大學物理機械波課件

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1、機械波 機械波 振動在空間的傳播過程叫做波動 機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播稱為機械波 6-1 機械波的產(chǎn)生與傳播 一、機械波的產(chǎn)生條件 波源 -振動源 彈性介質(zhì) -由彈性力組合的連續(xù)介質(zhì) 二、分類 按質(zhì)點的振動方向與波的傳播方向的關系分為：橫波、縱波 橫波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波 縱波振動方向與傳播方向相同，如聲波 三、形成過程 橫波 * 下面分析具體過程 t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T 說明： (1)每個質(zhì)點均在自己的平衡位置附近振動， 并未隨波的傳播而傳播-波是振動狀態(tài)的傳播。 (2) 質(zhì)元的振動速度和波的速度是兩個不同的概念。 (3)后振動

2、的質(zhì)點比先振動的質(zhì)點落后一定的相位。 (,)yyxt= 縱波 四、 波線 波面 波前 波線（或波射線 ) 波的傳播方向稱之為波射線或波線。 波面（或波陣面） 某時刻介質(zhì)內(nèi)振動相位相同的點組成的面 稱為波面。 波前某時刻處在最前面的波面。 球面波 平面波 波面 波線 波線 波面 在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直 . 五、波的特征量 單位時間某振動狀態(tài) (或振動相位) 所傳播的距離，也稱之相速 。 1. 波速 t B u r = l Y u r = *在液體和氣體只能傳播縱波，其波速為： *各向同性均勻固體媒質(zhì)橫波波速為 t N u r = *對于柔軟的繩索和弦線中橫波波速為 t T u h

3、 = T為繩索或弦線中張力; 為質(zhì)量線密度 縱波波速為 波線上相鄰的兩同相點間的距離 A B C D E F G 一個完整的波通過波線上某一點所需要的時間 2.波長 3.周期 T T u 波的周期=振動周期 頻率單位時間內(nèi)質(zhì)點振動的次數(shù) T 1 X Y O u P x 假設O 點的振動方程為 )cos( 0 tAy 某一振動狀態(tài)從O 點 傳播到 P點的時間為 x t u D= ()() PO ttP tO yt t yt +D +D = 時刻 點的振動狀態(tài) 時刻 點的振動狀態(tài) )()( ttyty OttPt OP 點的振動狀態(tài)時刻點的振動狀態(tài)時刻 一. 平面簡諧波的表達式(波函數(shù)) 6-2

4、平面簡諧波的描述 （1）沿+ 方向傳播的平面簡諧波( u , ) 假設: 媒質(zhì)無吸收(質(zhì)元振幅均為 A) (,)yyxt= )(cos )()( u x tA ttytyy OP )(cos )()( u x tAy ttyty OP （2）沿- 方向傳播的平面簡諧波( u , ) 沿 X軸負方向傳播時， p點的相位超前 o點的相位 cos ( ) x yA t u wj= + u x u x 21 xx u w - X Y O u P x t將 換成 即可得 x t u 二、物理意義 x一定 （ x=x 0 )時 0 cos ( ) x yA t u wf=-+ 波的表達式為該點的振動方程

5、t一定 （ t=t 0 )時 0 cos ( ) x yA t u wf=-+ O Y t O Y X A x、 t都變 反映了波是振動狀態(tài)的傳播 cos ( ) x yA t u wf=-+ X Y O u 1 x 2 x 1 t 2 t 11 (,) cos( ) x yxt A t u wf=-+ 22 (, ) cos( ) x yxt A t u wf=-+ 22 11 (,) (,)y xt y xt= 21 21 ()xxutt-= - x utD=D 例 1：如圖一平面波以u 沿 x軸反方向傳播，已知 求（ 1）波動方程；（ 2） P點振動方程。 cos( ) A yA twj

6、=+ u 比較 解 1： cos ( ) x yA t u wf=+ cos ( ) A a yA t u wf=+ cos( ) A yA twj=+ a u w fj=- 得： cos ( ) xa yA t u wj - =+ cos ( ) P ab yA t u wj + =-+ x b=- P點落后 A點相位： ab u fw + D= cos P ab yA t u ww j + =-+ 解 2： 先求出原點的振動方程 0 cos a yA t u ww j=-+ t再將 換成 即可得： x t u + cos ( ) xa yA t u wj - =+ 解 3： u B x B

