計算機應(yīng)用基礎(chǔ)-2-計算方法基礎(chǔ)

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1、第 二 章 Matlab計 算 方 法 基 礎(chǔ)1.矩 陣 基 本 分 析2. 矩 陣 的 運 算3.矩 陣 的 性 質(zhì)4.矩 陣 的 分 解5.符 號 運 算 一 矩 陣 的 創(chuàng) 建 (1) 直 接 賦 值 ： 在 命 令 窗 口 以 命 令 行 的 方 式 直接 輸 入 。 以 為 開 始 和 結(jié) 束 的 標(biāo) 志 ， 行 與 行 之間 用 （ ； ） ， 元 素 之 間 用 （ ， ） 或 空 格 。 (2) 冒 號 表 達 式 e1:e2:e3 (3) zeros 函 數(shù) 創(chuàng) 建 全 零 矩 陣 ， 調(diào) 用 格 式 為 ：1.矩 陣 的 基 本 分 析 (4) eye函 數(shù) 創(chuàng) 建 單 位

2、 矩 陣 ， 調(diào) 用 格 式 ：A=zeros(m,n), 生 成 mXn全 零 矩 陣 。B=eye(m,n), 生 成 mXn單 位 矩 陣 。(5) rand函 數(shù) 創(chuàng) 建 均 勻 隨 機 矩 陣 ， 調(diào) 用 格 式 ：C=rand(m,n), 生 成 mXn隨 機 矩 陣 。1.矩 陣 的 基 本 分 析 二 矩 陣 及 其 元 素 的 賦 值變 量 =表 達 式 （ 數(shù) ）a=1 2 3; 4 5 6;7 8 9x=-1.3 sqrt(3) (1+2+3)/5*4x(5)=abs(x(1)a(4,3)=6.5a = 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000

3、 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 0 0 6.5000 元 素 之 間 用 逗 號 、 空 格 分 開 。 不 同 行 以 分號 隔 開 。 語 句 結(jié) 尾 用 回 車 或 逗 號 ， 會 顯 示結(jié) 果 ， 如 果 不 想 顯 示 結(jié) 果 ， 用 分 號 。 元 素 用 （ ） 中 的 數(shù) 字 （ 下 標(biāo) ） 來 注 明 ， 一維 用 一 個 下 標(biāo) ， 二 維 用 兩 個 下 標(biāo) ， 逗 號 分開 。 a(5,:)=5,4,3b=a(2,4,1,3)a(2,4,5, : )= a/7 如 果 賦 值 元 素 的 下 標(biāo) 超 過 原 來 矩 陣 的 大小 ， 矩 陣 的

4、 行 列 會 自 動 擴 展 。 全 行 賦 值 ， 用 冒 號 。 提 取 交 點 元 素 ； 抽 取 某 行 元 素 用 空 矩 陣 。 1.矩 陣 的 基 本 分 析 f1=ones(3,2)f2=zeros(2,3)f3=magic(3)f4=eye(2)f5=linspace(0,1,5)fb1=f1,f3;f4,f2fb2=fb1;f5 全 1矩 陣 全 0矩 陣 魔 方 矩 陣 ： 元 素 由 1到 nn的 自 然 數(shù) 組 成 ， 每 行 、 每列 及 兩 對 角 線 上 的 元 素 之 和 均 等 于 (n3+n)/2。 單 位 矩 陣 是 n n階 的 方 陣 。 對 角 線

5、 上 元 素 為 1。 線 性 分 割 函 數(shù) 大 矩 陣 可 由 小 矩 陣 組 成 ， 其 行 列 數(shù) 必 須 正 確 ， 恰好 填 滿 全 部 元 素 。 三 基 本 賦 值 矩 陣 1.矩 陣 的 基 本 分 析 f1 = 1 1 1 1 1 1 全 1矩 陣f3 = 8 1 6 魔 方 矩 陣 3 5 7 4 9 2線 性 分 割 函 數(shù)f5 = 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000大 矩 陣 可 由 小 矩 陣 組 成fb2 =1.0000 1.0000 8.0000 1.0000 6.0000 1.0000 1.0000 3.0000 5.0000 7.00

