數(shù)字信號(hào)處理 第2章

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1、第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.1 引 言 2.2 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 的 定 義 及 性 質(zhì) 2.3 周 期 序 列 的 離 散 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 及 傅 里 葉 變 換 表 示 式 2.4 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 與 模 擬 信 號(hào) 傅 里 葉 變 換 之 間 的 關(guān) 系 2.5 序 列 的 Z變 換 2.6 利 用 Z變 換 分 析 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 響 特 性 習(xí) 題 與 上 機(jī) 題 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系

2、 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.1 引 言 我 們 知 道 ， 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 分 析 方 法 有 兩 種 ， 即 時(shí) 域 分析 方 法 和 頻 域 分 析 方 法 。 在 模 擬 領(lǐng) 域 中 ， 信 號(hào) 一 般 用 連 續(xù)變 量 時(shí) 間 的 函 數(shù) 表 示 ， 系 統(tǒng) 則 用 微 分 方 程 描 述 。 在 頻 率 域 ，則 用 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 (Fourier Transform)或 拉 普 拉 斯 變 換表 示 。 而 在 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 中 ， 信 號(hào) 用 時(shí) 域 離 散 信 號(hào)（ 序 列 ） 表 示 ， 系 統(tǒng) 則 用 差 分 方 程 描 述

3、。 在 頻 率 域 ， 則 用信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 或 Z變 換 表 示 。 本 章 學(xué) 習(xí) 序 列 的 傅 里 葉 變 換 和 Z變 換 ， 以 及 利 用 Z變 換分 析 系 統(tǒng) 和 信 號(hào) 頻 域 特 性 。 該 章 內(nèi) 容 是 本 書 也 是 數(shù) 字 信 號(hào)處 理 的 理 論 基 礎(chǔ) 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.2 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換的 定 義 及 性 質(zhì) 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 不 同 于 模 擬 信 號(hào) ， 因 此 它 們 的 傅 里 葉 變換 不 相 同 ， 但 都 是 線 性 變 換 ， 一 些

4、性 質(zhì) 是 相 同 的 。 2.2.1 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 傅 里 葉 變 換 的 定 義 序 列 x(n)的 傅 里 葉 變 換 定 義 為 （ 2.2.1） n nnxnxX jj e)()(FT)e( 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 FT為 Fourier Transform的 縮 寫 。 FT x(n) 存 在 的 充分 必 要 條 件 是 序 列 x(n)滿 足 絕 對(duì) 可 和 的 條 件 ， 即 滿 足 下 式 ：（ 2.2.2） X(ej)的 傅 里 葉 反 變 換 為 （ 2.2.3） | ( )| n x n d)e(21)e(IFT)(

5、 jj XXnx 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 （ 2.2.1） 和 （ 2.2.3） 式 組 成 一 對(duì) 傅 里 葉 變 換 公 式 。（ 2.2.2） 式 是 傅 里 葉 變 換 存 在 的 充 分 必 要 條 件 ， 有 些函 數(shù) （ 例 如 周 期 序 列 ） 并 不 滿 足 （ 2.2.2） 式 ， 說 明 它的 傅 里 葉 變 換 不 存 在 ， 但 如 果 引 入 沖 激 函 數(shù) ， 其 傅 里葉 變 換 也 可 以 用 沖 激 函 數(shù) 的 形 式 表 示 出 來 ， 這 部 分 內(nèi)容 將 在 2.3節(jié) 介 紹 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信

6、 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.2.1】 設(shè) x(n)=RN(n)， 求 x(n)的 傅 里 葉 變 換 。 解 （ 2.2.4） 當(dāng) N=4時(shí) ， 其 幅 度 與 相 位 隨 頻 率 的 變 化 曲 線 如 圖 2.2.1所 示 。 )2/sin( )2/sin(e )ee(e )ee(ee1 e1 ee)()e( 2)1(j 2/j2/j2/j 2/j2/j2/jjj 10 jjj NnRx N NNNNn NnnN 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.2.1 R4(n)的 幅 度 與 相 位 曲 線 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào)

7、 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.2.2 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 傅 里 葉 變 換 的 性 質(zhì) 1 FT的 周 期 性 在 定 義 （ 2.2.1） 式 中 ， n取 整 數(shù) ， 因 此 下 式 成 立 ：(2.2.5) 觀 察 上 式 ， 得 到 傅 里 葉 變 換 是 頻 率 的 周 期 函 數(shù) ， 周期 是 2。 這 一 特 點(diǎn) 不 同 于 模 擬 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 。 )e(e)(e)()e( )2j()2j(jj Mn nMn n XnxnxX 為 整 數(shù) 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 由 FT的 周 期 性 進(jìn) 一 步 分 析

8、得 到 ， 在 =0和 =2M附 近的 頻 譜 分 布 應(yīng) 是 相 同 的 （ M取 整 數(shù) ） ， 在 =0， 2, 4, 點(diǎn) 上 表 示 x(n)信 號(hào) 的 直 流 分 量 ； 離 開 這 些 點(diǎn) 愈 遠(yuǎn) ， 其 頻 率 愈高 ， 但 又 是 以 2為 周 期 ， 那 么 最 高 的 頻 率 應(yīng) 是 =。 另 外要 說 明 的 是 ， 所 謂 x(n)的 直 流 分 量 ， 是 指 如 圖 2.2.2（ a） 所示 的 波 形 。 例 如 ， x(n)=cosm， 當(dāng) =2M, M取 整 數(shù) 時(shí) ，x(n)的 序 列 值 如 圖 2.2.2（ a） 所 示 ， 它 代 表 一 個(gè) 不 隨

