天津市佳春中學(xué)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 平面幾何的綜合

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1、平面幾何的綜合、一、選擇題1. （2012湖北鄂州3分）如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)A、B在以O(shè)為圓心的弧上，若OA=2，1=2，則扇形ODE的面積為【 】A.B.C.D.【答案】A?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算?！痉治觥咳鐖D，連接OBOA=OB=OC=AB=BC，AOB+BOC=120。又1=2，DOE=120。又OA=2，扇形ODE的面積為。故選A。2. （2012湖南岳陽3分）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切O于A、B兩點(diǎn)，CD切O于點(diǎn)E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對(duì)于下列結(jié)論：OD2=DECD；AD+BC=CD；O

2、D=OC；S梯形ABCD=CDOA；DOC=90，其中正確的是【 】A B C D【答案】A?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)。1052629【分析】如圖，連接OE，AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，DAO=DEO=OBC=90，DA=DE，CE=CB，ADBC。CD=DE+EC=AD+BC。結(jié)論正確。在RtADO和RtEDO中，OD=OD，DA=DE，RtADORtEDO（HL）AOD=EOD。同理RtCEORtCBO，EOC=BOC。又AOD+DOE+EOC+COB=180，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90。結(jié)論正確。DOC=DEO=90。又

3、EDO=ODC，EDOODC。，即OD2=DCDE。結(jié)論正確。而，結(jié)論錯(cuò)誤。由OD不一定等于OC，結(jié)論錯(cuò)誤。正確的選項(xiàng)有。故選A。3. （2012四川樂山3分）如圖，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：DFE是等腰直角三角形；四邊形CEDF不可能為正方形；四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；點(diǎn)C到線段EF的最大距離為其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線

4、定理，勾股定理?！痉治觥窟B接CD（如圖1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。ED=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90。DFE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，由三角形中位線定理，DE平行且等于BC。四邊形CEDF是平行四邊形。又E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，四邊形CEDF是菱形。又C=90，四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯(cuò)誤。 如圖2，分別過點(diǎn)D，作DMAC，DNBC，于點(diǎn)M，N， 由，知四邊形CMDN是正方形，DM=DN。 由，知DFE是等腰直角三角

5、形，DE=DF。 RtADERtCDF（HL）。 由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積。 四邊形CEDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。 故此結(jié)論錯(cuò)誤。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)， EF取最小值2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為。故此結(jié)論正確。故正確的有2個(gè)：。故選B。4. （2012四川廣元3分） 如圖，A，B是O上兩點(diǎn)，若四邊形ACBO是菱形，O的半徑為r，則點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為【 】A. B. C. r D. 2r【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉?/p>

6、析】如圖，連接AB，與OC交于點(diǎn)D， 四邊形ACBO為菱形，OA=OB=AC=BC，OCAB。又OA=OC=OB，AOC和BOC都為等邊三角形，AD=BD。在RtAOD中，OA=r，AOD=60，AD=OAsin60=。AB=2AD=。故選B。5. （2012遼寧錦州3分）下列說法正確的是【 】 A.同位角相等 B.梯形對(duì)角線相等C.等腰三角形兩腰上的高相等 D.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是正方形【答案】C?！究键c(diǎn)】同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)同位角、梯形、等腰三角形的性質(zhì)和正方形的判定逐一作出判斷： A.兩直線平行，被第三條直線所截，同位角才相等，說法錯(cuò)誤； B.

7、等腰梯形的對(duì)角線才相等，說法錯(cuò)誤； C.根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，兩腰上的高與底邊構(gòu)成的兩直角三角形全等（用AAS），從而得出等腰三角形兩腰上的高相等的結(jié)論 ，說法正確； D.對(duì)角線相等且垂直的四邊形是不一定是正方形，還要對(duì)角線互相平分，說法錯(cuò)誤。故選C。二、填空題1. （2012寧夏區(qū)3分）如圖,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相較于O,DEAC于E，EDCEDA=12，且AC=10，則DE的長度是 【答案】。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥克倪呅蜛BCD是矩形，ADC=90，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD= B

