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1、 7 向量應(yīng)用舉例 平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等， 是平面幾何中常見的問題，而這些問題都可以由 向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來 .因此，平面幾 何中的某些問題可以用向量方法來解決，但解決 問題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐 中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié) . 思考 1 用向量方法解決平面幾何問題的基本思 路是什么？ 幾何問題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系化 向量關(guān)系幾何化 . 探究點(diǎn) 1 點(diǎn)到直線的距離公式 倉(cāng)庫(kù) 鐵路 倉(cāng)庫(kù) l . M 點(diǎn)到直線的距離 l 一定是垂 線段喲 ！ l M . o x y : Ax+By+C=0 (x0,y0) 點(diǎn)到直
2、線的距離 已知點(diǎn) M(x0, y0)和直線 l:Ax+By+C=0. 則點(diǎn) M到直線 l 的距離 d為 : 00 22 A x B y C d AB 點(diǎn)到直線的距離公式 思考 2 如何借助向量的方法來證明點(diǎn)到直線的距離 公式？ . o x y M(x0,y0) P(x, y) n 00 M, P, : A B C 0 , B , A xy xy l x y v 是 直 線 外 一 定 點(diǎn) ， 是 直 線 上 任 意 一 點(diǎn) ， 由 直 線 可 以 取 它 的 方 向 向 量 =. 一 般 地 ， 稱 與 直 線 的 方 向 向 量 垂 直 的 向 量 為 該 直
3、 線 證 明 ： 的 法 向 量 . l l: Ax+By+C=0 0 2 2 2 2 00 0 ,. , :0 : n A B n n A B A B M x y l Ax By C P M n 于 是 ， 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 等 于 向 量 在 方 向 上 射 影 的 長(zhǎng) 度 . o x y M(x0,y0) P(x, y) n 0 0 0 2 2 2 2 00 00 2 2 2 2 ,, AB d P M n x x y y A B A B A x x B y y Ax By Ax By A B A B
4、 00 22 ,, . 又 因 為 為 上 任 意 一 點(diǎn) ， 所 以 故 P x y l c A x B y A x B y c d AB 1.在使用該公式前，需將直線方程化為一般式 2. A=0或 B=0，此公式也成立，但當(dāng) A=0且 B=0時(shí)一 般不用此公式計(jì)算距離 特別提醒 : 當(dāng) A=0或 B=0時(shí) ,直線方程為 y=y1或 x=x1的形式 . Q Q x y o x=x1 M(x0,y0) -01M Q y y -01MQ x x y o y=y1 (x0,y0) x M (x0,y1) (x1,y0) 例 求 點(diǎn) 到 直 線 ： 的 距 離 .1 1 2
5、 2 1 0P , l x y 00 22 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 5 21 1 2 5 由 點(diǎn) 到 直 線 的 距 離 公 式 ， 得 所 以 點(diǎn) 到 線 的 ： 直 離 為 解 距 x , y , A , B , C . d, P , l . 技巧方法 : 認(rèn)清公式的形式，找準(zhǔn)每一個(gè)變 量代表的數(shù)值，準(zhǔn)確代入，精確 計(jì)算 . P 0, 3 , 3x + 4y = 0. P - 2, 0 , 4x + 3y - 1 = 0. P 0, 0 , 4x + 7y = 37 . P - 1, - 2 , x + y = 0.
6、 P 2, 3 , x - 1 = 0. P 1, - 1 , y + 2 = 0. 求下列各點(diǎn)到相應(yīng)直線的距離 95 37 6565 322 1 1 課堂練習(xí) 125 探究點(diǎn) 2 幾何中的應(yīng)用舉例 例 2 如圖 ,已知 AD， BE， CF分別是 ABC的三條高， 求證： AD， BE， CF相交于同一點(diǎn) . 思路分析 解決此類問題一般是將相關(guān)的 線段用向量表示，利用向量的三角 形法則和平行四邊形法則，結(jié)合題 目中的已知條件進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié) 果，再翻譯成幾何語(yǔ)言 . C D E F B A H 兩 式 相 減 ， 得 ， 即 所 以 ， 又 所 以 ， ， 三
7、 點(diǎn) 共 線 ， 在 上 . CH CB CA CH AB , CH AB CH AB , CF AB , C H F H CF 0 0 : 設(shè) 交 于 點(diǎn) ， 以 下 只 需 證 明 點(diǎn) 在 上 . 因 為 所 以 又 ， 證 明 00 0 0 AD , BE H H CF AD BC , BE CA , AH CB , BH CA . CH CA CB CH CB CA CB , CH CB CA CH CA CB CA C D E F B A H 簡(jiǎn)述： 1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中 涉及的幾何元素，將