6、00 1.0000 1.0000 4.0000 9.0000 2.0000 1.0000 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 f2 = 0 0 0 全 0矩 陣 0 0 0f4 = 1 0 單 位 矩 陣 0 1fb1 = 1 1 8 1 6 1 1 3 5 7 1 1 4 9 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0fb1=f1,f3;f4,f2 fb2=fb1;f5 1.矩 陣 的 基 本 分 析 一 矩 陣 的 初 等 運 算（ 1） 矩 陣 的 加 減 乘 法i. 加 、 減 法 ： 相 加 減 的 兩 矩 陣 階

7、 數(shù) 必 須 相 同 ，對 應(yīng) 元 素 相 加 減 。n,m=size(fb2)x=-1 0 1; y=x-1y = -2 -1 0 語 句 size檢 查 矩 陣 階 數(shù) ， 兩 矩 陣相 加 ， 階 數(shù) 必 須 相 同 。 兩 相 加 減 的 矩 陣 中 有 一 個 是 標(biāo)量 時 ， MATLAB將 標(biāo) 量 擴 展 成同 等 元 素 矩 陣 ， 與 另 一 矩 陣 相加 減 。 2 矩 陣 的 運 算 pi*x 標(biāo) 量 與 矩 陣 相 乘 ， 不 檢 查 階 數(shù) ， 標(biāo) 量 乘 以 矩 陣 的 每 一 個 元 素 。x=-1 0 1; X與 y內(nèi) 階 數(shù) 不 同 ， 將 y轉(zhuǎn) 置 y。 讀

8、 作 x左 乘 y。y =-2 -1 0;x*y ans = 2 ans = 2 0 -2y*x X右 乘 y。 1 0 -1 0 0 0(2) 矩 陣 乘 法矩 陣 A n p階 與 矩 陣 B p m階 的 乘 積 C是 n m階 矩 陣 。P是 A陣 的 列 數(shù) ， B陣 的 行 數(shù) ， 稱 為 兩 個 相 乘 矩 陣 的 內(nèi) 階 數(shù) 。兩 矩 陣 相 乘 的 必 要 條 件 是 內(nèi) 階 數(shù) 相 等 。C(i,j)=kA(i,k)B(k,j)值 為 A陣 第 i行 和 B陣 第 j列 對 應(yīng) 元 素乘 積 的 和 。 2 矩 陣 的 運 算 eye(3)*a 左 、 右 乘 結(jié) 果 不

9、同 ， 只 有 單 位 矩 陣 例 外 。a*eye(3) 單 位 矩 陣 乘 以 矩 陣 A， 左 、 右 乘 結(jié) 果 仍 等 于 該 矩 陣 。a = 1 2 3 ans = 1 2 3 ans = 1 2 3 4 5 6 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 7 8 92 矩 陣 的 運 算 二 矩 陣 的 除 法 及 線 性 方 程 組 的 解a =1 2 3 4 5 6 7 8 9AV=I V=A-1V=inv(a) inv(a)*aV = 1.0e+016 * -0.4504 0.9007 -0.4504 0.9007 -1.8014 0.9007 -0.4504 0.9

10、007 -0.4504 n n階 方 陣 A和 同 階 的 方 陣 V相 乘 ， 得 出 n階 單 位 矩 陣 I。 I為 eye(n)。 V是 A的 逆 陣 。 V存 在 條 件 ： A的 行 列 式 不 等 于 0，det(A)0 V=A-1 MATLAB內(nèi) 部 函 數(shù) inv， 得 出 A的 逆 陣 V。D*X=B inv(D)*D*X=inv(D)*B inv(D)*D=I I*X=XX=inv(D)*B=DB X*D=B X=B*inv(D)=B/D D與 B行 數(shù) 相 等 兩 端 同 時 左 乘 以 inv(D) 逆 陣 單 位 陣 DB為 D左 除 BX=DB， 左 除 時 階