8、D=5。OC=OD，ODC=OCD。EDC：EDA=1：2，EDC+EDA=90，EDC=30，EDA=60。DEAC，DEC=90。DCE=90EDC=60。ODC=OCD=60。COD=60。DE= OD sin 60= 。2. （2012浙江、舟山嘉興5分）如圖，在RtABC中，ABC=90，BA=BC點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交GD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接DF給出以下四個(gè)結(jié)論：；點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；AF=AB；SABC=5SBDF，其中正確的結(jié)論序號(hào)是 【答案】?！究键c(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)。【分

9、析】在RtABC中，ABC=90，ABBC。又AGAB，AGBC。AFGCFB。BA=BC，。故正確。ABC=90，BGCD，DBE+BDE=BDE+BCD=90。DBE=BCD。AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，BD=AB=CB。又BG丄CD，DBE=BCD。在RtABG中，。，F(xiàn)G=FB。故錯(cuò)誤。AFGCFB，AF：CF=AG：BC=1：2。AF=AC。AC=AB，AF=AB。故正確。設(shè)BD= a，則AB=BC=2 a，BDF中BD邊上的高=。SABC=， SBDFSABC=6SBDF，故錯(cuò)誤。因此，正確的結(jié)論為。3. （2012浙江麗水、金華4分）如圖，在直角梯形ABCD中，A90，B120

10、，AD，AB6在底邊AB上取點(diǎn)E，在射線DC上取點(diǎn)F，使得DEF120(1)當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，線段DF的長度是 ；(2)若射線EF經(jīng)過點(diǎn)C，則AE的長是 【答案】6；2或5。【考點(diǎn)】直角梯形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形。【分析】(1)如圖1，過E點(diǎn)作EGDF，EGAD。E是AB的中點(diǎn)，AB6，DGAE3。DEG60（由三角函數(shù)定義可得）。DEF120，F(xiàn)EG60。tan60，解得，GF3。EGDF，DEGFEG，EG是DF的中垂線。DF2 GF6。(2)如圖2，過點(diǎn)B作BHDC，延長AB至點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CFAB于F，則BHAD。ABC120，ABCD，BCH60。CH，BC。設(shè)AEx，則

11、BE6x，在RtADE中，DE，在RtEFM中，EF，ABCD，EFDBEC。DEFB120，EDFBCE。，即，解得x2或5。4. （2012浙江寧波3分）如圖，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 【答案】?！究键c(diǎn)】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短。如圖，連接OE，

12、OF，過O點(diǎn)作OHEF，垂足為H。 在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為2。由圓周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1。由垂徑定理可知EF=2EH=。5. （2012湖北十堰3分）如圖，RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，以AC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE交半圓O于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為 cm2【答案】?！究键c(diǎn)】含30度角直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，扇形面積的計(jì)算?！痉治觥窟B

13、接OD，OF。RtABC中，ACB=90，B=30，AB=12cm，AC=AB=6cm，BAC=60。E是AB的中點(diǎn)，CE=AB=AE。ACE是等邊三角形。ECA=60。又OA=OD，AOD是等邊三角形。DOA=60。COD=120。同理，COF=60。DOA=COE=60。，AD=CF。與弦AD圍成的弓形的面積等于與弦CF圍成的弓形的面積相等。AC是直徑，CDA=90。又BAC=60，AC =6cm，。又OCD中CD邊上的高=,.又，。6. （2012四川宜賓3分）如圖，在O中，AB是直徑，點(diǎn)D是O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，弦CEAB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D的切線交EC的延長線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CF

14、、BC于點(diǎn)P、Q，連接AC給出下列結(jié)論：BAD=ABC；GP=GD；點(diǎn)P是ACQ的外心；APAD=CQCB其中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。【分析】如圖，連接BD， 點(diǎn)C是的中點(diǎn)，ABC =CBD，即ABD=2ABC。又AB為圓O的直徑，ADB=90。BADABD=900，即BAD2ABC =900。當(dāng)ABC =300時(shí)，BAD=ABC；當(dāng)ABC 300時(shí)，BADABC。BAD與ABC不一定相等。所以結(jié)論錯(cuò)誤。GD為圓O的切線，GDP=ABD。又AB為圓O的直徑，ADB=90。

