1.1回歸分析的基本思想及其初步應用第3課時 教案

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1、 1.1回歸分析的基本思想及其初步應用第3課時 教案 1.1 回歸分析的基本思想及其初步（三） 【學情分析】： 教學對象是高二文科學生，學生已經(jīng)學會建立回歸模型的基本步驟，并有檢驗回歸方程的擬合精確度的方法，并能解決一些實際問題。兩個變量不呈線性關系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關系，通過探究使學生體會對回歸模型的選擇，非線性模型可以通過變換轉化為線性回歸模型，讓學生直觀的觀察、思考，借助于線性回歸模型研究呈非線性關系的兩個變量之間的關系，并通過回歸分析體會不同模型擬合數(shù)據(jù)的效果。 【教學目標】： （1）知識與技能： 了解回歸模型的選擇；進一步理解非線性模型通過變換轉

2、化為線性回歸模型；體會不同模型擬合數(shù)據(jù)的效果。 （2）過程與方法： 從實例出發(fā)，求出相應的回歸直線方程，從中也找出存在的不足，從而有進行回歸分析的必要性，通過學習相關指數(shù)，用相關指數(shù)來刻畫回歸的效果，進而歸納出回歸分析的一般步驟，并對具體問題進行回歸分析，用于解決實際問題。 （3）情感態(tài)度與價值觀： 任何事物都是相對的，但又有一定的規(guī)律性，我們只要從實際出發(fā)，不斷探求事物的內(nèi)在聯(lián)系，就會找出其中的規(guī)律性，形成解決實際問題的方法和能力。 【教學重點】： 1、加深體會有些非線性模型通過變換可以轉化為線性回歸模型； 2、了解在解決問題的過程中尋找更好的模型的方法。 【教學難點】：

3、 1、了解常用函數(shù)的圖像特點，選擇不同的模型建模； 2、通過比較相關指數(shù)對不同的模型進行比較。 【課前準備】： 課件 【教學過程設計】： 教學環(huán)節(jié) 教學活動 設計意圖 一、復習引入 問題一：你能回憶一下建立回歸模型的基本步驟？ 師：提出問題，引導學生回憶建立回歸模型的基本步驟（選變量、畫散點圖、選模型、估計參數(shù)、分析與預測） 生：回憶、敘述建立回歸模型的基本步驟 復習建立線性回歸模型的基本步驟 二、探究新知 問題二：觀察例2的圖1．1-6中的散點圖，紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的圖像特點：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加。這些點可以除了可以看作是落在指數(shù)函數(shù)模型

4、上，還可以認為它是落在什么函數(shù)的模型上？ 師：引導學生觀察散點圖的特點，并引導學生探究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x還可能是什么關系。（二次函數(shù)模型） 生：討論、回憶一些常見函數(shù)圖像的特點，判斷紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的可能關系 樣本點還可以看作是分布在二次函數(shù)曲線的周圍。 問題三：對模型是否有辦法求參數(shù)和的最小二乘估計？ 師：從簡單的模型入手，逐步引導學生思考把原來兩個變量的非線性關系轉化為另外兩個變量的線性關系 生：觀察模型，探究變換的方法并發(fā)表自己的意見。最后給出具體的方法。 令，建立與之間的線性回歸方程 問題四：經(jīng)過變換后這個模型都轉化為線性回歸模型，你如何得到這

5、幾個線性回歸模型的參數(shù)估計？ 師：提出問題，引導學生分組討論，啟發(fā)學生把原變量的觀測數(shù)據(jù)轉化為新變量的數(shù)據(jù)，然后讓學生給出每種線性回歸模型的參數(shù)估計。 生：以組為單位進行數(shù)據(jù)變換，求參數(shù)的最小二乘估計（可以用計算器） 解答過程如下： 令，，即 分析與之間的關系，通過畫散點圖（如下圖）， 可看到與的散點圖并不分布在一條直線的周圍，即不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線來擬合與之間的關系，這個結論還可以用殘差分析得到。 為比較兩個不同模型的殘差，需建立相應的回歸模型，讓學生用線性回歸模型擬合回歸方程。 所以 因為，即y關于x的二次回歸方程為。 問題五：指

