（北京專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第一節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線的方程課件 文

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1、第一節(jié)直線的傾斜角與斜率、直線的方程總綱目錄教材研讀1.直線的傾斜角考點(diǎn)突破2.斜率公式3.兩條直線平行與垂直的判定考點(diǎn)二兩條直線的平行與垂直考點(diǎn)二兩條直線的平行與垂直考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率4.直線方程的五種形式考點(diǎn)三求直線方程考點(diǎn)三求直線方程考點(diǎn)四直線方程的綜合問(wèn)題考點(diǎn)四直線方程的綜合問(wèn)題1.直線的傾斜角直線的傾斜角(1)定義定義:當(dāng)直線l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l 向上方向向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角,當(dāng)直線l與x軸平行或重合平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0.(2)范圍范圍:直線l傾斜角的范圍是0,).教材研讀教材研讀2.斜率公式斜率公式(1)若直線l的傾斜

2、角90,則斜率k=tan .(2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k=.2121yyxx3.兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線l1、l2,若其斜率分別為k1、k2,則有l(wèi)1l2k1=k2.特別地,當(dāng)直線l1、l2不重合且斜率都不存在時(shí),l1與l2平行平行.(2)兩條直線垂直兩條直線垂直如果兩條直線l1、l2的斜率都存在,設(shè)為k1、k2,則有l(wèi)1l2 k1k2=-1.當(dāng)一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在時(shí),兩條直線互相垂直垂直.4.直線方程的五種形式直線方程的五種形式常見(jiàn)的直線系方程

3、常見(jiàn)的直線系方程(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)的直線系方程為A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),還可以表示為y-y0=k(x-x0)(斜率不存在時(shí)可設(shè)為x=x0).(2)平行于直線Ax+By+C=0的直線系方程為Ax+By+=0(C).(3)垂直于直線Ax+By+C=0的直線系方程為Bx-Ay+=0.(4)過(guò)兩條已知直線A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交點(diǎn)的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(不包括直線A2x+B2y+C2=0).1.(2015北京海淀期末)已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax-y+2=0,若l1l2,

4、則實(shí)數(shù)a的值是()A.0或-3 B.2或-1C.0 D.-3答案答案 A因?yàn)閘1l2,所以a(-1)=(a+2)a,即a2+3a=0,故a=0或a=-3,經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意.故選A.A2.(2015北京東城3月聯(lián)考)已知直線ax+y-1=0與直線x+ay-1=0互相垂直,則a=()A.1或-1 B.1 C.-1 D.0答案答案 D直線ax+y-1=0與直線x+ay-1=0互相垂直,1a+1a=0,即2a=0,a=0,故選D.D3.(2016北京房山一模)某市2015年前n個(gè)月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的總天數(shù)Sn與n之間的關(guān)系如圖所示.若前m個(gè)月的月平均空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)最多,則m的值為()A.7 B.9 C.

5、10 D.12C答案答案 C2015年前n個(gè)月空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的總天數(shù)Sn與n在題圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(n,Sn),則前n個(gè)月的月平均空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)即為直線OP的斜率.由題圖易得當(dāng)n=10時(shí),直線OP的斜率最大.故m=10.4.(2016北京東城期末)經(jīng)過(guò)圓x2+y2-2x+2y=0的圓心且與直線2x-y=0平行的直線方程是()A.2x-y-3=0 B.2x-y-1=0C.2x-y+3=0 D.x+2y+1=0答案答案 A由題意得所求直線的斜率為2,且直線過(guò)點(diǎn)(1,-1),所以直線的方程為y+1=2(x-1),即2x-y-3=0,故選A.A5.(2015北京海淀一模)對(duì)于A:x2+y2-2x=0,以點(diǎn)為

6、中點(diǎn)的弦所在的直線方程是 .1 1,2 2答案答案 y=x解析解析方程x2+y2-2x=0可化為(x-1)2+y2=1,易知圓心坐標(biāo)為(1,0),以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線與過(guò)圓心(1,0)和點(diǎn)的直線垂直,所以所求直線的斜率為-=1.所以所求直線方程為y-=x-,即y=x.1 1,2 21 1,2 21121021212y=x考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(1)直線xsin+y+2=0的傾斜角的范圍是()A.0,)B.C.D.(2)直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn),則直線l的斜率的取值范圍為 .0,43,4 0

7、,40,4,23答案答案(1)B(2)(-,-1,+)3解析解析(1)設(shè)直線的傾斜角為,則有tan=-sin,又sin-1,1,0,),所以0或.(2)如圖,kAP=1,kBP=-,直線l的斜率k(-,-1,+).434102 1300 133易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由直線斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時(shí),常借助正切函數(shù)y=tan x在和上的單調(diào)性求解.應(yīng)注意任何直線都有傾斜角,但不是所有直線都有斜率.當(dāng)傾斜角為時(shí),直線斜率不存在.0,2,22變式變式1-1若將本例(2)中的條件“P(1,0)”改為“P(-1,0)”,則直線l的斜率的取值范圍是什么?解析解析P

8、(-1,0),A(2,1),B(0,),kAP=,kBP=.如圖,可知直線l的斜率的取值范圍為.31 02(1)13300(1)31,331-2 (2017北京朝陽(yáng)二模)已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線l與曲線y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)AOB的面積最大時(shí),直線l的傾斜角為()A.150 B.135 C.120 D.3022xA答案答案 A如圖所示,曲線y=表示以O(shè)(0,0)為圓心,為半徑的上半圓.SAOB=|OA|OB|sinAOB=sinAOB.易得當(dāng)AOB的面積最大時(shí),OAOB,此時(shí)O到直線l的距離OQ=1.在RtPOQ中,可知OPQ=30,故直線l的傾斜角為150.故選A.22x