15、CEAB，AFP=90。ADB=AFP。又PAF=BAD， ABD=APF。又APF=GPD，GDP=GPD。GP=GD。所以結(jié)論正確。直徑ABCE，A為的中點(diǎn)，即。又點(diǎn)C是的中點(diǎn)，。CAP=ACP。AP=CP。又AB為圓O的直徑，ACQ=90。PCQ=PQC。PC=PQ。AP=PQ，即P為RtACQ斜邊AQ的中點(diǎn)。P為RtACQ的外心。所以結(jié)論正確。如圖，連接CD，B=CAD。又ACQ=BCA，ACQBCA。，即AC2=CQCB。，ACP=ADC。又CAP=DAC，ACPADC。，即AC2=APAD。APAD=CQCB。所以結(jié)論正確。則正確的選項(xiàng)序號(hào)有。7. （2012山東日照4分）如圖1，

16、正方形OCDE的邊長為1，陰影部分的面積記作S1；如圖2，最大圓半徑r=1，陰影部分的面積記作S2，則S1 S2（用“”、“”或“=”填空）.【答案】。【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)，正方形和圓的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)的大小比較，【分析】結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)：圖1陰影部分的面積等于等于矩形ACDF的面積，圖2每個(gè)陰影部分正好是它所在的圓的四分之一，則陰影部分的面積大圓面積的四分之一。計(jì)算出結(jié)果后再比較S1與S2的大小即可：正方形OCDE的邊長為1，根據(jù)勾股定理得OD=， AO=。AC=AOCO= 1。大圓面積=r2=。 ，S1S2。三、解答題1. （2012北京市5分）已知：如圖，AB是O的直徑，C是O上一點(diǎn)，O

17、DBC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作O的切線，交OD 的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)BE（1）求證：BE與O相切；（2）連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F，若OB=9，求BF的長【答案】證明：（1）連接OC，ODBC，OC=OB，CD=BD（垂徑定理）。CDOBDO（HL）。COD=BOD。在OCE和OBE中，OC=OB，COE=BOE，OE=OE，OCEOBE（SAS）。OBE=OCE=90，即OBBE。BE與O相切。（2）過點(diǎn)D作DHAB，ODBC，ODHOBD，。又 ，OB=9，OD=6。OH=4，HB=5，DH=2。又ADHAFB，即，解得FB=。【考點(diǎn)】垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，相似三角形

18、的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。【分析】（1）連接OC，先證明OCEOBE，得出EBOB，從而可證得結(jié)論。（2）過點(diǎn)D作DHAB，根據(jù) ，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由ADHAFB，利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式即可解出BF的長。2. （2012陜西省12分）如圖，正三角形ABC的邊長為（1）如圖，正方形EFPN的頂點(diǎn)E、F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形的邊長；（3）如圖，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在邊AB上

19、，點(diǎn)P、N分別在邊CB、CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值及最小值，并說明理由【答案】解：（1）如圖，正方形即為所求。 （2）設(shè)正方形的邊長為x ABC為正三角形，。，即。 （3）如圖，連接NE，EP，PN，則。 設(shè)正方形DEMN和正方形EFPH的邊長分別為m、n（mn），它們的面積和為S，則，。 . 。 延長PH交ND于點(diǎn)G，則PGND。 在中，。 ，即. 。 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S最小。 。 當(dāng)最大時(shí)，S最大，即當(dāng)m最大且n最小時(shí)，S最大。 ，由（2）知，。 ?！究键c(diǎn)】位似變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用位似圖形的性質(zhì)，作出正方形EFPN的位似正方形EFP

20、N，如答圖所示。（2）根據(jù)正三角形、正方形、直角三角形相關(guān)線段之間的關(guān)系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的邊長 （3）設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長分別為m、n（mn），求得面積和的表達(dá)式為：，可見S的大小只與m、n的差有關(guān)：當(dāng)m=n時(shí)，S取得最小值；當(dāng)m最大而n最小時(shí)，S取得最大值m最大n最小的情形見第（1）（2）問。3. （2012廣東肇慶8分） 如圖，四邊形ABCD是矩形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，BEAC交DC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：BD=BE；（2）若DBC=30，BO=4，求四邊形ABED的面積.【答案】（1）證明：四邊形ABCD是矩形，AC

