=h(28)h(22)=6.191918e001=h(27)h(23)=7.725483e001=h(26)h(24)=8.568808e001=h(25) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 根據(jù)（8.6.5）式確定多相濾波器實現(xiàn)結(jié)構(gòu)中的5個多相濾波器系數(shù)如下:p0(n)=h(nI)=h(0), h(5), h(10), h(15), h(20), h(25), h(30), h(35), h(40), h(45)p1(n)=h(1+nI)=h(1), h(6), h(1

59、1), h(16), h(21), h(26), h(31), h(36), h(41), h(46)p2(n)=h(2+nI)=h(2), h(7), h(12), h(17), h(22), h(27), h(32), h(37), h(42), h(47)p 3(n)=h(3+nI)=h(3), h(8), h(13), h(18), h(23), h(28), h(33), h(38), h(43), h(48)p4(n)=h(4+nI)=h(4), h(9), h(14), h(19), h(24), h(29), h(34), h(39), h(44), h(49) 第8章 多采樣

60、率數(shù)字信號處理 8.7 采樣率轉(zhuǎn)換器的MATLAB實現(xiàn)MATLAB信號處理工具箱提供的采樣率轉(zhuǎn)換函數(shù)有upfirdn, interp, decimate, resample， 其功能簡述如下。 Y=upfirdn(X, H, I, D)： 先對輸入信號向量X進行I倍零值內(nèi)插， 再用H提供的FIR數(shù)字濾波器(FIRDF)對內(nèi)插結(jié)果濾波， 其中H為FIR DF的單位脈沖向量， FIR DF采用高效的多相實現(xiàn)結(jié)構(gòu)。 最后按因子D抽取得到輸出信號向量Y。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 Y=interp(X, I)： 采用低通濾波插值法實現(xiàn)對序列向量X的I倍插值， 其中的插值濾波器讓原序列無失真通過，

61、并在X的兩個相鄰樣值之間按照最小均方誤差準(zhǔn)則插入I1個序列值。 得到的輸出信號向量Y的長度為X長度的I倍。 Y=decimate(X, D, N)： 先對序列X抗混疊濾波， 再按整數(shù)因子D對序列X抽取。 輸出序列Y的長度是X長度的1/ D。 抗混疊濾波用N階切比雪夫型低通濾波器， 阻帶截止頻率為0.8F s/(2D)， 如果省略N， 則默認(rèn)用8階切比雪夫型低通濾波器； Y = decimate(X, D, N, FIR)用長度為N的FIR濾波器， FIR濾波器是抽取函數(shù)decimate自動調(diào)用fir1(N, 1/D)設(shè)計的。 省略N， 則默認(rèn)用30點FIR數(shù)字濾波器。 第8章 多采樣率數(shù)字信號

62、處理 Y=resample(X, I, D)： 采用多相濾波器結(jié)構(gòu)實現(xiàn)按有理數(shù)因子I/ D的采樣率轉(zhuǎn)換。 如果原序列向量X的采樣頻率為Fx， 長度為Lx， 則序列Y的采樣頻率為Fy=(I/D)Fx ， 長度為(I/D)Lx（當(dāng)(I/D)Lx不是整數(shù)時， Y的長度取不小于(I/D)Lx的最小整數(shù)）。 該函數(shù)具有默認(rèn)的抗混疊濾波器設(shè)計功能， 按照最小均方誤差準(zhǔn)則調(diào)用函數(shù)firls設(shè)計。 Y, B =resample(X, I, D)： 返回輸出信號向量Y和抗混疊濾波器的單位脈沖序列向量B。 Y=resample (X, I, D, B)： 允許用戶提供抗混疊濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列向量B。 這些函

63、數(shù)的其他調(diào)用格式請用help命令查閱。 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 【例8.7.1】 編寫程序產(chǎn)生長度為41的序列x(n)=sin(0.1n)+0.5sin(0.5n)， 再調(diào)用resample函數(shù)對x(n)按因子3/8進行采樣率變換， 并繪制采樣率變換器的輸入序列x(n)、 輸出序列y(n)和采樣率變換器中的FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)及其頻率響應(yīng)特性曲線。 解 本例題的實現(xiàn)程序ep871.m如下： 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 例8.7.1 實現(xiàn)程序ep871.m: 調(diào)用resample函數(shù)實現(xiàn)按因子3/8進行采樣率變換n=0:40; xn=sin(0.1*pi*n)+0.5*

64、sin(0.5*pi*n); %產(chǎn)生長度為41的序列向量xnyn, hn=resample(xn, 3, 8); %對xn按因子3/8進行采樣率變換, yn為轉(zhuǎn)換器輸出序列, hn是FIRDF的單位脈沖響應(yīng)%以下是繪圖部分subplot(3, 2, 1); stem(hn, .); axis(0, 160, 0.1, 0.5); title(a); xlabel(i); ylabel(h(i)w=(0:1023)*2/1024; 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 subplot(3, 2, 2); plot(w, 20*log10(abs(fft(hn, 1024); axis(0, 1/4, 8

65、0, 20); grid ontitle(b); xlabel(omega/pi); ylabel(20lg(|Hg(omega)|)subplot(3, 1, 2); stem(n, xn, .); title(c); xlabel(n); ylabel(x(n)ny=0:length(yn)1; subplot(3, 1, 3); stem(ny, yn, .); title(d); xlabel(m); ylabel(y(m)ZK) 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 運行程序得到采樣率轉(zhuǎn)換器的輸入信號x(n)、 輸出信號y(m)、 FIR數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)及其頻率響應(yīng)的波形分別

66、如圖8.7.1（c）、 （d）、 （a）和（b）所示。 由圖（d）可以看出， resample函數(shù)默認(rèn)設(shè)計的抗混疊濾波器的阻帶截止頻率為/8， 阻帶最小衰減大于40 dB, 滿足理論要求。 x(n)的長度為40， y(m)的長度為403/8=15， h(n)的長度為161。 由圖8.7.1可見， 低通濾波器濾除輸入信號中較高的頻率成分0.5sin(0.5n)， 采樣率變換器輸出單頻正弦波采樣， 采樣頻率為F y=3Fx/8， 所以輸出序列8 4( ) sin(0.1 )=sin( m)3 15y m m 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 圖8.7.1 程序ep871.m運行結(jié)果 第8章 多采樣率數(shù)字信號處理 習(xí)題與上機題1. 已知信號x(n)=anu(n), |a|1。 （1） 求信號x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)=FTx(n)； （2） 按因子D=2對x(n)抽取得到y(tǒng)(m)， 試求y(m)的頻譜函數(shù)。 （3） 證明: y(m)的頻譜函數(shù)就是x(2n) 的頻譜函數(shù)。 2. 假設(shè)信號x(n)及其頻譜X(e j)如題2圖所示。 按因子D=2直接對x(n)抽取， 得到信號y(m)=x(2m)。