第8講 立體幾何中的向量方法(二)

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1、 第8講　立體幾何中的向量方法(二) 【2013年高考會(huì)這樣考】 考查用向量方法求異面直線所成的角，直線與平面所成的角、二面角的大?。? 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)中要掌握空間角的類型及各自的范圍，掌握求空間角的向量方法，特別注意兩平面法向量的夾角與二面角的關(guān)系． 基礎(chǔ)梳理 1．空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖，已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b.則把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)． (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角

2、是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角． (3)二面角的平面角 如圖在二面角α-l-β的棱上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則∠AOB叫做二面角的平面角． 2．空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①，AB、CD是二面角α-l-β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則

3、二面角的大小θ＝〈，〉． (ⅱ)如圖②③，n1，n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 三種成角 (1)異面直線所成的角的范圍是； (2)直線與平面所成角的范圍是； (3)二面角的范圍是[0，π]． 易誤警示 利用平面的法向量求二面角的大小時(shí)，當(dāng)求出兩半平面α、β的法向量n1，n2時(shí)，要根據(jù)向量坐標(biāo)在圖形中觀察法向量的方向，從而確定二面角與向量n1，n2的夾角是相等，還是互補(bǔ)，這是利用向量求二面角的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)． 雙基自測(cè) 1．如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向

4、向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，這條斜線與平面所成的角是(　　)． A．90° B．30° C．45° D．60° 解析　∵cos〈a，b〉＝＝， 又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝60°. 答案　D 2．(人教A版教材習(xí)題改編)已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為(　　)． A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 解析　cos〈m，n〉＝＝＝， 即〈m，n〉＝45°，其補(bǔ)角為135°， ∴兩平面所成的二面角為45°或135°.

5、 答案　C 3．(2011·德州月考)已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－，則l與α所成的角為(　　)． A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　設(shè)l與α所成的角為θ， 則sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°. 答案　A 4．在如圖所示的正方體A1B1C1D1-ABCD中，E是C1D1的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC夾角的余弦值為(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DA＝1，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E.則＝(－1,1,0)，＝，若異面直線

6、DE與AC所成的角為θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. 答案　D 5．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E、F分別是棱AB、BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是________． 解析　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)AB＝BC＝AA1＝2， 則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1) 則＝(0，－1,1)，＝(2,0,2)， ∴·＝2， ∴cos〈，〉＝＝， ∴EF和BC1所成角為60°. 答案　60° 　 考向一　求異面直線所成的角 【例1】?(2011·上

7、海高考改編)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正四棱柱，高AA1＝2，求 (1)異面直線BD與AB1所成角的余弦值； (2)四面體AB1D1C的體積． [審題視點(diǎn)] 建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量法求解，注意角的范圍． 解　(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1-xyz，由已知條件： B(1,0,2)，D(0,1,2)， A(0,0,2)，B1(1,0,0)． 則＝(－1,1,0)， ＝(1,0，－2) 設(shè)異面直線BD與AB1所成角為θ， cos θ＝|cos〈，〉|＝. (2)VAB1D1C＝VABCDA1B1C1D1－4VCB1C1D1＝. 異面直線所

8、成角范圍是(0°，90°]，若異面直線a，b的方向向量為m，n，異面直線a，b所成角為θ，則cos θ＝|cos〈m，n〉|.解題過(guò)程是：(1)建系；(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；(3)表示向量；(4)計(jì)算． 【訓(xùn)練1】 (2011·全國(guó)高考)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為________． 解析　如圖建立直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)DA＝1，由已知條件 A(1,0,0)，E， B(1,1,0)，C(0,1,0)， ＝，＝(－1,0,0) 設(shè)異面直線AE與BC所成角為θ. cos θ＝|cos〈，〉|＝＝. 答案　 考向二　

9、利用向量求直線與平面所成的角 【例2】?如圖所示，已知點(diǎn)P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對(duì)角線BD′上，∠PDA＝60°. (1)求DP與CC′所成角的大小； (2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小． [審題視點(diǎn)] 轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角求解不易，故考慮用向量法求解，注意向量的夾角與直線與平面所成角的關(guān)系． 解　如圖所示，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連接BD，B′D′. 在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H. 設(shè)＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，即·＝||||cos〈，〉