21、=BD，ABCD，BEAC，四邊形ABEC是平行四邊形。AC=BE。BD=BE。（2）解：在矩形ABCD中，BO=4，BD=2BO=24=8。DBC=30，CD=BD=8=4，BC=BDcosDBC=8。BD=BE，BCDE，CE=CD=4，DE=8四邊形ABED的面積=（AB+DE）BC=（4+8）?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】（1）根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形ABEC是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得AC=BE，從而得證。（2）根據(jù)矩形的對(duì)角線互相平分求出BD的長度，根據(jù)30角所

22、對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CD的長度，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出BC的長（或用勾股定理求），并根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出DE的長，最后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解。4. （2012廣東梅州8分）如圖，AC是O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E（1）求證：ADEBCE；（2）如果AD2=AEAC，求證：CD=CB【答案】證明：（1）A與B都是弧所對(duì)的圓周角， A=B， 又AED =BEC，ADEBCE。（2）AD2=AEAC，。又A=A，ADEACD。AED=ADC。又AC是O的直徑，ADC=90。AED=90。直徑ACBD，CD=CB?！究键c(diǎn)】圓周角定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，

23、線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)。【分析】（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得A=B，又由對(duì)頂角相等，可證得：ADEBCE。（2）由AD2=AEAC，可得，又由A是公共角，可證得ADEACD，又由AC是O的直徑，可求得ACBD，由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得CD=CB。5. （2012廣東肇慶10分）如圖，在ABC中，AB=AC，以AB為直徑的O交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P. 求證：（1）D是BC的中點(diǎn)；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】證明：（1）AB是O的直徑，ADB=90，即ADBC。AB=AC，D是BC的

24、中點(diǎn)。（2）AB是O的直徑，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD。【考點(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由AB是O的直徑，可得ADBC，又由AB=AC，由三線合一，即可證得D是BC的中點(diǎn)。（2）由AB是O的直徑，AEB=ADB=90，又由C是公共角，即可證得BECADC。（3）易證得ABDBCE與BPD

25、BCE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BC=2BD，即可證得ABCE=2DPAD。6. （2012浙江臺(tái)州12分）已知，如圖1，ABC中，BA=BC，D是平面內(nèi)不與A、B、C重合的任意一點(diǎn)，ABC=DBE，BD=BE（1）求證：ABDCBE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D是ABC的外接圓圓心時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形BDCE的形狀，并證明你的結(jié)論7. （2012浙江杭州12分）如圖，AE切O于點(diǎn)E，AT交O于點(diǎn)M，N，線段OE交AT于點(diǎn)C，OBAT于點(diǎn)B，已知EAT=30，AE=3，MN=2（1）求COB的度數(shù)；（2）求O的半徑R；（3）點(diǎn)F在O上（是劣?。褽F=5，把OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的

26、兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個(gè)？你能在其中找出另一個(gè)頂點(diǎn)在O上的三角形嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出這個(gè)三角形，并求出這個(gè)三角形與OBC的周長之比【答案】解：（1）AE切O于點(diǎn)E，AECE。又OBAT，AEC=CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC。又A=30，COB=A=30。（2）AE=3，A=30，在RtAEC中，tanA=tan30=，即EC=AEtan30=3。OBMN，B為MN的中點(diǎn)。又MN=2，MB=MN=。連接OM，在MOB中，OM=R，MB=，。在COB中，BOC=30，cosBOC=cos30=，BO=OC。 又OC+EC=OM=R，。整理得：R2

27、+18R115=0，即（R+23）（R5）=0，解得：R=23（舍去）或R=5。R=5。（3）在EF同一側(cè)，COB經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，這樣的三角形有6個(gè)，如圖，每小圖2個(gè)，頂點(diǎn)在圓上的三角形，如圖所示：延長EO交圓O于點(diǎn)D，連接DF，如圖所示，F(xiàn)DE即為所求。EF=5，直徑ED=10，可得出FDE=30，F(xiàn)D=5。則CEFD=5+10+5=15+5，由（2）可得CCOB=3+，CEFD：CCOB=（15+5）：（3+）=5：1?！究键c(diǎn)】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由AE與圓O相切