11、數(shù) 檢 查 條 件 ： 兩 矩 陣 的 行 數(shù) 必 須 相 等 。 未 知 矩 陣 在 左 . D的 逆 陣 右 乘 以 B， 記 作 /D 右 除 。 右 除 時 階 數(shù) 檢 查 條 件 ： 兩 矩 陣 的 列 數(shù) 必 須 相 等 。 2 矩 陣 的 運 算 a=1 2 3; 3 -5 4; 7 8 9x=x1,x2,x3b=2;0;2ax=b x=ab a左 除 b 方 程 組 X1+2X2+3X3=2 3X1- 5X2+4X3=0 7X1+8X2+9X3=2可 以 表 示 為 ax=b2 矩 陣 的 運 算 a=1 2 3;4 5 6b=2 4 0; 1 3 5d=1 4 7; 8 5

12、2; 3 6 0運 算 ： a*b daa*b? Error using = *Inner matrix dimensions must agree.da? Error using = Matrix dimensions must agree. a*b ans = 6 16 20 9 23 25 12 30 30a*b ans = 10 22 28 49da ans = -0.0370 0 0.5185 1.0000 -0.1481 0a/d ans = 0.4074 0.0741 0.0000 0.7407 0.4074 0.0000 2 矩 陣 的 運 算 解 線 性 方 程 組 Ax=B

13、 6x1+3x2+4x3=3 -2 x1+5 x2+7 x3=-48 x1-4 x2-3 x3=-7 A=6 3 4; -2 5 7; 8 -4 -3B=3;-4; -7X=AB A = 6 3 4 -2 5 7 8 -4 -3B = 3 -4 -7X = 0.6000 7.0000 -5.40002 矩 陣 的 運 算 三 矩 陣 結(jié) 構(gòu) 形 式 的 提 取 與 變 換A=8 1 6 0; 3 5 7 1; 4 9 2 2B1=fliplr(A)B2=flipud(A)B3=reshape(A,2,6) 提 取 矩 陣 中 某 些 特 殊 結(jié) 構(gòu) 的 元 素 ， 組 成 新 的 矩 陣 ，

14、改 變 矩 陣 結(jié) 構(gòu) 。 fliplr矩 陣 左 右 翻 轉(zhuǎn) flipud矩 陣 上 下 翻 轉(zhuǎn) reshape階 數(shù) 重 組 （ 元 素 總 數(shù) 不 變 ）B4=rot90(A)B5=diag(A)B6=tril(A)B7=triu(A)B8=A(: ) rot90矩 陣 整 體 反 時 針 旋 轉(zhuǎn) 90度 diag提 取 或 建 立 對 角 陣 tril取 矩 陣 的 左 下 三 角 部 分 triu取 矩 陣 的 右 上 三 角 部 分 將 元 素 按 列 取 出 排 成 一 列 2 矩 陣 的 運 算 3.1 矩 陣 基 本 概 念 與 性 質(zhì)一 行 列 式 )Adet(d aaa1

15、)Adet(AD aA nnk2k21k1kij 的 行 列 式 定 義 為 ：矩 陣 3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 【 例 2-1】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 det(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1求 行 列 式3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 二 矩 陣 的 秩3. 矩 陣 的 性 質(zhì)rank(A)=rc=rr 其 中 rc為 行 稚 ， rr為 列 秩r=rank(A) % 采 用 默 認(rèn) 的 精 度 求 秩r=rank(A, ) % 給 定 精 度 求 秩 【 例 2-2】A=1

16、6 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 r=rank(A)R=rank(A)=3 16 2 3 13 5 11 10 8 求 A= 9 7 6 12 的 秩 4 14 15 13. 矩 陣 的 性 質(zhì) 3.2 逆 矩 陣 與 廣 義 逆 矩 陣一 矩 陣 的 逆 矩 陣 AC=CA=I其 中 A為 nXn非 奇 異 方 陣 ， 則 C=A-1C=inv(A)3. 矩 陣 的 性 質(zhì)矩 陣 的 偽 逆 B=pinv(A) 【 例 2-3】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 format long; B