8、平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題 . 2.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距 離、夾角等問題 . 3.把運(yùn)算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成幾何元素 . 思考 3 根據(jù)例題你能總結(jié)一下利用向量法解決平 面幾何問題的基本思路嗎？ 用向量方法解決平面幾何問題的 “ 三步曲 ” ： 形到向量 向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形 思考 4 物理中力的合成與分解中體現(xiàn)了向量的哪種 運(yùn)算 ? 提示： 體現(xiàn)了向量的加減法的運(yùn)算 . 思考 5 在物體的運(yùn)動(dòng)過程中 ,是否力越大 ,做的功就 越多 ? 提示： 不一定 .力所做的功不僅取決于力的大小 ,還 和力與物體運(yùn)動(dòng)方向的夾角有關(guān)系 . 探究點(diǎn) 3 物理中的應(yīng)用舉例 例
9、 3 一架飛機(jī)從 A地向北偏西 60 的方向飛行 1 000km到達(dá) B地，然后向 C地飛行 .設(shè) C地恰好在 A 地的南偏西 60 ，并且 A， C兩地相距 2 000km，求 飛機(jī)從 B地到 C地的位移 . B A D C 60o 60o 西 南 東 北 分析 : 要求飛機(jī)從 B地到 C地的位 移，需要解決兩個(gè)問題： 利用解三角形的知識(shí)求線段 BC的 長(zhǎng)度 . 求 BC與基線的夾角 . 60 k m 60 k m 60 1 000 k m 1 30 90 2 3 si n 60 o oo oo o 設(shè) 在 東 西 基 線
10、 和 南 北 基 線 的 交 點(diǎn) 處 . 依 題 意 ， 的 方 向 是 北 偏 西 ， ； 的 方 向 是 南 偏 西 ， . 所 以 過 點(diǎn) 作 東 西 基 線 的 垂 線 ， 交 于 ， 則 為 正 三 角 形 . 所 以 解 ： ， . 所 以 . =2 000 A A B A B A C A C B A C . B A C D A B D B D C D C B D B C D B D A A B C B C A C 1 000 3 k m 3 k m 2 3 k m 30 o = , = 1 0 0 0 . 答 ： 飛 機(jī) 從 地 到 地 的 位 移 大 小 是 1000
11、 ， 方 向 是 南 偏 西 BC BC . 向量解決航空、航海問題方法： 1.按照題意正確作圖 . 2.分析圖形的邊角關(guān)系 . 3.利用平面幾何的知識(shí)求出答案 . 30 分析： 本題是向量在物理學(xué)中 “ 力學(xué) 問題 ” 上應(yīng)用的例子，可以清楚地看 出向量的直接作用，根據(jù)向量數(shù)量積 的幾何意義，可知對(duì)物體所做的功即 是表示力的向量和表示位移的向量的 數(shù)量積 . 例 4 已知力 與水平方向的夾角為 30 （斜向上）， 大小為 50 N，一個(gè)質(zhì)量為 8 kg的木塊受力 的作用在 動(dòng)摩擦因數(shù) =0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了 20 m.問力 和摩擦力 所做的功分別為多少？（ g=1
12、0 m/s2） F F F f F 1F 2F f G 1 8 0 2 5 0 0 2 1 1 N c o s 1 8 0 1 1 2 0 1 2 2 J 3 J J o 所 以 ， 摩 擦 力 的 大 小 為 因 此 答 和 所 做 的 功 分 別 是 500 和 -22 f f G F . . . f s f s . . F f . 1 1 3 5 0 2 0 5 0 0 3 J 2 1 5 0 2 5 N 2 o o 設(shè) 木 塊 的 位 移 為 ， 則 c o s 3 0 將
13、力 分 解 ， 它 在 鉛 垂 線 方 向 上 的 分 力 的 大 小 為 s i n 0 解 ： 3 s F s F s . FF F F , 向量解決物理問題方法： 1.將物理中的矢量用向量表示 . 2.找出向量與向量的夾角 . 3.利用向量的數(shù)量積計(jì)算功 . 1.證明直徑所對(duì)的圓周角是直角 . A B C O 如圖所示，已知 O， AB為直徑， C 為 O上任意一點(diǎn)，不與 AB重合 .求證 ACB=90 . a b 要證 ACB=90 ，只需證向 量 ，即 . A C C B 0A C C B 思路分析 證明： 設(shè) 則
14、， 由此可得： ,, AO O B a O C b,AC a b CB a b A C C B a b a b 22 22 0,a a b b a b r r 即 ， ACB=90 . 0A C C B 所 以 ,A C C B 1 2 5 0 0 m 1 0 k m h 2 k m h 2 一 條 河 的 兩 岸 平 行 ， 河 寬 ， 一 艘 船 從 出 發(fā) 航 行 到 河 的 正 對(duì) 岸 處 . 航 行 的 速 度 ， 水 流 的 速 度 ， 問 行 駛 航 程 最 短 時(shí) ， 所 用 的 時(shí) 間 是 多 少 ？ .
15、d A Bv / v / v v2 v1 A B 12 1 2 2 10 k m / h , 2 k m / h . 如 圖 ， 已 知 ， ， ， 求 v v v v v v v t 思路分析 0,2由 已 知 條 件 得解 :： vv 2212| | | | | | 9 6 (k m / h ) ,v v v 所 以 dt v 0 .5 6 0 3 .1 ( min) .|| 96 本題方法： 1.計(jì)算速度的合速度 . 2.計(jì)算時(shí)間必須使速度的方向和位 移的方向一致 . 答：行駛航程最短時(shí)，所用的時(shí)間是 3.1 min. 注意 :用該公式時(shí)應(yīng)先將直線方程化為一般式 . 1.點(diǎn)到直線的距離公式： ， 00 22 A x B y Cd AB 2.掌握用向量方法解決平面幾何問題的三個(gè)步驟： 簡(jiǎn)述： 形到向量 向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形
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