28、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AECE，又OBAT，可得出兩直角相等，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出AECOBC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出所求的角與A相等，由A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。（2）在RtAEC中，由AE及tanA的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OBMN，根據(jù)垂徑定理得到B為MN的中點(diǎn)，根據(jù)MN的長求出MB的長，在RtOBM中，由半徑OM=R，及MB的長，利用勾股定理表示出OB的長，在RtOBC中，由表示出OB及cos30的值，利用銳角三角函數(shù)定義表示出OC，用OEOC=EC列出關(guān)于R的方程，求出方程的解得到半徑R的值。（3）把OBC經(jīng)過平移、

29、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個(gè)頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E，F(xiàn)重合在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個(gè)。頂點(diǎn)在圓上的三角形，延長EO與圓交于點(diǎn)D，連接DF，F(xiàn)DE即為所求。根據(jù)ED為直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到FDE為直角三角形，由FDE為30，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出EFD的周長，再由（2）求出的OBC的三邊表示出BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比。8. （2012浙江湖州10分）已知，如圖，在梯形ABCD中，ADBC，DA=DC，以點(diǎn)D為圓心，DA長為半徑的D與AB相切于A，與BC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E（1）求證：四邊形ABED為矩形；（2）若AB=4， ，求

30、CF的長【答案】（1）證明：D與AB相切于點(diǎn)A，ABAD。ADBC，DEBC，DEAD。DAB=ADE=DEB=90。四邊形ABED為矩形。（2）解：四邊形ABED為矩形，DE=AB=4。DC=DA，點(diǎn)C在D上。D為圓心，DEBC，CF=2EC。，設(shè)AD=3k（k0）則BC=4k。BE=3k，EC=BCBE=4k3k=k，DC=AD=3k。由勾股定理得DE2EC2=DC2，即42k2=（3k）2，k2=2。k0，k=。CF=2EC=2。【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法，垂徑定理。【分析】（1）根據(jù)ADBC和AB切圓D于A，求出DAB=ADE=DEB=90，即可推出結(jié)論

31、。（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)求出AD=BE=AB=DE=4，根據(jù)垂徑定理求出CF=2CE，設(shè)AD=3k，則BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在DEC中由勾股定理得出一個(gè)關(guān)于k的方程，求出k的值，即可求出答案。9. （2012江蘇南京8分）如圖，在直角三角形ABC中，ABC=90，點(diǎn)D在BC的延長線上，且BD=AB，過B作BEAC，與BD的垂線DE交于點(diǎn)E，（1）求證：ABCBDE（2）三角形BDE可由三角形ABC旋轉(zhuǎn)得到，利用尺規(guī)作出旋轉(zhuǎn)中心O（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】（1）證明：在RtABC中，ABC=90，ABE+DBE=90。BEAC，ABE+A=90。A=DBE。D

32、E是BD的垂線，D=90。在ABC和BDE中， A=DBE ，AB=DB ，ABC=D，ABCBDE（ASA）。（2）如圖，點(diǎn)O就是所求的旋轉(zhuǎn)中心?！究键c(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定，作圖（旋轉(zhuǎn)變換），線段垂直平分線的性質(zhì)?！痉治觥浚?）利用已知得出A=DBE，從而利用ASA得出ABCBDE即可。（2）利用垂直平分線的性質(zhì)可以作出，或者利用正方形性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心也可。10. （2012江蘇揚(yáng)州10分）如圖，在四邊形ABCD中，ABBC，ABCCDA90，BEAD，垂足為E求證：BEDE【答案】證明：作CFBE，垂足為F，BEAD，AEB90。FEDDCFE90，CBEABE90，BAE