9、n變 化 的信 號(hào) （ 直 流 信 號(hào) ） ； 當(dāng) =(2M+1)時(shí) ， x(n)波 形 如 圖 2.2.2（ b） 所 示 ， 它 代 表 最 高 頻 率 信 號(hào) ， 是 一 種 變 化 最 快 的 正 弦信 號(hào) 。 由 于 FT的 周 期 是 2， 一 般 只 分 析 之 間 或 02范 圍 的 FT就 夠 了 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析圖 2.2.2 cosm 的 波 形 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 2 線 性 設(shè) X1(ej)=FT x1(n) , X2(ej)=FT x2(n) , 那 么(2.2.6)

10、式 中 , a， b是 常 數(shù) 。 j j 1 2 1 2FT ( ) ( ) (e ) (e )ax n bx n aX bX 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 3 時(shí) 移 與 頻 移 設(shè) X(ej)=FT x(n) , 那 么 (2.2.7) (2.2.8) 0j j0FT ( ) e (e )mx n n X 0 0j j( )FTe ( ) (e )nx n X 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 4 FT的 對(duì) 稱 性 在 學(xué) 習(xí) FT的 對(duì) 稱 性 以 前 ， 先 介 紹 什 么 是 共 軛 對(duì) 稱與 共 軛 反 對(duì) 稱

11、 ， 以 及 它 的 性 質(zhì) 。 設(shè) 序 列 xe(n)滿 足 下 式 ： （ 2.2.9） 則 稱 x e(n)為 共 軛 對(duì) 稱 序 列 。 為 研 究 共 軛 對(duì) 稱 序 列 具 有 什么 性 質(zhì) ， 將 xe(n)用 其 實(shí) 部 與 虛 部 表 示 ： *e e( ) ( )x n x n e er ei( ) ( ) j ( )x n x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析將 上 式 兩 邊 n用 n代 替 ， 并 取 共 軛 ， 得 到 ：對(duì) 比 上 面 兩 公 式 ， 因 左 邊 相 等 ， 因 此 得 到 ： （ 2.2.10） （ 2

12、.2.11） *e er ei( ) ( ) j ( )x n x n x n er er( ) ( )x n x n ei ei( ) ( )x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 上 面 兩 式 表 明 共 軛 對(duì) 稱 序 列 其 實(shí) 部 是 偶 函 數(shù) ， 而 虛部 是 奇 函 數(shù) 。 類 似 地 ， 可 定 義 滿 足 下 式 的 共 軛 反 對(duì) 稱 序列 ： （ 2.2.12） 將 xo(n)表 示 成 實(shí) 部 與 虛 部 ， 如 下 式 ：* o o( ) ( )x n x n o or oi( ) ( ) j ( )x n x n x n

13、 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析可 以 得 到 ： （ 2.2.13） （ 2.2.14） 即 共 軛 反 對(duì) 稱 序 列 的 實(shí) 部 是 奇 函 數(shù) ， 而 虛 部 是 偶 函 數(shù) 。 or or( ) ( )x n x n oi oi( ) ( )x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.2.2】 試 分 析 x(n)=ejm的 對(duì) 稱 性 。 解 因 為 x*( n)=ejm=x(n) 滿 足 (2.2.9)式 ， 所 以 x(n)是 共 軛 對(duì) 稱 序 列 ， 如 展 成 實(shí) 部與 虛 部 ， 則 得

14、 到 ： x(n)=cosn+j sinn 上 式 表 明 ， 共 軛 對(duì) 稱 序 列 的 實(shí) 部 確 實(shí) 是 偶 函 數(shù) ， 虛 部是 奇 函 數(shù) 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析一 般 序 列 可 用 共 軛 對(duì) 稱 與 共 軛 反 對(duì) 稱 序 列 之 和 表 示 ， 即 （ 2.2.15） 式 中 ， xe(n)和 xo(n)可 以 分 別 用 原 序 列 x(n)求 出 ， 將 （ 2.2.15）式 中 的 n用 n代 替 ， 再 取 共 軛 , 得 到 ： （ 2.2.16） e o( ) ( ) ( )x n x n x n * e o( ) (

15、 ) ( )x n x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析利 用 （ 2.2.15） 和 （ 2.2.16） 式 ， 得 到 ： （ 2.2.17） （ 2.2.18） 利 用 上 面 兩 式 ， 可 以 用 x(n)分 別 求 出 x e(n)和 xo(n)。 *e 1( ) ( ) ( )2x n x n x n *o 1( ) ( ) ( )2x n x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 對(duì) 于 頻 域 函 數(shù) X(ej)， 也 有 和 上 面 類 似 的 概 念 和 結(jié) 論 ： X(ej)=Xe(ej

16、)+Xo(ej) （ 2.2.19）式 中 ， Xe(ej)與 Xo(ej)分 別 稱 為 共 軛 對(duì) 稱 部 分 和 共 軛 反 對(duì)稱 部 分 ， 它 們 滿 足 ： （ 2.2.20）（ 2.2.21） j -je e(e ) (e )X X j jo o(e ) (e )X X 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析同 樣 有 下 面 公 式 成 立 ： 有 了 上 面 的 概 念 和 結(jié) 論 ， 下 面 研 究 FT的 對(duì) 稱 性 。 （ 2.2.22）（ 2.2.23）j j * je 1(e ) (e ) (e )2X X X j j * jo 1(e )

17、 (e ) (e )2X X X 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 (1) 將 序 列 x(n)分 成 實(shí) 部 xr(n)與 虛 部 xi(n)， 即x(n)=xr(n)+jxi(n) 將 上 式 進(jìn) 行 傅 里 葉 變 換 ， 得 到 : e o(e ) (e ) (e )j j jx x X j je r i(e ) FT ( ) ( )e nnX x n x n j jo i i(e ) FTj ( ) j ( )e n nX x n x n 式 中 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析上 面 兩 式 中 ， xr(n)和 xi