7、點超前 A點相位： x a u fw - D= cos cos ( ) B xa xa yA t A t uu ww j w j - =+= + cos ( ) xa yA t u wj - =+ u 0點落后 A點相位： a u fwD= 已知某點的振動方程，求波動方程的幾種方法； 先求出原點的振動方程，再將t 換成 tx/u即可。 先寫出標準表達式 cos ( ) x yA t u wj= + 代入已知點，比較確定標準表達式中的 即可。 直接從已知點的振動相位傳播求出傳播方向任 一點的振動方程 -波動方程。 例 2：已知一平面簡諧波t=0.5s 時刻的波形如圖 ,該波以 12m/s 速度沿

8、 x軸負向傳播。求該波的波動方程。 u 解： 12 /ums= 48ml= 4Ts u l = / 2 rad s p w = 0 0.6cos( ) 2 yt p f=+ 0.3 0.6cos( ) 4 p f-= + 1 cos( ) 42 p f+=- 4 p f+= 3 2 3 4 2 0 43 v pp f+= 5 12 p f= 0 5 0.6cos( ) 212 yt pp =+ 5 0.6cos ( ) 21212 x yt pp =+ 6-4 疊加原理 波的干涉 一 . 波傳播的獨立性 媒質(zhì)中同時有幾列波時 , 每列波都將保持自己原有的特性( 傳 播方向、振動方向、頻率等),

9、 不受其它波的影響 。 二 . 波的疊加原理 在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中，某點的振動是 各列波 單獨 傳播 時在該點引起的振動的合成。 波的強度過大 非線性波 疊加原理不成立 相干條件： 相干波源 具有 恒定的相位差 振動方向相同 兩波源的波振幅相近或相等時干涉現(xiàn)象明顯。 具有 相同的頻率 三 . 波的干涉 波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱的分布 其振動表達式為： 11 1 cos( )yA twf=+ 22 2 cos( )yA twf 傳播到 P 點引起的振動為： 11 1 1 2 cos( ) p yA t r p wf l =+- 22 2 2 2 cos( ) p yA t

10、 r p wf l =+- 在 P 點的振動為同方向同頻率振動的合成。 1 r 2 r 1 S 2 S p 設有兩個相干波源 和 1 S 2 S 在P 點的合成振動為： 12 cos( )yyy A twf=+= + 222 12 12 2cosAAA AA f=+ D 其中： 由于波的強度正比于振幅平方，所以合振動的強度為： 12 12 2cosIII II j=+ D 21 21 2 ()()rr p fff l D= - - - 對空間不同的位置，都有恒定的 ，因而合強度 在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象。 1 r 2 r 1 S 2 S p 下面討論干涉現(xiàn)象中的強度分布： 干涉相長的

11、條件： 2 , 0,1,2,3,.kkjpD= = max 1 2 A AAA=+ max 1 2 1 2 2I III I=+ 干涉相消的條件： (2 1) , 0,1,2,3,.kkfpD= += min 1 2 |A AAA=- min 1 2 1 2 2I III I=+- 當兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為： 21 ,0,12,3.rr k kdl=-= = 21 (2 1) , 0,1,2,3,. 2 rr k k l d=-= += 稱 為波程差 相長干涉 相消干涉 21 21 2 ()()rr p fff l D= - - - 例題 ：位于 兩點的兩個波源，振幅相等， 頻率

12、都是100 赫茲，相差為 ，其 相距30米， 波速為 400米 /秒， BA, BA, BA, 求 : 連線上因相干涉而靜止的各點的位置。 解：如圖所示，取A 點為坐標原點，A 、 B聯(lián)線為X 軸 BA X x x30 O P B A X m30 O (1) 0 30 AB xrxr x=-=- 2 ()() BA BA rr p fff l D= - - - 14fpD=- 沒有因干涉而靜止的點 4 u ml n = 因為 ： B A X P m30 x30 O (2) 0 30 30 AB xrxrx = = - 22(30) 14 xx x pp fp pp ll - D=+ - =-

13、+ 0, 1, 2,.k = 2 15 0, 1, 2,. 7xk k=+ = B A X P x 30 x O (3) 30 30 AB xrxrx=- 16fpD= 沒有因干涉而靜止的點 因干涉而靜止的點 (2 1)k p=+ 設有兩列相干波，分別沿X軸正、負方向傳 播，選初相位均為零的表達式為： 1 2 cos( )yA t x p w l =- 2 2 cos( )y Atx p w l =+ 12 22 cos( ) cos( )yyy A t xA t x pp ww ll =+= - + + 駐波的表達式 其合成波稱為駐波其表達式： 6-5 駐波 一種特殊的干涉現(xiàn)象，它是兩列振幅