33、ABE90。BAECBF。四邊形EFCD為矩形。DECF。在BAE和CBF中，CBEBAE，BFCBEA90，ABBC，BAECBF（AAS）。BECF。又CFDE，BEDE。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)。【分析】作CFBE，垂足為F，得出矩形CFED，求出CBFA，根據(jù)AAS證BAECBF，推出BECF即可。11. （2012廣東河源7分）如圖，AC是O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E(1)求證：ADEBCE；(2)若AD2ACAE，求證：BCCD【答案】證明：（1）A與B都是弧所對(duì)的圓周角， A=B， 又AED =BEC，ADEBCE。（2）AD2=AEAC，。又A=A，AD

34、EACD。AED=ADC。又AC是O的直徑，ADC=90。AED=90。直徑ACBD，CD=CB。【考點(diǎn)】圓周角定理，對(duì)頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點(diǎn)的性質(zhì)?！痉治觥浚?）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，即可得A=B，又由對(duì)頂角相等，可證得：ADEBCE。（2）由AD2=AEAC，可得，又由A是公共角，可證得ADEACD，又由AC是O的直徑，可求得ACBD，由線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得CD=CB。12. （2012湖北隨州10分）如圖，已知直角梯形ABCD ,B=900。,ADBC,并且AD+BC=CD,O為AB的中點(diǎn). (1)求證

35、：以AB為直徑的O與斜腰CD相切； (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的長.【答案】解：（1）在CD上取中點(diǎn)F，連接OF， O為AB的中點(diǎn)，由梯形中位線可知OF=(AD+BC)，OFADBC。 又AD+BC=CD，OF=CD=CF。FOC=FCO。 又由OFBC得FOC=OCB，OCF=OCB。在CD上取點(diǎn)E，使DE=DA，則CE=CB。在OBC和OEC中，CE=CB，OCB=OCE，OC=OC，OBCOEC（SAS）。B=OEC，OE=OD。B=900, OEC=90。OECD。又O為AB的中點(diǎn)，OE=OD=OA為O的半徑。以AB為直徑的O與CD相切于E。（2）由（1）知，OF=

36、CF=DF，O點(diǎn)在以CD為直徑的F上。 COD=90。在RtCOD中，OD=6cm，OC=8cm，根據(jù)勾股定理得：?！究键c(diǎn)】直角梯形的性質(zhì)，梯形中位線定理，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理。【分析】（1）在CD上取中點(diǎn)F，連接OF，由已知，根據(jù)梯形中位線定理和平行的性質(zhì)，可由SAS得出OBCOEC，從而由B=900，證得OECD。由OE=OD=OA為O的半徑得出以AB為直徑的O與CD相切于E。（2）由（1）可知O點(diǎn)在以CD為直徑的F上，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到DOC為直角，在直角三角形COD中，由OD與OC的長，利用勾股定理即可求出CD的長。 1

37、3. （2012湖北武漢8分）在銳角ABC中，BC5，sinA(1)如圖1，求ABC外接圓的直徑；(2)如圖2，點(diǎn)I為ABC的內(nèi)心，BAB C，求AI的長?！敬鸢浮拷猓海?）作ABC的外接圓的直徑CD，連接BD。 則CBD=900，D=A。 。 BC5，。 ABC外接圓的直徑為。 （2）連接BI并延長交AC于點(diǎn)H，作IEAB于點(diǎn)E。 BA=BC，BHAC。IH=IE。 在RtABH中，BH=ABsinBDH=4，。 ， ，即。 IH=IE，。 在RtAIH中，。【考點(diǎn)】三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理。 【分析】（1）作AB

38、C的外接圓的直徑CD，連接BD，由直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)得CBD=900，由同圓中同弧所對(duì)圓周角相等得D=A，從而由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得ABC外接圓的直徑。 （2）連接BI并延長交AC于點(diǎn)H，作IEAB于點(diǎn)E，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定和性質(zhì)，知IH=IE。在RtABH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出BH=4和AH=3，從而由求得。在RtAIH中，應(yīng)用勾股定理求得AI的長。14. （2012湖北荊門10分）如圖所示為圓柱形大型儲(chǔ)油罐固定在U型槽上的橫截面圖已知圖中ABCD為等腰梯形（ABDC），支點(diǎn)A與B相距8m，罐底最低點(diǎn)到地面CD距離為1m設(shè)油罐橫截面圓心

