第5章剛體力學(xué)

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1、100 第5章 剛體力學(xué) 對于機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究，只局限于質(zhì)點(diǎn)的情況是很不夠的。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只代表物體的平動(dòng)。物體是有其形狀和大小的，它可以做平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)，甚至于做更為復(fù)雜性的運(yùn)動(dòng)；而且在運(yùn)動(dòng)中，物體的形狀也可能發(fā)生變化。在本章討論的剛體，考慮其形狀和大小，但是不考慮其形變，仍然是一個(gè)理想模型。 前四章我們介紹了力學(xué)的基本概念和原理，比如：質(zhì)點(diǎn)、位矢、位移、速度和加速度，牛頓定律、動(dòng)量和沖量、功和能等概念以及動(dòng)量、角動(dòng)量和能量守恒定律。在那里，這些概念和定理、定律是應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)，也用于質(zhì)點(diǎn)系。本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系——?jiǎng)傮w——所遵從的力學(xué)規(guī)律。這些規(guī)律實(shí)際上是前幾章的基本概

2、念和原理在剛體上的應(yīng)用。 本章重點(diǎn)討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這種簡單的情況。重要的概念有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、力矩、角速度和角動(dòng)量等，守恒定律同樣適用于包括剛體的系統(tǒng)。角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律在現(xiàn)代物理學(xué)和航天科技中有著特別重要的意義。 5.1剛體的基本運(yùn)動(dòng) 5.1.1 剛體 一般假定物體在任何情況下，形狀和大小都不發(fā)生變化，稱之為剛體。 5.1.2 剛體的平動(dòng) 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，連接剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的直線始終保持自身平行，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的平動(dòng)。 圖5.1-1 剛體的平動(dòng) 如圖5.1-1所示。剛體平動(dòng)時(shí)，剛體上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況完全相同，具有相同的位移、速度和加速度等。只要知道剛體

3、上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng)情況也就知道了。這樣剛體的平動(dòng)可以看成是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各個(gè)物理量和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的規(guī)律都適用于剛體的平動(dòng)。 5.1.3 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 如果在運(yùn)動(dòng)過程中，剛體上所有質(zhì)元都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)；該直線稱為轉(zhuǎn)軸，若轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)，則這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖5.1-2所示。 圖5.1-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 圓周軌道所在平面垂直轉(zhuǎn)軸，這平面稱為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；圓軌道的中心就是轉(zhuǎn)動(dòng)平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)O，稱為轉(zhuǎn)心。剛體上所有半徑（）不等、速度不同，但是各個(gè)在相同的時(shí)間間

4、隔內(nèi)都轉(zhuǎn)過了相同的角度，如圖5.1-2所示。 5.2剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的線速度、加速度一般是不同的，如圖5.2-1所示。但是，由于各質(zhì)元的相對位置保持不變，所以描述各質(zhì)元運(yùn)動(dòng)的角量，如角位移、角速度和角加速度都是一樣的。因此，描述剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，用角量較為方便。 5.2.1 基本角量 若用表示剛體在時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角位移，其角速度矢量為 圖5.2-1 ，其大小為， 圖5.2-1 它的方向規(guī)定為沿轉(zhuǎn)軸的方向，其指向由右手螺旋法則確定。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度實(shí)際上是其在轉(zhuǎn)軸方向上的分量。所以，可以簡化為標(biāo)量。即

5、 （5.2-1）， 角加速度為 （5.2-2） 離轉(zhuǎn)軸的距離為r的質(zhì)元的線速度和剛體的角速度的關(guān)系為： （5.2-3） 其加速度和剛體的角加速度的關(guān)系為： （5.2-4） （5.2-5） 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一種簡單的情況是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在這一轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，剛體的角加速度保持不變。以表示剛體在t=0時(shí)的角速度，以表示剛體在t時(shí)的角速度， 以表示剛

6、體在0到t時(shí)刻的角位移，類比勻速直線運(yùn)動(dòng)，可推導(dǎo)出相應(yīng)的公式： （5.2-6） （5.2-7）， （5.2-8）。 圖5.3 例5.2-1、 一條纜索繞過一定滑輪拉動(dòng)一升降機(jī)，如圖5.2-2所示?；啺霃?，如果升降機(jī)從靜止開始以加速度勻加速度上升，求： （1）、滑輪的角加速度； （2）、開始上升后，末滑輪的角加速度； （3）、在5秒內(nèi)滑輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)； （4）、開始上升后，末滑