17、=inv(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 求 逆 4 14 15 1下 列 奇 異 矩 陣3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 3.3 矩 陣 的 特 征 值 問 題一 、 一 般 矩 陣 的 特 征 值 與 特 征 向 量Ax=x d= eig(A) %只 求 特 征 值V, D= eig(A) % 求 特 征 值 和 特 征 向 量3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 【 例 2-4】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 eig(A)求 下 列 矩 陣 的 特 征 值 和 特 征 向 量 16 2 3 13 5 11 10

18、8 A= 9 7 6 12 4 14 15 1同 時 求 出 特 征 值 和 特 征 向 量 V, D= eig(A) 3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 二 矩 陣 的 廣 義 特 征 向 量 問 題Ax =Bx d = eig(A, B) 求 解 廣 義 特 征 值 V, D = eig(A, B) 求 解 廣 義 特 征 值 和 特 征 向 量3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 【 例 2-5】 A=5 7 6 5; 7 10 8 7; 6 8 10 9; 5 7 9 10; B=2 6 -1 -3; 5 -1 2 3; -3 -4 1 10; 5 -2 -3 8; V,D=eig(A,B) 5 7 6 5

19、 7 10 8 7 A= 6 8 10 9 5 7 9 10 2 6 -1 -2 5 -1 2 3 B= -3 -4 1 10 5 -2 -3 8求 特 征 值 和 特 征 向 量3. 矩 陣 的 性 質(zhì) V = 0.2928 -0.2697 + 0.7303i -0.2697 - 0.7303i 1.0000 1.0000 -0.1637 - 0.3013i -0.1637 + 0.3013i -0.6088 0.6948 0.9627 - 0.0175i 0.9627 + 0.0175i -0.2322 0.8860 -0.6795 - 0.2999i -0.6795 + 0.2999i

20、0.1323 D = 5.2777 0 0 0 0 0.0303 + 0.1790i 0 0 0 0 0.0303 - 0.1790i 0 0 0 0 -0.0036 3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 三 矩 陣 分 析det(A)： 矩 陣 的 行 列 式 poly(A)： 矩 陣 特 征 多 項 式rank(A)： 矩 陣 的 秩inv(A)： 矩 陣 的 逆cond(A)： 矩 陣 的 條 件 數(shù)trace(A)： 矩 陣 的 跡pinv(A)： 矩 陣 的 偽 逆3. 矩 陣 的 性 質(zhì) 正 交 矩 陣4 矩 陣 的 基 本 變 換X=B-1ABQ*Q=I, 且 QQ*=IQ=orth(A)

21、A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; Q=orth(A)norm(Q*Q-eye(3)ans = 1.0140e-015【 例 2-6】 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的 正 交 矩 陣 4 14 15 14 矩 陣 的 基 本 變 換 4 矩 陣 的 基 本 變 換一 矩 陣 的 QR分 解A=Q*RA 為 非 奇 異 矩 陣 ， Q 為 正 交 矩 陣 ， R為 上 三 角 矩 陣 ， 調(diào)用 格 式 ： Q,R=qr(A) 【 例 2-6】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12

22、; 4 14 15 1; Q,R=qr(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的 QR分 解 4 14 15 14 矩 陣 的 基 本 變 換 二 矩 陣 的 三 角 分 解A=LU 1ll 1l1L 2n1n21 nnn222 n11211 uuu uuuU 其 中 4 矩 陣 的 基 本 變 換 【 例 2-7】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1; V,D=lu(A)V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.