9、212考點(diǎn)二考點(diǎn)二兩條直線的平行與垂直兩條直線的平行與垂直典例典例2已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)當(dāng)l1l2時(shí),求a的值;(2)當(dāng)l1l2時(shí),求a的值.解析解析(1)當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時(shí),兩直線方程可化為l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1),由l1l2可得解得a=-1.綜上可知,a=-1.(2)當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不符合;當(dāng)a1時(shí),l1:y=-x-3,

10、l2:y=x-(a+1),2a11a1,213(1),aaa 2a11a由l1l2得=-1a=.2a11a23方法技巧方法技巧兩直線平行或垂直的判定方法(1)已知兩直線的斜率存在兩直線平行兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不相等;兩直線垂直兩直線的斜率之積為-1.(2)已知兩直線的斜率不存在若兩直線的斜率不存在,當(dāng)兩直線在x軸上的截距不相等時(shí),兩直線平行;否則兩直線重合.(3)已知兩直線的一般方程設(shè)直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C10;l1l2A1A2+B1B2=0.該方法可避免對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論.注意注

11、意當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí),不僅要考慮斜率存在的一般情況,還要考慮斜率不存在的特殊情況,同時(shí)還要注意x、y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.2-1 (2017北京昌平上學(xué)期期末)已知直線3x+(1-a)y+1=0與直線x-y+2=0平行,則a的值為()A.4 B.-4 C.2 D.-2答案答案 A直線x-y+2=0的斜率為1,因?yàn)閮蓷l直線平行,所以-=1,解得a=4.31aA2-2 (2016北京東城一模)已知直線ax+3y-1=0與直線3x-y+2=0互相垂直,則a=()A.-3 B.-1 C.1 D.3答案答案 C直線ax+3y-1=0可化為y=-x+,直線3x-y+2=0可化為y=3x+

12、2.兩直線互相垂直,-3=-1,a=1.3a133aC典例典例3(1)求過(guò)點(diǎn)A(1,3),斜率是直線y=-4x的斜率的的直線方程;(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-5,2),且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程;(3)求過(guò)A(2,1),B(m,3)兩點(diǎn)的直線l的方程.13考點(diǎn)三考點(diǎn)三求直線方程求直線方程解析解析(1)設(shè)所求直線的斜率為k,依題意k=-4=-.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3),因此所求直線方程為y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直線方程為+=1(a0),將(-5,2)代入所設(shè)方程,解得a=-,所以直線方程為x+2y+1=0;當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)所求直

13、線方程為y=kx(k0),則-5k=2,解得k=-,所以直線方程為y=-x,即2x+5y=0.故所求直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0.(3)當(dāng)m=2時(shí),直線l的方程為x=2;1343432xaya122525當(dāng)m2時(shí),直線l的方程為=,即2x-(m-2)y+m-6=0.將m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,所以直線l的方程為2x-(m-2)y+m-6=0.13 1y 22xm易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示(1)在求直線方程時(shí),應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.(2)對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情況;若采用截距

14、式,應(yīng)判斷截距是否為零).3-1根據(jù)所給條件求直線的方程:(1)直線過(guò)點(diǎn)(-4,0),傾斜角的正弦值為;(2)直線過(guò)點(diǎn)(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12;(3)直線過(guò)點(diǎn)(5,10),且原點(diǎn)到該直線的距離為5.1010解析解析(1)由題設(shè)知,該直線的斜率存在,故可采用點(diǎn)斜式.設(shè)傾斜角為,則sin=(00,b0),因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1),所以+=1.(1)+=12=,所以ab16,當(dāng)且僅當(dāng)a=8,b=2時(shí)等號(hào)成立,所以當(dāng)a=8,b=2時(shí),AOB的面積最小,此時(shí)直線l的方程為+=1,即x+4y-8=0.(2)因?yàn)?=1,a0,b0,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=5+9,

15、當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時(shí)等號(hào)成立,xayb4a1b4a1b4 1a b4ab8x2y4a1b41abab4ba所以當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),直線l的方程為x+2y-6=0.1.給定條件求直線方程的思路(1)考慮問(wèn)題的特殊情況,如斜率不存在的情況,截距等于零的情況.(2)在一般情況下準(zhǔn)確選定直線方程的形式,用待定系數(shù)法求出直線方程.(3)重視直線方程一般形式的應(yīng)用,因?yàn)樗哂袕V泛的適用性.方法技巧方法技巧2.與直線有關(guān)的最值問(wèn)題的解題思路(1)借助直線方程,用y表示x(或用x表示y).(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的函數(shù).(3)利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.4-1已知直線l:kx-

16、y+1+2k=0(kR).(1)證明:直線l過(guò)定點(diǎn);(2)若直線不經(jīng)過(guò)第四象限,求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A,交y軸正半軸于B,AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求S的最小值,并求此時(shí)直線l的方程.解析解析(1)證明:直線l的方程可化為k(x+2)+(1-y)=0,令解得無(wú)論k取何值,直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(-2,1).(2)直線方程可化為y=kx+1+2k,當(dāng)k0時(shí),要使直線不經(jīng)過(guò)第四象限,則必須有解得k0;當(dāng)k=0時(shí),直線為y=1,符合題意.綜上,k的取值范圍是k0.(3)依題意得A,B(0,1+2k),且解得k0.20,10,xy2,1,xy 0,120,kk12,0kk120,120,kkkS=|OA|OB|=|1+2k|=(22+4)=4,“=”成立的條件是4k=,此時(shí)k=,Smin=4,此時(shí)l的方程為x-2y+4=0.121212kk122(12)kk12144kk121k12