7、輪邊緣上一點(diǎn)的加速度（假設(shè)纜索和滑輪之間不打滑）。 圖5.2-2 解：（1）由于升降機(jī)的加速度和輪緣上一點(diǎn)的切向加速度相等，根據(jù) ， ； （2）、 ， ； （3）、 ，，； （4）、如圖5.2-2所示，已知， 又 ， 故 這個(gè)加速度的方向與輪緣切線方向的夾角 。 5.2.2 力矩 為了改變剛體原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，必須對剛體施加作用力。外力對剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 的影響，不僅與作用力的大小有關(guān)，而且與力的方向和作用點(diǎn)的位置有關(guān)。例如，我們用同樣大小的力推開門時(shí)，當(dāng)作用點(diǎn)靠邊門軸不易把門打開；當(dāng)作用點(diǎn)遠(yuǎn)離門軸，門就容易推開。由此可以看

8、出，要改變剛體原來的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)就必須考慮作用力的大小、方向和作用點(diǎn)三要素。為此，我們引入力矩這一物理量。圖5.2-3 力矩的方向——右手螺旋法則 如圖5.2-3所示，設(shè)轉(zhuǎn)軸O垂直于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)平面，作用力和作用點(diǎn)的矢徑都在平面內(nèi)，力與矢徑的夾角為。顯然，力越大、力的作用點(diǎn)離O軸越遠(yuǎn)（即矢徑越大），且其夾角越接近于，力產(chǎn)生的效果就越顯著。因此，我們定義作用力對轉(zhuǎn)軸的力矩為 （5.2-9） 由5.2-9式可知力矩的大小為 （5.2-10） 令5.2-2式中，則d是轉(zhuǎn)軸O與作用力線間的垂直距離

9、，稱為力臂。 力矩方向用右手螺旋法則確定：伸出手掌，四指先指向矢徑方向，沿小于180度轉(zhuǎn)向作用力的方向，則拇指所指方向就是力矩的方向，如圖5.2-3所示。 力矩的方向用表示，它只有正和負(fù)兩個(gè)方向：剛體沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)方向?yàn)檎?，沿順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)方向?yàn)樨?fù)。當(dāng)剛體同時(shí)受到幾個(gè)力矩作用時(shí)，合力矩等于各個(gè)力矩的代數(shù)和。 5.2.圖5.3 3 轉(zhuǎn)動(dòng)定理 為了研究剛體的運(yùn)動(dòng)，我們可以將剛體無限的分解為無窮多的質(zhì)點(diǎn)，然后采用疊加原理進(jìn)行求和或者積分的手段，對整個(gè)剛體進(jìn)行研究。這樣，我們就可以將研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方法應(yīng)用于剛體力學(xué)的研究。 如圖5.2-4所示，剛體繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，以質(zhì)元為研究對象，其所受

10、外力為，內(nèi)力為，到定軸O的矢徑為；且與之夾角為，與之夾角為。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，該質(zhì)元做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑是；所受的切線方向力的大小為：， 1、應(yīng)用牛頓第二定律 兩邊同時(shí)乘以 2、應(yīng)用疊加原理求和圖5.2-4 ， 此式的物理意義是：等式的左邊為合外力矩和合內(nèi)力矩之和。 3、根據(jù)牛頓第三定律，內(nèi)力中的任何一對（比如質(zhì)元和）作用力和反作用力大小相等、方向相反，且在同一線上，所以每一對內(nèi)力的合力矩為零，則有 ，，上式轉(zhuǎn)化為 4、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理 因?yàn)榱? ，設(shè) （5.2-11） （5.2-11）

11、式定義為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 式，改寫為 （5.2-12） 嚴(yán)格地講，這個(gè)式子是矢量式， 即 它在Z軸上的投影為 。 （5.2-12）表明：剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其角加速度的乘積等于剛體所受外力的合外力矩，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理。 5.2.4 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理公式時(shí)，我們需要先求出剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，按（為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）的定義式計(jì)算。對于質(zhì)點(diǎn)連續(xù)分布的剛體，上述求和可以用定積分代替， 即 （5.2-1

12、3） 式中，r為剛體質(zhì)元dm到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義:由（5.2-11）可知，剛體對定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體中各質(zhì)元的質(zhì)量和它們各自離該軸的垂直距離的平方的乘積的總和，它的大小不僅與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，而且和質(zhì)量相對于軸的分別有關(guān)，其關(guān)系可概括如下 1、形狀、大小相同的均勻剛體總質(zhì)量越大，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大； 2、剛體總質(zhì)量相同，質(zhì)量分別離軸越遠(yuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越大； 3、同一剛體，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量分別就不同，而轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就不同。 在國際單位制中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為ML2，單位名稱是千克二次方米，符號為kg·m2。下面舉幾個(gè)計(jì)算剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的例子。 例5.2-2 求一質(zhì)量為，長度為L均