18、(n)都 是 實(shí) 數(shù) 序 列 。 容 易 證 明 ： Xe(ej)滿 足 （ 2.2.20） 式 ， 具 有 共 軛 對(duì) 稱 性 ， 它 的 實(shí) 部 是 偶 函 數(shù) ，虛 部 是 奇 函 數(shù) ； Xo(ej) 滿 足 （ 2.2.21） 式 ， 具 有 共 軛 反 對(duì)稱 性 質(zhì) ， 它 的 實(shí) 部 是 奇 函 數(shù) ， 虛 部 是 偶 函 數(shù) 。 最 后 得 到 結(jié) 論 ： 序 列 分 成 實(shí) 部 與 虛 部 兩 部 分 ， 實(shí) 部 對(duì)應(yīng) 的 傅 里 葉 變 換 具 有 共 軛 對(duì) 稱 性 ， 虛 部 和 j一 起 對(duì) 應(yīng) 的 傅 里葉 變 換 具 有 共 軛 反 對(duì) 稱 性 。 第 2章 時(shí)

19、域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 (2) 將 序 列 分 成 共 軛 對(duì) 稱 部 分 xe(n)和 共 軛 反 對(duì) 稱 部 分xo(n)， 即 x(n)=xe(n)+xo(n) (2.2.24) 將 （ 2.2.17） 和 （ 2.2.18） 式 重 寫 如 下 ： *e 1( ) ( ) ( )2x n x n x n *o 1( ) ( ) ( )2x n x n x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析將 上 面 兩 式 分 別 進(jìn) 行 傅 里 葉 變 換 ， 得 到 ： 因 此 （ 2.2.24） 式 的 FT為 （ 2.2.25a）

20、j * j j je R1FT ( ) (e ) (e ) Re (e ) (e )2x n X X X X j * j j jo I1FT ( ) (e ) (e ) jIm (e ) j (e )2x n X X X X j j jR I(e ) (e ) j (e )X X X （ 2.2.25b） （ 2.2.25c） 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 （ 2.2.25） 式 表 示 ： 序 列 x(n)的 共 軛 對(duì) 稱 部 分 xe(n)對(duì) 應(yīng) 著X(ej)的 實(shí) 部 XR(ej)， 而 序 列 x(n)的 共 軛 反 對(duì) 稱 部 分 xo(n)對(duì)

21、應(yīng)著 X(ej)的 虛 部 (包 括 j)。 下 面 我 們 利 用 FT的 對(duì) 稱 性 ， 分 析 實(shí) 因 果 序 列 h(n)的 對(duì) 稱性 ， 并 推 導(dǎo) 其 偶 函 數(shù) he(n)和 奇 函 數(shù) ho(n)與 h(n)之 間 的 關(guān) 系 。 因 為 h(n)是 實(shí) 序 列 ， 其 FT只 有 共 軛 對(duì) 稱 部 分 H e(ej)， 共軛 反 對(duì) 稱 部 分 為 零 。 j je(e ) (e )H H j j(e ) (e )H H 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析因 此 實(shí) 序 列 的 FT是 共 軛 對(duì) 稱 函 數(shù) , 其 實(shí) 部 是 偶 函 數(shù) ，

22、 虛 部是 奇 函 數(shù) ， 用 公 式 表 示 為 顯 然 ， 其 模 的 平 方是 偶 函 數(shù) ， 相 位 函 數(shù) 是 奇 函 數(shù) ， 這 和 實(shí) 模 擬 信 號(hào) 的 FT有 同 樣 的 結(jié) 論 。 j jR R(e ) ( )H H e j j I I(e ) (e )H H j 2 2 j 2 jR I| (e )| (e ) (e )H H H j j jI Rarg (e ) argtan (e )/ (e )H H H 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 按 照 （ 2.2.17） 和 （ 2.2.18） 式 得 到 ：e o( ) ( ) ( )h

23、n h n h n e 1( ) ( ) ( )2h n h n h n o 1( ) ( ) ( )2h n h n h n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 因 為 h(n)是 實(shí) 因 果 序 列 ， 按 照 上 面 兩 式 ， he(n)和 ho(n)可 用 下 式 表 示 ： （ 2.2.26） （ 2.2.27） e (0) 01( ) ( ) 021 ( ) 02h nh n h n nh n n o 0 01( ) ( ) 021 ( ) 02 nh n h n nh n n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 按 照

24、 上 面 兩 式 ， 實(shí) 因 果 序 列 h(n)可 以 分 別 用 he(n)和ho(n)表 示 為 （ 2.2.28） （ 2.2.29） 式 中 （ 2.2.30） e( ) ( ) ( )h n h n u n o( ) ( ) ( ) (0) ( )h n h n u n h n 2 0( ) 1 00 0nu n nn 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 因 為 h(n)是 實(shí) 序 列 ， 上 面 公 式 中 he(n)是 偶 函 數(shù) ， ho(n)是 奇 函 數(shù) 。 按 照 （ 2.2.28） 式 ， 實(shí) 因 果 序 列 完 全 由 其 偶序 列 恢

25、 復(fù) ， 但 按 照 （ 2.2.27） 式 ， ho(n)中 缺 少 n=0點(diǎn) h(n)的 信 息 。 因 此 由 ho(n)恢 復(fù) h(n)時(shí) ， 要 補(bǔ) 充 一 點(diǎn) h(h)(n)信息 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.2.3】 x(n)=anu(n), 0a1。 求 其 偶 函 數(shù) xe(n)和 奇 函 數(shù) xo(n)。 解 x(n)=xe(n)+xo(n) 按 （ 2.2.26） 式 ， 得 到 ： e (0) 01( ) ( ) 021 ( ) 02x nx n x n nx n n 021 021 01 na na nnn 第 2章

26、 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析按 （ 2.2.27） 式 ， 得 到 ： x(n) 、 x e(n)和 xo(n)波 形 如 圖 2.2.3所 示 。 o 0 01( ) ( ) 021 ( ) 02 nx n x n nx n n 0 01 021 02n n na na n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.2.3 例 2.2.3圖 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 5 時(shí) 域 卷 積 定 理 設(shè) y(n)=x(n)*h(n)則 Y(ej)=X(ej)H（ ej） （ 2.2.31） 證 明