23、2500 1.0000 0 0 D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0 0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的 LU分 解 4 14 15 14 矩 陣 的 基 本 變 換 三 矩 陣 的 奇 異 值 分 解ATA=0, AAT=0其 中 A為 任 意 的 nxm矩 陣 理 論 上 有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A)奇 異 值 定 義 AAT iAi 其 中 i為 非 負(fù) 特 征 值 4 矩 陣 的 基 本 變

24、 換奇 異 值 的 計 算 ： s=svd(A) 【 例 2-8】 A=16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1 U, S, V=svd(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的 奇 異 分 解 4 14 15 14 矩 陣 的 基 本 變 換 矩 陣 分 解qr(A)： 矩 陣 的 QR分 解 lu(A)： 矩 陣 的 LU分 解eig(A)： 求 特 征 值 和 特 征 向 量 svd(A)： 矩 陣 的 奇 異 值 分 解chol(A)： 矩 陣 的 Cholesky分 解（ A=T*T， T為 正 定 上 三 角

25、 矩 陣 ）4 矩 陣 的 基 本 變 換 5 符 號 運 算Matlab 提 供 了 一 種 符 號 數(shù) 據(jù) 類 型 ， 相 應(yīng) 的 運 算 對 象 成 為符 號 對 象 ， Matlab符 號 運 算 功 能 集 中 在 符 號 工 具 箱(symbolic toolbox)。符 號 表 達 式 可 以 代 表 數(shù) 字 、 函 數(shù) 和 變 量 的 Matlab字 符 串或 字 符 串 數(shù) 組 ， 它 不 要 求 變 量 要 有 預(yù) 先 確 定 值 。符 號 對 象 ： sym 或 syms函 數(shù) 用 于 建 立 單 個 和 多 個 符 號 變 量 。f=sym(expr) % 表 達 式

26、expr轉(zhuǎn) 換 為 符 號 對 象syms(arg1,arg2,) % 將 arg1,arg2定 義 為 符 號 變 量 syms arg1 arg2 % 上 面 的 簡 化 （ 變 量 間 只 能 用 空 格 隔 開 ） 符 號 表 達 式 包 括 符 號 符 號 函 數(shù) 和 符 號 方 程 ， 其 中 符 號 函 數(shù) 沒 有 等 號 ，符 號 方 程 必 須 帶 有 等 號 。 注 意 sym可 以 建 立 符 號 方 程 ， 而 syms不 能 。例 ： y=sym( 2*sin(x)*cos(y) ) syms x1 x2 x3 x4 z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)

27、*sin(x2) simple(z) A=x1 x2;x3 x4 DA=det(A)f=sym( sin(x)+cos(y)-1=0 )f=syms( sin(x)+cos(y)-1=0 ) % Not a valid variable name5 符 號 運 算 基 本 命 令 findsym(expr) % 確 定 表 達 式 expr中 所 有 符 號 為 自 變 量 findsym(expr,n) % 確 定 表 達 式 expr中 靠 x最 近 的 n個 自 變 量例 ： syms a x y z t findsym(sin(pi*t) findsym(x+i*y-j*z,1) fi

28、ndsym(x+i*y-j*z,2) findsym(x+i*y-j*z,3)5 符 號 運 算 基 本 命 令 digits(d) % 設(shè) 置 有 效 數(shù) 字 個 數(shù) 為 d的 近 似 解 精 度 R=vpa(A) % 對 表 達 式 A求 值 R=vpa(A,d) % d為 輸 出 數(shù) 值 的 有 效 位 數(shù)例 ： digits(25) % 設(shè) 置 vpa輸 出 的 有 效 位 數(shù) q=vpa(sin(sym(pi)/6) p=vpa(pi) w=vpa(1+sqrt(5)/2,5)5 符 號 運 算 基 本 命 令 R=subs(S) R=subs(S,old,new)例 ： a=980

29、; C1=3; y=dsolve(Dy=-a*y) subs(y) subs(a+b,a,4) subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) subs(x*y,x,y,0 1;-1 0,1 -1;-2 1)5 符 號 運 算 求 極 限 命 令 limit(F,x,a) % x趨 向 a時 F的 極 限 limit(F,a) % 利 用 findsym確 定 變 量 limit(F) % 默 認(rèn) a=0 limit(F,x,a,right) % 右 極 限 limit(F,x,a,left) % 左 極 限例 ： syms x a t h; limit(sin(x)