13、勻細(xì)棒相對于（）垂直于棒且通過棒的一端的軸和（）垂直于棒且通過中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解：這是一道“轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算”的問題，從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)——依題意作圖，如圖5.2-5所示。——選定研究對象（質(zhì)元 ） ——數(shù)理邏輯推理（微積分）——?dú)w納得出和討價(jià)結(jié)論。 1、 選定研究對象和坐標(biāo)系OXYZ（ρ為單位體積質(zhì)量）， 2、 從轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義出發(fā)， 解（）：； 解（）：利用（）的結(jié)果，將棒分為相等的兩段，每段的質(zhì)量為，長度為；每段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 圖5.2-5 根據(jù)疊加原理：； 例5.2-3、求質(zhì)量為，半徑為，厚度極薄的均勻圓環(huán)的

14、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心，如圖5.2-6（）所示。 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，又因?yàn)榄h(huán)上個(gè)質(zhì)元到軸的垂直距離為R，且都相等，所以 （b） 圖5.2-6 （a） 由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是可加的，所以一個(gè)質(zhì)量為，半徑為的薄圓筒對其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是。 例5.2-4、求質(zhì)量為，半徑為，厚度為的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。軸與圓盤平面垂直并通過其圓心，如圖5.2-6（）所示。 解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義式，又因?yàn)閳A盤可以認(rèn)為是由許多原環(huán)組成。取任一半徑為，寬為的薄圓環(huán)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， 式中為薄圓環(huán)的質(zhì)量，以表示圓盤的體密度， 則，所以， 。

15、5.2.5 轉(zhuǎn)動(dòng)定理的應(yīng)用 5.2-5、如圖5.2-7（）所示，一條輕質(zhì)繩繞過一只軸承光滑的定滑輪繩的兩端分別懸掛質(zhì)量為和的物體，且>。設(shè)滑輪的質(zhì)量為，半徑為，繩與論之間無相對滑動(dòng)。試求物體的加速度和繩中的張力？ 解題思路：這是一道剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的試題，根據(jù)已知條件，應(yīng)用牛頓定律和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理，可解此題。做圖，如圖5.2-8（）所示。 解題： 1、用隔離體法分別對物體進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓定律 對 （1） 因?yàn)槔K不可伸長，所以， 對 （2） 2、由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理

16、 （3） 3、 根據(jù)牛頓第三定律 （4） 4、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 （5） 5、數(shù)理邏輯推理——聯(lián)立（1）、（2）、（3）、（4）和（5）求解 （2）-（1） （6）圖5.2-7 （6）代入（3） ， 得到 ， 將代入（5） ， 將代入（1） ， 將代入（2） 。 所以 。 5

17、.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作用在剛體上某點(diǎn)的力做的功仍然用此力和受力作用的質(zhì)元位移的標(biāo)積來定義。但是，對于剛體這個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，在轉(zhuǎn)動(dòng)中做的功可以用一個(gè)特殊形式表示。 5.3.1力矩的功 圖5.3-1 如圖5.3-1所示，剛體的一個(gè)截面與其轉(zhuǎn)軸正交于O點(diǎn)，F(xiàn)為在此截面內(nèi)作用在剛體上P點(diǎn)的外力。當(dāng)剛體繞轉(zhuǎn)軸有角位移時(shí)，力F做的元功為 （5.3-1） 由于是力F沿方向的分量，因而垂直于的方向，所以就是力對轉(zhuǎn)軸的力矩M，因此有 （5

18、.3-2） 即力對轉(zhuǎn)動(dòng)剛體做的元功等于相應(yīng)的力矩和角位移的乘積。對于有限的角位移，力的功應(yīng)該用積分求得 （5.3-3） 上式稱為力矩的功，這就是里做的功在剛體轉(zhuǎn)動(dòng)中的特殊表示形式。 則力矩的功率為 （5.3-4） 5.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能 1、研究方法——以質(zhì)元Δmi為研究對象，質(zhì)元作圓周運(yùn)動(dòng)和應(yīng)用疊加原理進(jìn)行研究； 2、質(zhì)元的動(dòng)能 （5.3-5） （5.3-6） 式中，，為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則

19、 （5.3-7） 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能對比： 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 ，剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能；由此可以看出：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I是剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性大小的度量，類比：。 5.3.3 動(dòng)能定理 當(dāng)外力矩對剛體做功時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能發(fā)生變化。下面求力矩的功與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化之間的關(guān)系。將轉(zhuǎn)動(dòng)定理代入（5.3-2），得 當(dāng)角速度由變成時(shí)，外力矩對剛體做的功為 （5.3-8） 上式表明，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體所受外力矩所做的功等于剛轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理。