27、( ) ( ) ( ) my n x m h n m j j(e ) FT ( ) ( ) ( )e nn mY y n x m h n m 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析令 k=n m， 則 j j j(e ) ( ) ( )e ek nk mY h k x m j j( )e ( )ek nk mh k x m j j(e ) (e )H X 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 該 定 理 說 明 ， 兩 序 列 卷 積 的 FT服 從 相 乘 的 關(guān) 系 。對(duì) 于 線 性 時(shí) 不 變 系 統(tǒng) ， 輸 出 的 FT等 于 輸

28、入 信 號(hào) 的 FT乘 以單 位 脈 沖 響 應(yīng) 的 FT。 因 此 ， 在 求 系 統(tǒng) 的 輸 出 信 號(hào) 時(shí) ， 可以 在 時(shí) 域 用 卷 積 公 式 （ 1.3.7） 計(jì) 算 ， 也 可 以 在 頻 域 按 照（ 2.2.31） 式 ， 求 出 輸 出 的 FT， 再 作 逆 FT， 求 出 輸 出 信號(hào) y(n)。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 6 頻 域 卷 積 定 理 設(shè) y(n)=x(n)h(n) 則 (2.2.32) 證 明 (2.2.33) j j j j j( ) 1 1(e ) (e ) (e ) (e ) (e )d2 2Y X H

29、X H j j(e ) ( ) ( )e nnY x n h n j j j 1( ) (e )e d e2 n nn x n H 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析交 換 積 分 與 求 和 的 次 序 ， 得 到 ： (2.2.34) 該 定 理 表 明 ， 在 時(shí) 域 兩 序 列 相 乘 ， 轉(zhuǎn) 移 到 頻 域 時(shí)服 從 卷 積 關(guān) 系 。 j j j( )1(e ) (e ) ( )e d2 nnY H x n j j( )1 (e ) (e )d2 H X j j1 (e ) (e )2 X H 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域

30、分 析7 帕 斯 維 爾 （ Parseval） 定 理 （ 2.2.35） 22 j 1( ) (e ) d2n x n x 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析證 明 2 * * j j1( ) ( ) ( ) ( ) (e )e d2 nn n nx n x n x n x n X j j j1 (e ) (e ) ( )e d2 nnX X x n 2 j j j 1 1(e ) (e )d (e ) d2 2X X X 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 帕 斯 維 爾 定 理 表 明 了 信 號(hào) 時(shí) 域 的 能 量 與 頻

31、域 的 能量 關(guān) 系 。 表 2.2.1綜 合 了 FT的 性 質(zhì) ， 這 些 性 質(zhì) 在 分 析 問 題 和實(shí) 際 應(yīng) 用 中 是 很 重 要 的 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析表 2.2.1 序 列 傅 里 葉 變 換 的 性 質(zhì) 定 理 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.3 周 期 序 列 的 離 散 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 及 傅 里 葉變 換 表 示 式 因 為 周 期 序 列 不 滿 足 （ 2.2.2） 式 絕 對(duì) 可 和 的 條 件 ， 因此 它 的 FT并 不 存 在 ， 但 由 于 是 周 期 性 的 ，

32、可 以 展 成 離 散 傅里 葉 級(jí) 數(shù) ， 引 入 奇 異 函 數(shù) ()， 其 FT可 以 用 公 式 表 示 出 來 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.3.1 周 期 序 列 的 離 散 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 設(shè) 是 以 N為 周 期 的 周 期 序 列 ， 可 以 展 成 離 散 傅 里葉 級(jí) 數(shù) 。 如 下 : (2.3.1)為 求 系 數(shù) a k， 將 上 式 兩 邊 乘 以 ， 并 對(duì) n在 一 個(gè) 周期 N中 求 和 ， 即)( nx 10 2)( Nk knNjkeanx mnNje 2 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻

33、域 分 析式 中 (2.3.2) 21 j ( )0 e 0 N k m nNn N k mk m 10 10 )(210 210 210 2)( Nk Nn nmkNjkNn mnNjNk knNjkNn mnNj eaeeaenx 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析(2.3.2)式 的 證 明 作 為 練 習(xí) 請 讀 者 自 己 證 明 。 因 此 (2.3.3) 式中 ， k和 n均 取 整 數(shù) 。 因 為 ，l取 整 數(shù) ,即 是 周 期 為 N的 周 期 函 數(shù) ， 所 以 ， 系 數(shù) ak也 是 周 期 序 列 ， 滿 足 a k=ak+lN。 2 2

34、j ( ) je ek lN n knN N 2je knN 10,)(1 10 2 NkenxNa Nn knNjk 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析令 , 并 將 (2.3.3)式 代 入 ， 得 到 : (2.3.4)式 中 ， 也 是 以 N為 周 期 的 周 期 序 列 , 稱 為 的離 散 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 系 數(shù) ， 用 DFS(Discrete Fourier Series)表 示 。 kNakX )( kenxkX Nn knNj ,)()( 10 2)( kX )( nx 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析用

35、(2.3.5) 將 （ 2.3.4） 式 和 （ 2.3.5） 式 重 寫 如 下 ： (2.3.6) (2.3.7) 21 j01( ) ( )eN knNkx n X kN 21 j0( ) DFS ( ) ( )eN knNnX k x n x n 21 j01( ) IDFS ( ) ( )eN knNkx n X k X kN )(1 kXN 代 替 (2.3.1)式 中 的 ak,得 到 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 （ 2.3.6） 式 和 （ 2.3.7） 式 稱 為 一 對(duì) DFS。 （ 2.3.5）式 表 明 將 周 期 序 列 分 解