39、為O，半徑為5m，D=56，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積（參考數(shù)據(jù)：sin530.8，tan561.5，3，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】解：如圖，連接AO、BO過點(diǎn)A作AEDC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ONDC于點(diǎn)N，ON交O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F則OFABOA=OB=5m，AB=8m，AF=BF=AB=4（m），AOB=2AOF，在RtAOF中，AOF=53，AOB=106。（m），由題意得：MN=1m，F(xiàn)N=OMOF+MN=3（m）。四邊形ABCD是等腰梯形，AEDC，F(xiàn)NAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE。在RtADE中，DE=2m，DC=12m。（m2）。答：U型槽的橫截面積約為20m2

40、?！究键c(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用，垂徑定理，勾股定理，等腰梯形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥窟B接AO、BO過點(diǎn)A作AEDC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作ONDC于點(diǎn)N，ON交O于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，則OFAB。根據(jù)垂徑定理求出AF，再在RtAOF中利用銳角三角函數(shù)的定義求出AOB，由勾股定理求出OF，根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形求出AE的長，再由即可得出結(jié)果。15. （2012湖北宜昌8分）如圖，ABC和ABD都是O的內(nèi)接三角形，圓心O在邊AB上，邊AD分別與BC，OC交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)（1）求證：OFBD；（2）若，且O的半徑R=6cm 求證：點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)； 求圖中陰影部分（弓形）的面積

41、【答案】（1）證明：OC為半徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，OCAD。AB為直徑，BDA=90，BDAD。OFBD。（2）證明：點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，OF=BD。FCBD，F(xiàn)CE=DBE。FEC=DEB，ECFEBD，F(xiàn)C=BD。FC=FO，即點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)。解：FC=FO，OCAD，AC=AO，又AO=CO，AOC為等邊三角形。根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，得AOC的高為。（cm2）。答：圖中陰影部分（弓形）的面積為cm2?！究键c(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算?！痉治觥浚?）由垂徑定理可知OCAD

42、，由圓周角定理可知BDAD，從而證明OFBD。 （2）由OFBD可證ECFEBD，利用相似比證明BD=2CF，再證OF為ABD的中位線，得出BD=2OF，即CF=OF，證明點(diǎn)F為線段OC的中點(diǎn)；根據(jù)S陰=S扇形AOCSAOC，求面積。16. （2012湖北黃岡8分）如圖，在ABC 中，BA=BC，以AB 為直徑作半圓O，交AC 于點(diǎn)D.連結(jié)DB，過點(diǎn)D 作DEBC，垂足為點(diǎn)E.（1）求證：DE 為O 的切線；（2）求證：DB2=ABBE.【答案】證明：（1）連接OD、BD，則ADB=90（圓周角定理），BA=BC，CD=AD（三線合一）。又AO=BO，OD是ABC的中位線。ODBC。DEB=9

43、0，ODE=90，即ODDE。DE為O的切線。（2）BED=BDC =900，EBD=DBC，BEDBDC，。又AB=BC，。BD2=ABBE?！究键c(diǎn)】切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理可得ADB=90，從而得出點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，判斷出OD是ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)得出ODE=90，這樣可判斷出結(jié)論。（2）根據(jù)題意可判斷BEDBDC，從而可得BD2=BCBE，將BC替換成AB即可得出結(jié)論。17. （2012湖北鄂州10分）如圖，梯形ABCD是等腰梯形，且ADBC，O是腰CD的中點(diǎn)，以CD

44、長為直徑作圓，交BC于E，過E作EHAB于H。 （1）求證：OEAB; （2）若EHCD，求證：AB是O的切線； （3）若BE=4BH，求的值?！敬鸢浮拷猓海?）證明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，B=C。OE=OC，OEC=C，B=OEC。OEAB。（2）證明：過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OGBC交AB于點(diǎn)G。AB=DC，B=C。OC=OE，OEC=C。OEC=B。OEGB。又EHAB，F(xiàn)OHE。四邊形OEHF是平行四邊形。OF=EH。又EH=CD，OF=CD，即OF是O的半徑。AB是O的切線。（3）連接DE。CD是直徑，DEC=90。DEC=EHB。又B=C，EHBDEC。BE=4