20、 例5.3-1、如圖5.3-2所示，一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R定滑輪上面繞有細(xì)繩。 繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此刻滑輪的角速度。 圖5.3-2 解：選取滑輪、物體和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng)，在質(zhì)量為m的物體下降的過程中，滑輪軸對滑輪的作用力（外力）的功為零（無位移）。因此，系統(tǒng)只有重力（保守力）做功，所以機(jī)械能守恒。 圖5.3-2 滑輪的重力勢能不變，可以不考慮；取物體的初始位置為零勢能點(diǎn)，則系統(tǒng)的初態(tài)的機(jī)械能為零，末態(tài)的機(jī)械能為： 機(jī)械能守恒：=0 將關(guān)系式 和 代入上式，可得： ， 滑輪的角

21、速度為 。 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 圖5.5-1所示，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)該具有角動(dòng)量L。當(dāng)剛體繞定軸以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它繞該軸角動(dòng)量為對Z軸角動(dòng)量表達(dá)為 （5.4-1） 說明：剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量對時(shí)間的變化率。（5.4-1）式和質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理公式（3.3-2） 類似，不同的是：前者中的M和L是對定軸說的，而后者中的M和L是對定點(diǎn)而言；可以證明式（5.4-1） 是（3.3-2）式沿定軸Z方向的分量式。在國際單位制中，角動(dòng)量L的單位是千克二次方米秒，符號為，其量綱為。 5.4.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的

22、角動(dòng)量定理 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，剛體對轉(zhuǎn)軸Z的角動(dòng)量L對時(shí)間的變化率，等于作用在剛體上所有外力對該軸的力矩之和，稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理。表達(dá)式為 （5.4-1） 其積分式為 （5.4-2） 5.4.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律 在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)， （5.5-3） 這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律，對該固定軸的角動(dòng)量矢量保持不變。 剛體的角動(dòng)量守恒在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中的一個(gè)重要的應(yīng)用是慣

23、性導(dǎo)航，所用的裝置叫回轉(zhuǎn)儀，也叫陀螺。它的核心部分是裝置在常平架上的一個(gè)質(zhì)量較大的轉(zhuǎn)子，如圖5.5-1（）所示。常平架是由套在一起分別具有豎直軸和水平軸的兩個(gè)圓環(huán)組成。轉(zhuǎn)子裝在內(nèi)環(huán)上，其軸與內(nèi)環(huán)的軸相互垂直。轉(zhuǎn)子精確地對稱于其轉(zhuǎn)軸的圓柱，各軸承均高度潤滑，這樣轉(zhuǎn)子就具有可以繞其自由轉(zhuǎn)動(dòng)的三個(gè)相互垂直的軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，不管常平架如何移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)子都不會(huì)受到任何力矩的作用。所以，一旦使轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動(dòng)起來，根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，它將保持其對稱軸在空間的指向不變。安裝在船、飛機(jī)、導(dǎo)彈或宇宙飛船上的這種回轉(zhuǎn)儀就能指出這些船或飛行器的航向相對空間某一定向的方向，從而起到導(dǎo)航的作用。在這種應(yīng)用中，往往用三個(gè)

24、這樣的回轉(zhuǎn)儀并使它們的轉(zhuǎn)軸相互垂直，從而提供一套絕對的笛卡爾直角坐標(biāo)系。我們可以想一下，這些轉(zhuǎn)子竟能在浩瀚的太空中認(rèn)準(zhǔn)一個(gè)確定的方向，并且使自己的轉(zhuǎn)軸始終保持指向它而不改變，多么不可思議的自然界！上述導(dǎo)航裝置出現(xiàn)不過一百年，但是，常平架在我國早就出現(xiàn)了，那是西漢（公元1世紀(jì)）丁緩設(shè)計(jì)制造的被中香爐，如圖5.5-1（b）所示。他用兩個(gè)套在 圖5.5-2 （a） （b） 圖5.5-1 一起的環(huán)形支架架住一個(gè)小香爐，香爐由于受到重力，總是懸著。不管支架如何轉(zhuǎn)動(dòng)，香爐總不會(huì)傾倒。遺憾的是：這種裝置只是用來被褥中取暖時(shí)的安全，而沒有得到任何在技術(shù)上的應(yīng)用。雖然如此，它也閃爍了我們祖先的智慧