36、成 N次 諧 波 ， 第 k個(gè) 諧 波 頻 率 為k=(2/N)k, k=0, 1, 2, , N 1, 幅 度 為 。基 波 分 量 的 頻 率 是 2/N， 幅 度 是 。 一 個(gè) 周 期序 列 可 以 用 其 DFS系 數(shù) 表 示 它 的 頻 譜 分 布 規(guī) 律 。 【 例 2.3.1】 設(shè) x(n)=R4(n)， 將 x(n)以 N=8為 周 期 進(jìn)行 周 期 延 拓 ， 得 到 如 圖 2.3.1(a)所 示 的 周 期 序 列 ，周 期 為 8， 求 DFS 。 解 按 照 （ 2.3.6） 式 , 有 (1/ ) ( )N X k (1/ ) (1)N X( )x k ( )x

37、n ( )x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析其 幅 度 特 性 如 圖 2.3.1(b)所 示 。 2 7 3j j8 40 0( ) ( )e ekn knn nX k x n j 44j41 e1 e kk j j2 2 j j8 8j (e e )j 2 j j (e e )4 81 e e1 e e k kk kkk k 3j 8 sin2e sin8k kk( )X k 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.3.1 例 2.3.1圖 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.3.2 周

38、 期 序 列 的 傅 里 葉 變 換 表 示 式 在 模 擬 系 統(tǒng) 中 ， ， 其 傅 里 葉 變 換是 在 =0處 的 單 位 沖 激 函 數(shù) ， 強(qiáng) 度 是 2， 即 （ 2.3.8） 對(duì) 于 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) ， ， 2/ 0為 有 理 數(shù) ，暫 時(shí) 假 定 其 FT的 形 式 與 （ 2.3.8） 式 一 樣 ， 即 是 在 0處 的 單 位 沖 激 函 數(shù) ， 其 強(qiáng) 度 為 2。 但 由 于 n取 整 數(shù) ，下 式 成 立 ： 0ja( ) e tX t 0j( )a a(j ) FT ( ) e dtX x t t 02 ( ) 0j( ) e nx n 第 2章 時(shí) 域

39、 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 r取 整 數(shù) 因 此 的 FT為 (2.3.9)(2.3.9)式 表 示 復(fù) 指 數(shù) 序 列 的 FT是 在 0+2r處 的 單 位 沖 激 函數(shù) ， 強(qiáng) 度 為 2， 如 圖 2.3.2所 示 。 但 這 種 假 定 如 果 成 立 ，則 要 求 按 照 （ 2.2.4） 式 的 逆 變 換 必 須 存 在 ， 且 唯 一 等 于 ， 下 面 進(jìn) 行 驗(yàn) 證 。 按 照 逆 變 換 定 義 ， （ 2.2.4） 式右 邊 0 0j j( 2 )e en r n 0je n 0jj 0(e ) FTe 2 ( 2 )n rX r 0je n 第

40、 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析觀 察 圖 2.3.2， 在 區(qū) 間 ， 只 包 括 一 個(gè) 單 位 沖 激 函 數(shù)( 0)， 等 式 右 邊 為 ， 因 此 得 到 下 式 ： 證 明 了 （ 2.3.9） 式 確 實(shí) 是 的 FT， 前 面 的 暫 時(shí) 假 定是 正 確 的 。 j j j01 1(e )e d 2 ( 2 )e d2 2n nrX r 0je n0 0j jj j1e (e )e d IFT (e )2n nX X 0je n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.3.2 的 FT 0je n 第 2章 時(shí)

41、 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 對(duì) 于 一 般 周 期 序 列 ， 按 （ 2.3.6） 式 展 成 DFS，第 k次 諧 波 為 ， 類 似 于 復(fù) 指 數(shù) 序 列 的 FT，其 FT為 因 此 的 FT如 下 式 ： ( )x n 2j( ( )/ )e knNX k N2 ( ) 2 2 rX k k rN N ( )x n 1j 0 2 ( ) 2(e ) FT ( ) 2Nk rX kX x n k rN N 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析式 中 ， k=0, 1, 2, , N 1。 如 果 讓 k在 區(qū) 間 變 化 ，上 式

42、 可 簡 化 成 （ 2.3.10） 式 中 (2.3.10)式 就 是 周 期 性 序 列 的 傅 里 葉 變 換 表 示 式 。 需 要 說明 的 是 ， 上 面 公 式 中 的 ()表 示 單 位 沖 激 函 數(shù) ， 而 (n)表 示 單 位 脈 沖 序 列 ， 由 于 括 弧 中 的 自 變 量 不 同 , 因 而 不會(huì) 引 起 混 淆 。 表 2.3.2中 綜 合 了 一 些 基 本 序 列 的 FT。 j 2 2(e ) ( )kX X k kN N 21 j0( ) ( )eN knNnX k x n 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析表 2.3.2

43、 基 本 序 列 的 傅 里 葉 變 換 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析表 中 u(n)序 列 的 傅 里 葉 變 換 推 導(dǎo) 如 下 ： 令 (2.3.11) (2.3.12) 對(duì) (2.3.12)式 進(jìn) 行 FT， 得 到 : 1( ) ( ) 2x n u n 1( 1) ( 1) 2x n u n ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )x n x n u n u n n j j1(e ) 1 eX 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析對(duì) (2.3.11)式 進(jìn) 行 FT， 得 到 ： 【 例 2.3.2】 求 例 2.3

44、.1中 周 期 序 列 的 FT。 解 將 例 2.3.1中 得 到 的 代 入 （ 2.3.10） 式 中 ， 得到 ： 其 幅 頻 特 性 如 圖 2.3.3所 示 。 j j(e ) (e ) ( 2 )kX U k j j1(e ) ( 2 )1 e kU k ( )X k3j j 8 sin( /2) (e ) e4 sin( /8) 4kk kX kk 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.3.3 例 2.3.2圖 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 對(duì) 比 圖 2.3.1， 對(duì) 于 同 一 個(gè) 周 期 信 號(hào) ，