10、， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝. (1)因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°. (2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0,1,0)． 因?yàn)閏os〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60°， 可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°. (1)異面直線的夾角與向量的夾角有所不同，應(yīng)注意思考它們的區(qū)別與聯(lián)系． (2)直線與平面的夾角可以轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角，由于向量方向的變化，所以要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系． 【訓(xùn)練2】 (2010·遼寧)已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上

11、一點(diǎn)，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)． (1)證明：CM⊥SN； (2)求SN與平面CMN所成角的大?。? 解：設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖． 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)， M，N， S. (1)證明：＝(1，－1，)，＝， 因?yàn)椤ぃ剑?＝0，所以CM⊥SN. (2)＝， 設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則 ∴ 取x＝2，得a＝(2,1，－2)．因?yàn)閨cos〈a，〉|＝＝， 所以SN與平面CMN所成角為45°. 考向三　利用向量求二面角 【例

12、3】?(2011·全國(guó)新課標(biāo))如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)證明：PA⊥BD； (2)若PD＝AD，求二面角A-PB-C的余弦值． [審題視點(diǎn)] 會(huì)判斷法向量的方向，找準(zhǔn)向量夾角與二面角是相等還是互補(bǔ)． (1)證明　因?yàn)椤螪AB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD. 從而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D. 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)解　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空

13、間直角坐標(biāo)系D-xyz，則 A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)． ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)． 設(shè)平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則 即 因此可取n＝(，1，)． 設(shè)平面PBC的法向量為m，則 可取m＝(0，－1，－)，則cos〈m，n〉＝＝－. 故二面角A-PB-C的余弦值為－. 求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角． 【訓(xùn)練3】 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形

14、，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)． (1)證明：PC⊥平面BEF； (2)求平面BEF與平面BAP夾角的大?。? (1)證明　如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四邊形ABCD是矩形， ∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2)． 又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E(0，，0)，F(xiàn)(1，，1)． ∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1,0,1)． ∴·＝－2＋4－2＝

15、0，·＝2＋0－2＝0. ∴⊥，⊥ ∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F， ∴PC⊥平面BEF. (2)解　由(1)知平面BEF的一個(gè)法向量n1＝＝(2,2，－2)，平面BAP的一個(gè)法向量n2＝＝(0,2，0)， ∴n1·n2＝8. 設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ， 則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝， ∴θ＝45°.∴平面BEF與平面BAP的夾角為45°. 閱卷報(bào)告12——對(duì)法向量夾角與二面角大小關(guān)系認(rèn)識(shí)不清導(dǎo)致失誤 【問(wèn)題診斷】 立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡(jiǎn)潔，但在利用平面的法向量求

16、二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量的夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)． 【防范措施】 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個(gè)指向內(nèi)另一個(gè)指向外則相等． 【示例】? (2011·遼寧)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)證明：平面PQC⊥平面DCQ； (2)求二面角Q -BP-C的余弦值． 實(shí)錄　如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. (1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0，2,0)． 則＝(1,1,0)

17、，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)． 所以·＝0，·＝0. 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.又DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ. 又PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ. 錯(cuò)因　如圖平面BPC，與平面BPQ的法向量分別為n＝(0,1,2)，m＝(1,1,1)，設(shè)二面角Q -BP-C的大小為θ，則θ≠〈m，n〉，θ＝π－〈m，n〉 (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，則 即 令y＝1，則n＝(0,1,2)． 同理，設(shè)m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)， 所以cos〈m，n〉＝. 故二面角Q -BP-C的余弦值為. 正解　(1)見實(shí)錄 (2)依題意有B(1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(－1,2，－1)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，則即 因此可取n＝(0，－1，－2)． 設(shè)m是平面PBQ的法向量，則 可取m＝(1,1,1)，所以cos〈m，n〉＝－. 故二面角QBPC的余弦值為－.