25、的光輝。在日常生活中，角動(dòng)量守恒也有著廣泛的應(yīng)用。例如花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員和芭蕾舞蹈運(yùn)動(dòng)員繞通過重心的鉛直軸高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于外力（重力和水平圖5.5-3 面的支持力）對軸的力矩恒為零，因而表演者對旋轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。他們可以通過改變自身的姿態(tài)來改變對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而來調(diào)節(jié)自己的旋轉(zhuǎn)的角速度。又如跳水運(yùn)動(dòng)員在跳板上起跳時(shí)，總是向上伸直雙手臂，跳到空中時(shí)， 又將身體收縮，以減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來加快空翻速度；當(dāng)接近水面時(shí)，又身直雙手臂以減小角速度以便豎直進(jìn)入水中，如圖5.5-2所示。 圖5.5-2 · 例5.5-1、如圖5.5-3所示，長為L，質(zhì)量為的均勻細(xì)棒能繞一端在鉛直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，細(xì)棒靜

26、止于垂直位置?，F(xiàn)有一質(zhì)量為的子彈，以水平速度射入細(xì)棒下斷而不復(fù)出。求細(xì)棒和子彈開始一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的角速度？ 題意分析：由于子彈射入細(xì)棒的時(shí)間極為短促，我們可以近似地認(rèn)為：在這一過程中，細(xì)棒仍然靜止于垂直位置。因此，對于子彈和細(xì)棒所組成的系統(tǒng)（也就是研究對象）在子彈射入細(xì)棒的過程中，系統(tǒng)所受的合外力（重力和軸的支持力相等）對轉(zhuǎn)軸O的力矩都為零。根據(jù)角動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)對于O軸的角動(dòng)量守恒。 解題思路：根據(jù)上述的分析，對系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律，可解此題。 O 解：依題意可設(shè)和分別為系統(tǒng)開始的速度和角速度，且已知子彈和細(xì)棒對于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 圖5.5-3

27、 （1） （2） 根據(jù)角動(dòng)量守恒定律則有 當(dāng) = 0時(shí)， （3） 所以 （4） 數(shù)理邏輯推理 聯(lián)立（1）、（2）和（4）式,可得 。 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對比 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 速度 角速度 加速度 角加速度

28、 力 力矩 質(zhì)量 m 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I= 運(yùn)動(dòng)定律 轉(zhuǎn)動(dòng)定律 動(dòng)量、動(dòng)能 動(dòng)量、動(dòng)能 角動(dòng)量 角動(dòng)量 動(dòng)量定理 角動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒 ，=恒量 角動(dòng)量守恒 ，=恒量 動(dòng)能定理 動(dòng)能定理 思考題 5．1、如果一個(gè)剛體很大，它的重力勢能還能等于它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)的勢能嗎？ 5．2花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員想高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，

29、她先把一條腿和兩臂伸開，并用腳蹬冰使自己轉(zhuǎn)起來，然后她再收攏腿和臂，她的轉(zhuǎn)速就明顯地加快了，這利用可什么原理？ 5．3、宇航員懸立在飛船坐艙內(nèi)的空中時(shí)，不觸按艙壁，只能用右腳順時(shí)針劃圈，身體就會(huì)向左轉(zhuǎn)；當(dāng)兩臂伸直向后劃圈時(shí)，身體又會(huì)向前轉(zhuǎn)，這是為什么？ 習(xí)題 5．1 、求地球表面上緯度為λ的P點(diǎn)，相對于地心參考系的線速度和加速度的數(shù)值與方向。 5．2、一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞Z軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（沿Z軸正方向），設(shè)某時(shí)刻剛體上一點(diǎn)P的位失為，其單位為“”為速度單位，則該時(shí)刻P點(diǎn)的速度為： （A） （B） （C） （D）

30、 [ ] 5.3、有兩個(gè)力作用在一個(gè)有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上： （1）這兩個(gè)力都平行于軸作用時(shí)，它們對軸的合力矩一定是零； （2）這兩個(gè)力都垂直于軸作用時(shí)，它們對軸的合力矩可能是零； （3）當(dāng)這兩個(gè)力的合力為零時(shí)，它們對軸的合力矩也一定是零； （4）當(dāng)這兩個(gè)力對軸的合力矩為零時(shí)，它們的合力也一定是零。 在上述說法中， （A）只有（1）是正確的。 （B）（1）、（2）正確，（3）、（4）錯(cuò)誤。 （C）（1）、（2）、（3）都正確，（4）錯(cuò)誤。 （D）（1）、（2）、（3）、（4）都正確。 [

31、 ] 5．3、剛體角動(dòng)量守恒的充分而必要的條件是 (A) 剛體不受外力矩的作用． (B) 剛體所受合外力矩為零． (C) 剛體所受的合外力和合外力矩均為零 ． (D) 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度均保持不變． [ ] 5.4、幾個(gè)力同時(shí)作用在一個(gè)具有固定轉(zhuǎn)軸的剛體上，如果這幾個(gè)力的矢量和為零，則剛體 （A）、必然不會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)； （B）、轉(zhuǎn)速必然不變； （C）、轉(zhuǎn)速必然改變； （D）、轉(zhuǎn)速可能改變，