6、數(shù)回歸模型與二次回歸模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關系？通過什么數(shù)據(jù)說明？ 師：提出問題，引導學生回憶評價線性回歸模型擬合好壞的標準（相關指數(shù)、殘差平方和），進一步引導學生探討如何進行不同模型的比較，介紹計算模型相關指導數(shù)和殘差平方和的方法，說明一般在參數(shù)個數(shù)一定的條件下，相關指數(shù)越大或殘差平方和越小說明模型擬合得越好。 生：討論，提出自己的想法，計算每個模型的相關指數(shù)，并進行模型的比較。 指數(shù)函數(shù)模型的相關指數(shù) 二次函數(shù)模型的相關指數(shù) 從相關指數(shù)的計算結果來看，指數(shù)函數(shù)模型的比二次函數(shù)模型的更接近于1，所以指數(shù)函數(shù)模型的回歸效果好。 再從殘差圖看：

7、 從圖中可看出指數(shù)函數(shù)模型的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀域中，所以指數(shù)函數(shù)模型擬合精度較二次函數(shù)模型的高。 通過學生自己動手計算感受，歸納判斷模型擬合效果的方法： ⑴可以通過變換后的散點圖觀察兩個新變量之間是否存在線性回歸方程； ⑵通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果。一般情況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果。殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好。 引導學生根據(jù)散點圖判斷兩個變量的關系，使學生了解不是任何兩個變量都一定是只有一種關系。

8、 讓學生知道有時因變量與自變量的非線性關系經(jīng)過變換后可以轉化為兩個新變量間的線性關系 使學生進一步體會把因變量與自變量的非線性關系經(jīng)過變換后轉化為另外兩個變量的線性關系的方法。 使學生熟悉線性回歸模型的參數(shù)估計的方法 得出紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的模型 引導學生嘗試進行不同模型的比較。 三、練習 某種書每冊的成本費y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下: x 1 2 3 5 10 20 30 50 100

9、 200 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 檢驗每冊書的成本費y與印刷冊數(shù)倒數(shù)之間是否具有線性相關關系，如有，求出y對x的回歸方程。 分析：本題是非線性回歸分析問題，不妨設變量，題意要求對與y作相關性檢驗，如果它們具有線性相關關系，就可以進一步求出y對的回歸直線方程，這時，再回代，就得到了y對x的回歸曲線方程。 解：首先作變量置換，題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的10對數(shù)據(jù)： u 1 0．5 0．33 0．2 0．1 0．05 0．03 0．02 0．01 0．005 y

10、10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 然后作相關性檢驗。 經(jīng)計算得，從而認為與y之間具有線性相關關系，由公式得，，所以， 最后回代，可得到y(tǒng)對x的回歸曲線方程 四、小結 1． 強調(diào)要借助散點圖的直觀性、聯(lián)想已學過的基本函數(shù)圖像、以及知識間的聯(lián)系，鼓勵學生在建模中大膽嘗試； 2． 用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟； 3． 殘差分析的步驟、作用。 4． 梳理本節(jié)書的知識結構 問題背景分析 線性相關系數(shù) 散點圖 兩個變量線性相關 兩個變量非線性相關 非線性回歸模型 線性回歸模

11、型 最小二乘法 殘差分析 相關指數(shù) 應用 讓學生整理解決本例的思路，鼓勵學生探究建立更好的模型。 練習與測試 1． 在兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（ A ） A．模型1的相關指數(shù)為 B．模型2的相關指數(shù)為 C．模型3的相關指數(shù)為 D．模型4的相關指數(shù)為 2． 已知兩個變量的回歸模型為，則樣本點的（1，4.4）的殘差是_____________________ 答案:0.4 3． 殘差平方和用數(shù)學符號表示為___________________，它代表了隨機誤差的效應；解釋變量的效應值稱為

12、回歸平方和，可以用相關指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是___________________。顯然，的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好。 答案:；。 4． 在研究硝酸納的可溶性程度時，對不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得觀測結果如下表所示： 溫度（） 0 10 20 50 70 溶解度（） 66．7 76．0 85．0 112．3 128．0 則由此得到的回歸直線的斜率是____________。 答案:0.8809 5． 已知線性相關的兩變量，的三個樣本點A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預測模型，則其相關指數(shù)________。 答案：，，，， ，， ，， 6． 已知線性相關的兩變量，的三個樣本點A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預測模型，則點C 的殘差是________。 答案：，，。 7． 若一組觀測值（x1，y1）、（x2，y2）、…、（xn，yn）之間滿足yi=bxi+a+ei (i=1、2. …n)若ei恒為0，則R2為 答案：1