45、其 DFS和 FT分 別 取 模 的 形 狀 是 一 樣 的 ， 不 同 的 是 FT用 單 位 沖 激 函數(shù) 表 示 （ 用 帶 箭 頭 的 豎 線 表 示 ） 。 因 此 周 期 序 列 的 頻譜 分 布 用 其 DFS或 者 FT表 示 都 可 以 ， 但 畫 圖 時(shí) 應(yīng) 注 意單 位 沖 激 函 數(shù) 的 畫 法 。 【 例 2.3.3】 令 為 有 理 數(shù) ，求 其 FT。 解 將 用 歐 拉 公 式 展 開 ： 按 照 （ 2.3.9） 式 ， 其 FT推 導(dǎo) 如 下 ： 0 0( ) cos ,2/x n n ( )x n 0 0j j1( ) e e 2 n nx n 第 2章

46、時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 （ 2.3.13） (2.3.13)式 表 明 ， cos 0n的 FT是 在 = 0處 的 單 位 沖 激 函數(shù) ， 強(qiáng) 度 為 ， 且 以 2為 周 期 進(jìn) 行 延 拓 ， 如 圖 2.3.4所 示 。 j 0(e ) FTcos X n 0 01 2 ( 2 ) ( 2 )2 r r r 0 0 ( 2 ) ( 2 )r r r 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.3.4 cos0n的 FT 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.4 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 傅

47、里 葉 變 換 與 模 擬 信 號(hào)傅 里 葉 變 換 之 間 的 關(guān) 系 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 與 模 擬 信 號(hào) 是 兩 種 不 同 的 信 號(hào) ， 傅 里 葉變 換 也 不 同 ， 如 果 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 是 由 某 模 擬 信 號(hào) 采 樣 得 來 ，那 么 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變 換 和 該 模 擬 信 號(hào) 的 傅 里 葉 變換 之 間 有 一 定 的 關(guān) 系 。 下 面 推 導(dǎo) 這 一 關(guān) 系 式 。 公 式 x(n)=x a(t)|t=nT=xa(nT)表 示 了 由 采 樣 得 到 的 時(shí) 域 離散 信 號(hào) 和 模 擬 信 號(hào) 的 關(guān) 系 ， 而 理

48、想 采 樣 信 號(hào) 和 模 擬信 號(hào) 的 關(guān) 系 用 （ 1.5.2） 式 表 示 ， 重 寫 如 下 : a ( )x ta a ( ) ( ) ( )nx t x nT t nT 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析對(duì) 上 式 進(jìn) 行 傅 里 葉 變 換 , 得 到 :ja a ja (j ) ( )e d( ) ( ) e dt tnX x t tx nT t nT t ja j a( ) ( )e d( )e ( )dtn nTn x nT t nT tx nT t nT t ja ( )e nTn x nT 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的

49、 頻 域 分 析令 =T， 且 x(n)=xa(nT)， 得 到 ： （ 2.4.1） 或 者 寫 成 ： （ 2.4.2） 式 中 (2.4.2)式 也 可 以 表 示 成 （ 2.4.3） j a(e ) (j )TX X j a s1(e ) (j j )T kX X kT s s 22F T j a1 2(e ) (j )k kX XT T 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析（ 2.4.1） 、 （ 2.4.2） 和 （ 2.4.3） 式 均 表 示 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的傅 里 葉 變 換 和 模 擬 信 號(hào) 傅 里 葉 變 換 之 間 的 關(guān) 系

50、。 由 這 些 關(guān)系 式 可 以 得 出 兩 點(diǎn) 結(jié) 論 。 一 點(diǎn) 結(jié) 論 是 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 的 頻 譜也 是 模 擬 信 號(hào) 的 頻 譜 周 期 性 延 拓 ， 周 期 為 ，因 此 由 模 擬 信 號(hào) 進(jìn) 行 采 樣 得 到 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 時(shí) ， 同 樣 要 滿足 前 面 推 導(dǎo) 出 的 采 樣 定 理 ， 采 樣 頻 率 必 須 大 于 等 于 模 擬 信號(hào) 最 高 頻 率 的 2倍 以 上 ， 否 則 也 會(huì) 差 生 頻 域 混 疊 現(xiàn) 象 ， 頻 率混 疊 在 s/2附 近 最 嚴(yán) 重 ， 在 數(shù) 字 域 則 是 在 附 近 最 嚴(yán) 重 。s s 22F T 第

51、 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析另 一 點(diǎn) 結(jié) 論 是 計(jì) 算 模 擬 信 號(hào) 的 FT可 以 用 計(jì) 算 相 應(yīng) 的 時(shí)域 離 散 信 號(hào) 的 FT得 到 ， 方 法 是 : 首 先 按 照 采 樣 定 理 ， 以模 擬 信 號(hào) 最 高 頻 率 的 兩 倍 以 上 頻 率 對(duì) 模 擬 信 號(hào) 進(jìn) 行 采 樣得 到 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) ， 再 通 過 計(jì) 算 機(jī) 對(duì) 該 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 進(jìn)行 FT， 得 到 它 的 頻 譜 函 數(shù) ， 再 乘 以 采 樣 間 隔 T便 得 到 模擬 信 號(hào) 的 FT， 注 意 關(guān) 系 式 =T。 第 2章 時(shí) 域 離