32、也可能不變。 5.5、一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖1所示，射來兩個(gè)質(zhì)量相同、速度的大小相同而方向相反，并在同一條直線上的子彈。子彈射入并且停留在圓盤內(nèi)，則子彈射入的瞬間，圓盤的角速度ω0 （A） 增大； （B）不變； （C）減小； （D）不能確定。 圖 5.1 5.6、一圓盤正繞垂直于盤面的水平光滑固定軸O以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。 兩個(gè)大小相同而方向相反，但是不在同一條直線上的力F，沿盤面同時(shí)作用在圓盤上，則圓盤的角速度ω （A）、必然增大； （

33、B）、必然減?。? （C）、不會(huì)改變； （D）、如果變化不能確定。 [ ] 5.7、有一半徑為R的水平圓轉(zhuǎn)臺，可繞過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。開始時(shí)，轉(zhuǎn)臺以角速度ω0轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)有一質(zhì)量為M的人站在轉(zhuǎn)臺中心，隨后人沿半徑向外跑去。當(dāng)人到達(dá)轉(zhuǎn)臺邊緣時(shí)，轉(zhuǎn)臺的角速度為 圖 5.2 （A）、； （B）、； （C）、； （D）、ω0。 [ ] 5.8、如圖3所示，有一個(gè)小塊物體，置于一個(gè)光滑水平桌面上。有一繩其一端連接此物體，

34、另一端穿過中心的小孔。該物體原以角速度ω在距孔為R的圓周上轉(zhuǎn)動(dòng)，今將繩從小孔緩慢往下拉，則物體 圖 5.3 （A）、動(dòng)能不變，動(dòng)量改變； （B）、動(dòng)能改變，動(dòng)量不變； （C）、角動(dòng)量不變，動(dòng)量不變； （D）、角動(dòng)量改變，動(dòng)量改變； [ ] 5.9、飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t=0時(shí)的角速度為ω0。此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)的過程，阻力矩M的大小與角速度的平方成反比，比例系數(shù)K（為大于零的常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，飛輪的角加速度β= ；從開始制動(dòng)到，所經(jīng)過的時(shí)間t= 。 圖 5.4 圖 5.5

35、 5.10、如圖4所示，P、Q、R和S是附于剛體輕質(zhì)細(xì)桿上的質(zhì)量分別為：4m、2m、2m、和m的四個(gè)質(zhì)點(diǎn)，且PQ=QR=RS=L，則系統(tǒng)對OOˊ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 。 5.11、如圖5所示，一質(zhì)量為M，半徑為R的薄圓盤，可繞通過其一直徑的光滑軸AAˊ轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。該圓盤從靜止開始在恒力矩M的作用下轉(zhuǎn)動(dòng)，t秒鐘后位于圓盤邊緣與軸AAˊ的垂直距離為R的B點(diǎn)的切線加速度at = ；法線加速度an= 。 5.12、一長為L的輕質(zhì)細(xì)桿，兩端分別固定質(zhì)量為M和2M的小球，此系統(tǒng)在豎直平面

36、內(nèi)可繞過其中心點(diǎn)O且與桿垂直的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，桿與水平成60o角，處于靜止?fàn)顟B(tài)，無初速度地釋放后，桿球系統(tǒng)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，桿與兩小球?yàn)橐粍傮w，繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J= 。釋放后當(dāng)桿轉(zhuǎn)到水平位置時(shí)，剛體受到的合外力矩M= ，角速度= 。 5.13、質(zhì)量分別為2m和m的兩物體（可視為質(zhì)點(diǎn)），用一長為的輕質(zhì)細(xì)桿相連，系統(tǒng)繞通過桿與桿垂直的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。已知O軸離質(zhì)量為2m物體的距離是/3 而質(zhì)量為m物體的線速度為V且與桿垂直，則該系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的大小為： 。 5．14、一可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪，在2

37、0N.m的總力矩作用下在10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到 ，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I= 。 5.15、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體 量度，其大小與剛體的 ，質(zhì)量分布 ，和 有關(guān)。 5.16、半徑為20cm的主動(dòng)輪，通過皮帶拖動(dòng)半徑為50cm的被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶與輪之間無相對滑動(dòng)，主動(dòng)輪從靜止開始作勻角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)，在4s內(nèi)被動(dòng)輪的角速度達(dá)到8，則主動(dòng)輪在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過了 圈。 5．17、繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪均勻地減速，t＝0時(shí)角速度為w 0＝5 rad / s，t＝20 s時(shí)角速度為w = 0.8w 0，則飛輪的角加