14、相同、頻率相同、振動方向 相同，而傳播方向相反的波疊加而成的。 2 2cos cosyA x t p w l = 利用三角函數(shù)關系求出駐波的表達式 ： 簡諧振動 簡諧振動的振幅 (, )(,)y ttxuty tx+D + D = 但是這一函數(shù)不滿足 所以它不是行波。 它表示各點都在作簡諧振動，各點振動的 頻率相同，是原來波的頻率。但各點振幅 隨位置的不同而不同。 振幅最大的點稱為波腹，對應于 2 |2 cos | 2A xA p l = 波腹的位置為： , 0,1,2,3,. 2 xk k l = 波節(jié)的位置為： (2 1), 0,1,2,3,. 4 xk k l =+ = 駐波的振幅 2

15、| 2cos | 0Ax p l = 振幅為零的點稱為波節(jié)，對應于 2 )12( 2 kx 即 的各點。 2 2cos cosy Axt p w l = 2 x k p p l = 的各點； 即 從上式得相鄰波腹間的距離為： /2x lD= 可得相鄰波節(jié)間的距離也為 2x lD= 波腹與波節(jié)間的距離為 4 因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。 2 2cos cosyA x t p w l = 駐波的相位 時間部分提供的相位對于所有的 x是相同的， 而空間變化帶來的相位是不同的。 44 x 內(nèi)， 2 2cos 0Ax p l ； 在 434xll 范圍內(nèi)， 2 2cos 0Ax p l * 在

16、波節(jié)兩側點的振動相位相反。同時達到反向 最大。速度方向相反。 是波節(jié)，在范圍如 4x l=考查波節(jié)兩邊的振動， 結論： * 兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同。 同時達到 最大或同時達到最小。速度方向相同。 半波損失 折射率較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì) ； 折射率較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì). 當波從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密 媒質(zhì)界面上反射時，有半波損失 ，形成的駐波在界面處是波節(jié)。 反之，當波從波密媒質(zhì)垂直入射 到波疏媒質(zhì)界面上反射時，無半 波損失，界面處出現(xiàn)波腹。 X Y O A m2 u P x 例：如圖一根長為 2m的細繩，一端固定在墻上 A點，另一端作 簡諧振動，振動規(guī)律 以 向前傳播。 0.5cos

17、(2 ) 2 yt p p=+ m.50 求（ 1）入射波和反射波的波動方程； （ 2）駐波方程； （ 3）波腹，波節(jié)的位置。 解（ 1） 15 0.5cos(2 ) 2 A A ytpp=- 入 入射波在 點振動方程為 0.5cos(2 2 ) 2 0.5cos(2 4 ) 2 x yt tx p pp l p pp =-+ =-+ 入 13 0.5cos(2 ) 2 A ytpp=- 反 由于反射點為波節(jié) 2 (2 )P Ax p l -反射波到 點相位落后于 點 213 0.5cos 2 (2 ) 2 29 0.5cos(2 4 ) 2 ytx tx p pp l pp p =- =+-

18、 反 （ 2） 2 2cos cosy Axt p w l = ? 15 2 0.5cos(4 )cos(2 7 ) 2 yy y x tpppp=+= - - 入 反 （ 3） 波腹的位置為： 波節(jié)的位置為： , 0,1,2,3,. 2 xk k l = ? (2 1), 0,1,2,3,. 4 xk k l =+ = ? X Y O A m2 u P x 波腹的位置為： 15 4 2 xkppp-= 215 0, 1, 7 8 k xk + =- 波節(jié)的位置為： 15 4(21) 22 xk p pp-=+ 8 0, 1, 8 4 k xk + =- 另解：與 A點相距 是波節(jié) 2 波節(jié)的位置為： 0.25 0,1,2 8xkk= 波腹的位置為： 0.125 0.25 0,1,2 7k=+ = 反射波表達式的確定： 正確把握入射波在反射時是否有相位 的突變是 求解反射波的波動方程的關鍵！基本步驟如下： 、先將反射點的坐標代入入射波方程，得到入射波在 反射點的振動方程； 、判斷入射波在反射過程中有無半波損失，求出反射 波在反射點的振動方程； 、寫出反射波在任意一點的振動方程，即為反射波表 達式。