52、散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 按 照 數(shù) 字 頻 率 和 模 擬 頻 率 之 間 的 關(guān) 系 ， 在 一 些 文獻(xiàn) 中 經(jīng) 常 使 用 歸 一 化 頻 率 f=f/Fs或 =/s, =/2, 因 為 f、 和 都 是 無 量 綱 量 ， 刻 度 是 一 樣 的 ， 將 f、 、 f、 、 的 定 標(biāo) 值 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 用 圖 2.4.1表 示 。 圖 2.4.1表 明 ， 模 擬 折 疊 頻 率 Fs/2對(duì) 應(yīng) 數(shù) 字 頻 率 ；如 果 采 樣 定 理 滿 足 ， 則 要 求 模 擬 最 高 頻 率 fc不 能 超 過F s/2； 如 果 不 滿 足 采 樣 定 理 ， 則 會(huì)

53、 在 =附 近 ， 或 者f=Fs/2附 近 引 起 頻 率 混 疊 。 以 上 幾 個(gè) 頻 率 之 間 的 定 標(biāo) 關(guān)系 很 重 要 ， 尤 其 在 模 擬 信 號(hào) 數(shù) 字 處 理 中 ， 經(jīng) 常 需 要 了解 它 們 的 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.4.1 模 擬 頻 率 與 數(shù) 字 頻 率 之 間 的 定 標(biāo) 關(guān) 系 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.5 序 列 的 Z變 換 在 模 擬 信 號(hào) 系 統(tǒng) 中 ， 用 傅 里 葉 變 換 進(jìn) 行 頻 域 分析 ， 拉 普 拉 斯 變 換 可

54、作 為 傅 里 葉 變 換 的 推 廣 ， 對(duì) 信號(hào) 進(jìn) 行 復(fù) 頻 域 分 析 。 在 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 中 ， 用序 列 的 傅 里 葉 變 換 進(jìn) 行 頻 域 分 析 ， Z變 換 則 是 其推 廣 ， 用 以 對(duì) 序 列 進(jìn) 行 復(fù) 頻 域 分 析 。 因 此 Z變 換 在數(shù) 字 信 號(hào) 處 理 中 同 樣 起 著 很 重 要 的 作 用 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析2.5.1 Z變 換 的 定 義 序 列 x(n)的 Z變 換 定 義 為 （ 2.5.1） 式 中 z是 一 個(gè) 復(fù) 變 量 ， 它 所 在 的 復(fù) 平 面 稱

55、為 z平 面 。 注 意在 定 義 中 ， 對(duì) n求 和 是 在 、 之 間 求 和 ， 可 以 稱 為雙 邊 Z變 換 。 還 有 一 種 稱 為 單 邊 Z變 換 的 定 義 ， 如 下 式 ： （ 2.5.2） ( ) ( ) nnX z x n z def 0( ) ( ) nnX z x n z def 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析這 種 單 邊 Z變 換 的 求 和 限 是 從 零 到 無 限 大 ， 因 此 對(duì) 于 因 果序 列 ， 用 兩 種 Z變 換 定 義 計(jì) 算 的 結(jié) 果 是 一 樣 的 。 本 書 中 如不 另 外 說 明 ， 均

56、用 雙 邊 Z變 換 對(duì) 信 號(hào) 進(jìn) 行 分 析 和 變 換 。 （ 2.5.1） 式 Z變 換 存 在 的 條 件 是 等 號(hào) 右 邊 級(jí) 數(shù) 收 斂 ，要 求 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 可 和 ， 即 （ 2.5.3） 使 （ 2.5.3） 式 成 立 ， Z變 量 取 值 的 域 稱 為 收 斂 域 。 一 般收 斂 域 為 環(huán) 狀 域 ， 即 ( ) nn x n z | |x xR z R 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析令 z=rej， 代 入 上 式 得 到 Rx rRx ， 收 斂 域 是 分 別 以 Rx 和 Rx 為 收 斂 半 徑 的 兩 個(gè) 圓 形

57、 成 的 環(huán) 狀 域 (如 圖 2.5.1 中所 示 的 斜 線 部 分 )。 當(dāng) 然 ， Rx 可 以 小 到 零 ， Rx 可 以 大到 無 窮 大 。 收 斂 域 的 示 意 圖 如 圖 2.5.1所 示 。 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 圖 2.5.1 變 換 的 收 斂 域 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 常 用 的 Z變 換 是 一 個(gè) 有 理 函 數(shù) ， 用 兩 個(gè) 多 項(xiàng) 式 之 比表 示 ： 分 子 多 項(xiàng) 式 P(z)的 根 是 X(z)的 零 點(diǎn) ， 分 母 多 項(xiàng) 式 Q(z)的根 是 X(z)的 極

58、 點(diǎn) 。 在 極 點(diǎn) 處 Z變 換 不 存 在 ， 因 此 收 斂 域中 沒 有 極 點(diǎn) ， 收 斂 域 總 是 用 極 點(diǎn) 限 定 其 邊 界 。 對(duì) 比 序 列 的 傅 里 葉 變 換 定 義 （ 2.2.1） 式 ， 很 容 易得 到 傅 里 葉 變 換 和 Z變 換 （ ZT） 之 間 的 關(guān) 系 ， 用 下 式 表示 ： ( )( ) ( )P zX z Q z 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析（ 2.5.4） 式 中 , z=ej表 示 在 z平 面 上 r=1的 圓 ， 該 圓 稱 為 單 位 圓 。（ 2.5.4） 式 表 明 單 位 圓 上 的

59、 Z變 換 就 是 序 列 的 傅 里 葉 變 換 。如 果 已 知 序 列 的 Z變 換 ， 就 可 用 （ 2.5.4） 式 很 方 便 地 求 出序 列 的 傅 里 葉 變 換 ， 條 件 是 收 斂 域 中 包 含 單 位 圓 。 【 例 2.5.1】 x(n)=u(n), 求 其 Z變 換 。 解 jj e(e ) ( )|zX X z 0( ) ( ) n nn nX z u n z z 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析X(z)存 在 的 條 件 是 |z 1|1, 因 此 X(z)表 達(dá) 式 表 明 ， 極 點(diǎn) 是 z=1， 單 位 圓 上 的 Z