38、速度b ＝______________，t＝0到 t＝100 時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)過的角度q ＝___________________． 5.18、質(zhì)量為5kg的一桶水懸于繞在轆轤上的繩子下端， 轆轤可視為一質(zhì)量為10kg的圓柱體，桶從井口由靜止釋放， 求桶下落過程中的張力，轆轤繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，其中M和R分別為轆轤的質(zhì)量和半徑，摩擦忽略不計(jì)。 圖 5.6 5.19、飛輪對自身軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，初角速度為，若作用在飛輪上的阻力矩為常量，試求飛輪的角速度減到時(shí)所需的時(shí)間t以及在這一段時(shí)間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N；若（為常數(shù)），再解以上問題。 5.20、一均勻細(xì)桿可繞其一端（為桿長）

39、的水平軸O在垂直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的質(zhì)量為M，當(dāng)自由懸掛時(shí)，給它一個(gè)起始角速度，如桿恰能持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)而不擺動(dòng)（一切摩擦不計(jì)）。則 （A） （B） （C） （D） 圖 5.7 [ ] 圖 5.8 5.21、一靜止的均勻細(xì)棒，長為L，質(zhì)量M，可繞通過棒的端點(diǎn)且垂直于棒長的光滑軸O在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m，速率為的子彈在水平面內(nèi)恰與棒垂直的方向射入棒的自由端，設(shè)擊穿棒后子彈的速度為（），則此時(shí)棒的角速度為 （A） （B） （C） （D）。

40、 [ ] 5.22、在光滑的水平面上一根長的 圖 5.9 繩子，一端固定于O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量m=0.5kg的物體，開始時(shí)，物體位于位置A，OA間距離d=0.5m，繩子處于松馳狀態(tài)，現(xiàn)在使物體以初速度垂直于OA滑動(dòng)，如圖9， 設(shè)以后的運(yùn)動(dòng)中物體到達(dá)位置B

41、，此時(shí)物體速度的方向與繩垂直，則此時(shí)刻物體角動(dòng)量的大小 = ，物體的速度 ，= 。 5. 23、如圖10，已知滑輪的半徑為r，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù) 為k，問質(zhì)量為m的物體落下h 時(shí)的速率= 。 設(shè)開始時(shí)物體靜止且彈簧后無伸長。 圖 5.10 5．24、一水平圓盤繞通過圓心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，在其上方還有一個(gè)以角速度，繞同一豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，這圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，兩圓盤的平面平行，圓心都在豎直軸上，上盤的底面有銷釘，如使上盤落下，銷釘嵌入下盤，使兩盤合成一體。 （1）求兩盤合成一

42、體后系統(tǒng)的角速度的大小？ （2）第二個(gè)圓盤落下后，兩盤的總動(dòng)能改變了多少？ 5.25、在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為（1/2）R處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10，開始時(shí)盤載人相對地以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，如果此人垂直圓盤半徑相對于盤以速率沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向作圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓盤對中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，求：人沿 （1）、圓盤對地的角速度。 （2）、欲使圓盤對地靜止，沿著（1/2）R圓周對圓盤的速度的大小及方向？ 5.26、一個(gè)啞鈴由兩個(gè)質(zhì)量為m，半徑為R的鐵球和中間一根長為連桿組成，如右圖11所示。和鐵球的質(zhì)量相比，連桿的質(zhì)量可以忽略不計(jì)。求此啞鈴多

43、對于通過連桿中心并和它垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。它對于通過兩球的連心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又是多大？ 圖 5.11 圖 5.12 5.27、兩物體質(zhì)量分別為和，定滑輪的質(zhì)量為m，半徑為，可視為勻圓盤。已知與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)。求下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動(dòng)，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。 5.28、如圖13所示，長為L的均勻直棒質(zhì)量為M，上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質(zhì)量為m，以水平速度射入桿的懸點(diǎn)下距離為d處而不復(fù)出。求： （1）子彈剛停在桿中時(shí)桿的角速度多大？ （2）子彈沖入桿的過程中（經(jīng)歷時(shí)間Δt），桿的上端受軸的水平和豎直分力

44、各多大？ 圖 5.13 5．29、一飛輪以等角加速度2 rad /s2轉(zhuǎn)動(dòng)，在某時(shí)刻以后的5s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過了100 rad．若此飛輪是由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)的，問在上述的某時(shí)刻以前飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)了多少時(shí)間？ 5．30、已知一定軸轉(zhuǎn)動(dòng)體系，在各個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的角速度如下： ω＝ω0 ， 0≤t≤5 (SI)， ω＝ω0＋3t－15 5≤t≤8 (SI) ω＝ω1－3t＋24， t≥8 (SI) ， 式中，ω0＝18 rad /s (1) 求上述方程中的ω1．