30、/x) limit(1/x,x,0,right) limit(1/x,x,0,left) limit(sin(x+h)-sin(x)/h,h,0) v = (1 + a/x)x, exp(-x); limit(v,x,inf,left) 5 符 號 運 算 求 導(dǎo) 命 令 diff(S,v,n) % S對 變 量 v求 n階 導(dǎo) 數(shù) diff(S,v) % S對 v求 一 階 導(dǎo) 數(shù) diff(S,n) % 自 變 量 由 findsym確 定 diff(S) % 自 變 量 由 findsym確 定例 ： syms x t diff(sin(x2) diff(t6,6) 5符 號 運 算 積

31、 分 命 令 R = int(S,v,a,b) % S對 變 量 v在 區(qū) 間 a,b內(nèi) 求 定 積 分 R = int(S,a,b) % 自 變 量 由 findsym確 定 R = int(S,v) % S對 變 量 v求 不 定 積 分 R = int(S) % 自 變 量 由 findsym確 定例 ： int(-2*x/(1+x2)2) int(x/(1+z2),z) int(x*log(1+x),0,1) int(2*x, sin(t), 1) int(exp(t),exp(alpha*t)5 符 號 運 算 基 本 命 令 g = solve(eq) g = solve(eq,v

32、ar) g = solve(eq1,eq2,.,eqn) g = solve(eq1,eq2,.,eqn,var1,var2,.,varn)例 ： solve(a*x2 + b*x + c) solve(a*x2 + b*x + c,b) S = solve(x + y = 1,x - 11*y = 5) A = solve(a*u2 + v2, u - v = 1, a2 - 5*a + 6)5 符 號 運 算 微 分 方 程 命 令 r = dsolve(eq1,eq2,., cond1,cond2,., v) r = dsolve(eq1,eq2,.,cond1,cond2,.,v)D表

33、 示 一 次 微 分 ， D2表 示 二 次 微 分 ， Dy表 示 Dy/Dt,D后 面 的 變 量作 自 變 量 ， 沒 有 默 認(rèn) 為 t例 ： dsolve(Dy = a*y) dsolve(Df = f + sin(t) dsolve(Dy)2 + y2 = 1,s) dsolve(Dy = a*y, y(0) = b) dsolve(D2y = -a2*y, y(0) = 1, Dy(pi/a) = 0) dsolve(Dx = y, Dy = -x)5 符 號 運 算 二 維 直 角 坐 標(biāo) 繪 圖 練 習(xí) ， 已 知 t=0:.2:2*pi; y=exp(-0.5*t).*si

34、n(5*t+1);編 “ .m文 件 ， 要 求 ： （ 1） 在 同 一 張 圖 上 畫 四 個 小 圖 ， 分 別 采 用 ： stem, stairs, bar, fill; (2) 對 圖 進 行 標(biāo) 注 ， 分 別 采 用 title, gtext, legend (3) 對 坐 標(biāo) 進 行 設(shè) 定 作 業(yè) 作 業(yè) 鈣 與 鎂 形 成 穩(wěn) 定 的 化 合 物 ， 該 體 系 的 熱 分 析 數(shù) 據(jù) 如 下 ：Ca/ % 0 10 19 46 55 65 79 90 100步 冷 曲 線 的 第 一 轉(zhuǎn) 折點 / 0C 610 514 700 721 650 466 725步 冷 曲 線 的 水 平 線 /0C 651 514 514 514 721 466 466 466 466作 出 相 圖 并 求 體 系 在 最 高 熔 點 的 組 成 ， 要 求 各線 的 顏 色 和 寬 度 各 不 同 。編 二 元 熔 融 物 相 圖 的 “ .m”文 件