高中數(shù)學(xué)第三章 2_2 最大值、最小值問題 課件

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1、第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用2.2 最大值、最小值問題一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0及其附近有定義，如果及其附近有定義，如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就附近所有各點的函數(shù)值都大，我們就說說f(xf(x0 0)是函數(shù)的一個是函數(shù)的一個極大值極大值，記作，記作y y極大值極大值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是極大值點是極大值點。如果。如果f(xf(x0 0)的值比的值比x x0 0附近所有各點的函附近所有各點的函數(shù)值都小，我們就說數(shù)值都小，我們就說f(xf(x0 0)是函數(shù)的一個是函數(shù)的一個極小值極小值。記。記

2、作作y y極小值極小值=f(x=f(x0 0)，x x0 0是極小值點是極小值點。極大值與極小值。極大值與極小值統(tǒng)稱統(tǒng)稱為極值為極值.一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義知知 識識 回回 顧顧1 1、在定義中，取得極值的點稱為極值點，、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值極值點點是是自變量自變量(x)(x)的值，的值，極值極值指的是指的是函數(shù)值函數(shù)值(y)(y)。注意注意2 2、極值是一個、極值是一個局部局部概念，極值只是某個點的概念，極值只是某個點的函數(shù)值與它函數(shù)值與它附近點附近點的函數(shù)值比較是最大或最的函數(shù)值比較是最大或最小小,并并不意味不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最著它在函數(shù)的整個

3、的定義域內(nèi)最大或最小。大或最小。3 3、函數(shù)的、函數(shù)的極值不是唯極值不是唯一一的即一個的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個?；驑O小值可以不止一個。4 4、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)、極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系即一個函數(shù)的系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，極大值未必大于極小值，如下圖所示，如下圖所示，是極大值點，是極大值點，是極小值是極小值點，而點，而 1x4x41()()f xf x3.3.用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格間分成若干小開區(qū)間，并列成

4、表格.檢查檢查f f(x x)在在方程根左右的值的符號，求出極大值和極小值方程根左右的值的符號，求出極大值和極小值.二、二、求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的極值的步驟的極值的步驟:1.1.求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x);f(x);2.2.求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x為極值點為極值點.).)注意注意:如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)f(x)在在x x0 0處取得極值處取得極值,意味著意味著0 0)(x(xf f0 0反之不一定成立！反之不一定成立！如如y=xy=x3 3一一.最值的概念最值的概念(最大值與最小值最大值與最小值)新新 課課 講講 授授 如果在函數(shù)定義域如果在函數(shù)定義域I內(nèi)存在內(nèi)

5、存在x x0 0,使使得對任意的得對任意的xxI,總有總有f(x)f(xf(x)f(x0 0),),則稱則稱f(xf(x0 0)為函數(shù)為函數(shù)f(x)f(x)在定義域上的在定義域上的最大值最大值.最值是相對函數(shù)最值是相對函數(shù)定義域整體定義域整體而言的而言的.)(xfba,1.1.在定義域內(nèi)在定義域內(nèi),最值唯一最值唯一;極值不唯一極值不唯一;注意注意:2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.二二.如何求函數(shù)的最值如何求函數(shù)的最值?1.1.利用函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)的單調(diào)性;2.2.利用函數(shù)的圖象利用函數(shù)的圖象;3.3.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如如:求求y=2x+1y=2x+1在區(qū)間在

6、區(qū)間1,31,3上的最值上的最值.如如:求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在區(qū)間在區(qū)間1,31,3上的最值上的最值.2.2.將將y=f(x)y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)f(a)、f(b)f(b)比較，其中最大的一個為最大比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值值，最小的一個為最小值 1.1.求求f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b內(nèi)極值內(nèi)極值(極極大值或極小值大值或極小值)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上最值的步驟上最值的步驟:例例1 求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值與上的最大值與最小值最小值2425yxx2,2 解：

7、解：xxy443 0 y令令，有，有0443 xx，解得，解得1,0,1 x1345413y+00+02(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2x當(dāng)當(dāng)x 變化時，變化時，的變化情況如下表：的變化情況如下表：yy,從表上可知，最大值是從表上可知，最大值是13，最小值是，最小值是4y 練習(xí)練習(xí)1 1 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在區(qū)間在區(qū)間-1-1，44內(nèi)的最大值和最小值內(nèi)的最大值和最小值 解解:f(x)=2x-4f(x)=2x-4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x=2x=2x x-1-1（-1,2-1,2）2 2（

8、2 2，4 4）4 40 0+8 83-1 故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間-1-1，44內(nèi)的內(nèi)的最大最大值為值為8 8，最小值為，最小值為-1-1)(xf)(xf 6060解解:設(shè)箱底邊長為設(shè)箱底邊長為x cm，箱子容積為箱子容積為V=x2 h例例2 在邊長為在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，箱底邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？邊長為多少時，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱高則箱高260 xh 26032xx xxV =6

9、0 x3x/2令令V =0，得，得x=40,x=0(舍去舍去)得得V(40)=16000答：當(dāng)答：當(dāng)箱底邊長為箱底邊長為x=40時時,箱子容積最大，箱子容積最大，最大值為最大值為16000cm3)600(x;0()40,0(）時時，當(dāng)當(dāng)xVx.0()60,40(）時時，當(dāng)當(dāng)xVx。為為極極大大值值，且且為為最最大大值值)40(V例例3.已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價格價格p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量求產(chǎn)量q為何值為何值時時,利潤利潤L最大。最大。.8125qp 分析分析:利潤利潤L等于收入等于收入R減

10、去成本減去成本C,而收入而收入R等于產(chǎn)量乘價格等于產(chǎn)量乘價格.由此可得出由此可得出利潤利潤L與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利潤利潤2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的極值點求得唯一的極值點84q因為因為L只有一個極值點只有一個極值點,所以它是最大值所以它是最大值.答答:產(chǎn)量為產(chǎn)量為84時時,利潤利潤L最大最大.求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值求下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。2,2,2sin)()1(xxxf1

11、,5,1)()2(xxxf4,1,71862)()3(23xxxxf答 案最大值最大值 f(/2)=/2，最小值，最小值 f(/2)=/2最大值最大值 f(3/4)=5/4，最小值，最小值 f(5)=5+最大值最大值 f(1)=29，最小值，最小值 f(3)=61練習(xí)練習(xí)2：6求函數(shù)求函數(shù) 在在 內(nèi)的極值；內(nèi)的極值；)(xf),(ba1.求求 在在 上的最大值與最小值的步驟上的最大值與最小值的步驟:)(xf,ba求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間端點在區(qū)間端點 的值；的值；)(xf)()(bfaf、將函數(shù)將函數(shù) 在各極值與在各極值與 比較，其中最大的一比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值個是最大值，最小的一個是最小值)(xf)()(bfaf、小結(jié)小結(jié)2 2.求函數(shù)最值的一般方法：求函數(shù)最值的一般方法：.是利用函數(shù)性質(zhì)；是利用函數(shù)性質(zhì)；.是利用不等式；是利用不等式；.是利用導(dǎo)數(shù)是利用導(dǎo)數(shù)