45、 (2) 根據(jù)上述規(guī)律，求該體系在什么時(shí)刻角速度為零． 5．31、如圖14所示，一圓盤繞通過其中心且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸，以角速度w作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A、B、C三點(diǎn)與中心的距離均為r．試求圖示A點(diǎn)和B點(diǎn)以及A點(diǎn)和C點(diǎn)的速度之差和．如果該圓盤只是單純地平動(dòng)，則上述的速度之差應(yīng)該如何？ 圖 5.14 5．32、如圖15所示，一圓盤形工件K套裝在一根可轉(zhuǎn)動(dòng)的固定軸A上，它們的中心線互相重合，圓盤的內(nèi)外直徑分別為D和D1．該工件在外力矩作用下獲得角速度w 0，這時(shí)撤掉外力矩，工件在軸所受的阻力矩作用下最后停止轉(zhuǎn)動(dòng)，其間經(jīng)過了時(shí)間t．

46、試求軸所受的平均阻力．這里圓盤工件繞其中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m(D2＋) / 8，m為圓盤的質(zhì)量．軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量忽略不計(jì)． 圖 5.15 5．33、 一砂輪直徑為1 m質(zhì)量為50 kg，以 900 rev / min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)．撤去動(dòng)力后，一工件以 200 N的正壓力作用在輪邊緣上，使砂輪在11.8 s內(nèi)停止．求砂輪和工件間的摩擦系數(shù)．(砂輪軸的摩擦可忽略不計(jì)，砂輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為mR2，其中m和R分別為砂輪的質(zhì)量和半徑). 5．34、一剛體繞固定軸從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，角加速度為一常數(shù)．試證明該剛體中任一點(diǎn)的法向加速度和剛體的角位移成正比． 5．35、繞固定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體，

47、其上各點(diǎn)都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動(dòng)．試問剛體上任意一點(diǎn)是否有切向加速度？是否有法向加速度？切向加速度和法向加速度的大小是否變化？理由如何？ 5．36、一個(gè)剛體對某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為一質(zhì)點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？為什么？舉例說明你的結(jié)論。 5．37求一半徑R＝50 cm的飛輪對于通過其中心且與盤面垂直的固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩末端懸一質(zhì)量m1＝8 kg的重錘．讓重錘從高2 m處由靜止落下，測得下落時(shí)間t1＝16 s．再用另一質(zhì)量m2=4 kg的重錘做同樣測量，測得下落時(shí)間t2＝25 s．假定摩擦力矩是一個(gè)常量，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

48、量． 5．38、20N·m的恒力矩作用在有固定軸的轉(zhuǎn)輪上，在10 s內(nèi)該輪的轉(zhuǎn)速由零增大到100 rev / min．此時(shí)移去該力矩，轉(zhuǎn)輪因摩擦力矩的作用經(jīng)100 s而停止．試推算此轉(zhuǎn)輪對其固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．（假設(shè)摩擦力矩是一個(gè)常量） 圖 5.16 5．39、如圖16所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，設(shè)兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 J＝10 kg·m2 和 J＝20 kg·m2．開始時(shí)，A輪轉(zhuǎn)速為600 rev/min，B輪靜止．C為摩擦嚙合器，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可忽略不計(jì)．A、B分別與C的左、右兩個(gè)組件相連，當(dāng)C的左右組件嚙合時(shí)，B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速 相等為止．設(shè)軸光滑，

49、求： (1) 兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n； (2) 兩輪各自所受的沖量矩。 5.40、長度為l質(zhì)量為M的均勻直桿可繞通過桿上端的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初桿自然下垂．一質(zhì)量為m的泥團(tuán)在垂直于水平軸的平面內(nèi)以水平速度v0打在桿上并粘住．若要在打擊時(shí)軸不受水平力作用，試求泥團(tuán)應(yīng)打擊的位置．(這一位置稱為桿的打擊中心)。 圖 5.17 5.41、長為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞通過桿一端O的水平光滑固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，開始時(shí)桿豎直下垂，如圖所示．有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入桿上A點(diǎn)，并嵌在桿中，OA＝2l / 3，則子彈射入后瞬間桿的角速度w ＝____

50、_________。 圖 5.18 5.42、如圖19所示，鋼球A和B質(zhì)量相等，正被繩牽著以w0=4 rad/s的角速度繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二球與軸的距離都為r1=15 cm．現(xiàn)在把軸上 環(huán)C下移，使得兩球離軸的距離縮減為r2=5 cm．則鋼球的角速度w=___。 圖 5.20 5.43、空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0，環(huán)的圖 5.19 半徑為R，初始時(shí)環(huán)的角速度為w0．質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問小球滑到與環(huán)心O在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對于環(huán)的速度

51、各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑r<