60、變 換 不 存 在 ，或 者 說 收 斂 域 不 包 含 單 位 圓 ， 因 此 其 傅 里 葉 變 換 不 存 在 ，更 不 能 用 （ 2.5.4） 式 求 傅 里 葉 變 換 。 該 序 列 的 傅 里 葉 變換 不 存 在 ， 但 如 果 引 進(jìn) 奇 異 函 數(shù) ()， 其 傅 里 葉 變 換 則可 以 表 示 出 來 （ 見 表 2.3.2） 。 該 例 同 時(shí) 說 明 一 個(gè) 序 列 的傅 里 葉 變 換 不 存 在 ， 但 在 一 定 收 斂 域 內(nèi) Z變 換 是 可 以 存 在的 。 11( ) | | 11X z zz 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域

61、 分 析2.5.2 序 列 特 性 對(duì) 收 斂 域 的 影 響 序 列 的 特 性 決 定 其 Z變 換 收 斂 域 ， 了 解 序 列 特 性 與 收斂 域 的 一 般 關(guān) 系 ， 對(duì) 使 用 Z變 換 是 很 有 幫 助 的 。 1 有 限 長 序 列 如 序 列 x(n)滿 足 下 式 ： 即 序 列 x(n)從 n 1到 n2的 序 列 值 不 全 為 零 ， 此 范 圍 之 外 序 列值 為 零 ， 這 樣 的 序 列 稱 為 有 限 長 序 列 。 其 Z變 換 為1 2( )( ) 0 x n n n nx n 其 它 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分

62、 析 設(shè) x(n)為 有 界 序 列 ， 由 于 是 有 限 項(xiàng) 求 和 ， 除 0與 兩點(diǎn) 是 否 收 斂 與 n1、 n2取 值 情 況 有 關(guān) 外 ， 整 個(gè) z平 面 均 收斂 。 如 果 n10， 則 收斂 域 不 包 括 z=0點(diǎn) ； 如 果 是 因 果 序 列 ， 收 斂 域 包 括 z=點(diǎn) 。 具 體 有 限 長 序 列 的 收 斂 域 表 示 如 下 ： n 10, n20時(shí) ， 0|z| n10時(shí) ， 0|z|0時(shí) ， 0|z| 2 1( ) ( )n nn nX z x n z 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.5.2】 求 x

63、(n)=RN(n)的 Z變 換 及 其 收 斂 域 。 解 這 是 一 個(gè) 因 果 的 有 限 長 序 列 ， 因 此 收 斂 域 為 0z。 但由 結(jié) 果 的 分 母 可 以 看 出 ， 似 乎 z=1是 X(z)的 極 點(diǎn) ， 但 同 時(shí)分 子 多 項(xiàng) 式 在 z=1時(shí) 也 有 一 個(gè) 零 點(diǎn) ， 極 、 零 點(diǎn) 對(duì) 消 ， X(z)在 單 位 圓 上 仍 存 在 ， 求 R N(n)的 傅 里 葉 變 換 ， 可 將 z=ej代入 X(z)得 到 ， 其 結(jié) 果 和 例 題 2.2.1中 的 結(jié) 果 （ 2.2.5） 式 是相 同 的 。 1 10 1( ) ( ) 1 NNn nNn

64、n zX z R n z z z 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 2 右 序 列 右 序 列 是 指 在 nn1時(shí) ， 序 列 值 不 全 為 零 ， 而 在 nn1時(shí) ， 序 列 值 全 為 零 的 序 列 。 右 序 列 的 Z變 換 表 示 為 第 一 項(xiàng) 為 有 限 長 序 列 ， 設(shè) n1 1， 其 收 斂 域 為 0|z|。第 二 項(xiàng) 為 因 果 序 列 ， 其 收 斂 域 為 R x |z|， Rx 是 第 二項(xiàng) 最 小 的 收 斂 半 徑 。 將 兩 收 斂 域 相 與 ， 其 收 斂 域 為 Rx |z|。 如 果 是 因 果 序 列 ， 收

65、 斂 域 為 Rx |z|。 11 0( ) ( ) ( )n n nn n n n nX x n z x n z x n z 1(z)= 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.5.3】 求 x(n)=anu(n)的 Z變 換 及 其 收 斂 域 。 解 在 收 斂 域 中 必 須 滿 足 |az 1|a|。 10 1( ) ( ) 1n n n nn nX z a u n z a z az 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 3 左 序 列 左 序 列 是 指 在 nn2時(shí) ， 序 列 值 不 全 為 零 ， 而 在 nn

66、2時(shí) ， 序 列 值 全 為 零 的 序 列 。 左 序 列 的 Z變 換 表 示 為 如 果 n20, z=0點(diǎn) 收 斂 ， z=點(diǎn) 不 收 斂 ， 其 收 斂 域 是 在某 一 圓 （ 半 徑 為 R x+） 的 圓 內(nèi) ， 收 斂 域 為 0|z|Rx+。 如 果n20， 則 收 斂 域 為 0|z|Rx ，則 其 收 斂 域 為 Rx |z|Rx+， 是 一 個(gè) 環(huán) 狀 域 ； 如 果 Rx+Rx ，兩 個(gè) 收 斂 域 沒 有 交 集 ， X(z)則 沒 有 收 斂 域 ， 因 此 X(z)不 存在 。 1 2( ) ( ) ( ) ( )nnX z x n z X z X z 1 11( ) ( ) 0 | |n xnX z x n z z R 2 0( ) ( ) | |n xnX z x n z R z 第 2章 時(shí) 域 離 散 信 號(hào) 和 系 統(tǒng) 的 頻 域 分 析 【 例 2.5.5】 x(n)=a|n|, a為 實(shí) 數(shù) ， 求 x(n)的 Z變 換 及 其收 斂 域 。 解 : 第 一 部 分 收 斂 域 為 |az|1， 得 |z|a| 1; 第 二 部 分 收