45、BH，設(shè)BH=k，則BE=4k，CD=2EH=2?！究键c(diǎn)】等腰梯形（三角形）的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】（1）判斷出B=OEC，根據(jù)同位角相等得出OEAB。（2）過點(diǎn)O作OFAB于點(diǎn)F，過點(diǎn)O作OGBC交AB于點(diǎn)G，證明OF是O的半徑即可。（3）求出EHBDEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理解答。 18. （2012湖南長沙8分）如圖，A，P，B，C是半徑為8的O上的四點(diǎn)，且滿足BAC=APC=60，（1）求證：ABC是等邊三角形；（2）求圓心O到BC的距離OD19. （2012湖南懷化10分）如圖，已知AB是O的

46、弦，OB=4，點(diǎn)C是弦AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CO并延長CO交O于點(diǎn)D，連接AD、DB.（1）當(dāng)=時(shí)，求的度數(shù)；（2）若AC=，求證ACDOCB.【答案】解：（1）連接OA，OA=OB=OD，=，OAB=OBC=30，OAD=ADC=18。DAB=DAOBAO=48。由圓周角定理得：DOB=2DAB=96。（2）證明：過O作OEAB于E，由垂徑定理得：AE=BE。在RtOEB中，OB=4，OBC=30，OE=OB=2。由勾股定理得：BE=AE，即AB=2AE=。AC=，BC=，即C、E兩點(diǎn)重合。DCAB。DCA=OCB=90。DC=ODOC=24=6，OC=2，AC=BC=。A

47、CDOCB（兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩三角形相似）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定?！痉治觥浚?）連接OA，根據(jù)OA=OB=OD，求出DAO、OAB的度數(shù)，求出DAB，根據(jù)圓周角定理求出即可。（2）過O作OEAB于E，根據(jù)垂徑定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出ACD=OCB=90，求出DC長得出 ，根據(jù)相似三角形的判定推出即可。20. （2012湖南衡陽8分）如圖，AB是O的直徑，動(dòng)弦CD垂直AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作直線BFCD交AD的延長線于點(diǎn)F，若AB=10cm（1）求證：BF是O的切線（2）若AD=8cm，求BE的長（3）若四邊

48、形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由【答案】解：（1）證明：CDAB，BFCD，BFAB。又AB是O的直徑，BF是O的切線。 （2）如圖1，連接BD。AB是O的直徑，ADB=90（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。又DEAB，ADEABD。AD2=AEAB。AD=8cm，AB=10cm，AE=6.4cm。BE=ABAE=3.6cm。（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。理由如下：連接BC。四邊形CBFD為平行四邊形，BCFD，即BCAD。BCD=ADC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。BCD=BAD，CAB=CDB，（同弧所對(duì)的圓周角相等），CAB+BAD

49、=CDB+ADC，即CAD=BDA，又BDA=90（直徑所對(duì)的圓周角是直角），CAD=BDA=90。CD是O的直徑，即點(diǎn)E與點(diǎn)O重合（或線段CD過圓心O）。在OBC和ODA中，OC=OD，COB=DOA=90，OB=OA，OBCODA（SAS）。BC=DA（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）。四邊形ACBD是平行四邊形（對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），ACB=90（直徑所對(duì)的圓周角是直角），AC=AD，四邊形ACBD是正方形?！究键c(diǎn)】平行的判定，切線的判定，圓周角定理，相似和全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的判定。【分析】（1）欲證明BF是O的切線，只需證明ABBF即可。（2）連接

50、BD，在直角三角形ABD中，利用ADEABD【學(xué)過投影定理的直接應(yīng)用】可以求得AE的長度，最后結(jié)合圖形知BE=ABAE。 （3）連接BC，四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行、平行線的性質(zhì)、圓周角定理以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以推知CAD=BDA=90，即CD是O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質(zhì)推知AC=BD，根據(jù)正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形。21. （2012湖南株洲8分）如圖，已知AD為O的直徑，B為AD延長線上一點(diǎn)，BC與O切于C點(diǎn)，A=30求證：（1）BD=CD；（2）AOCCDB【答案】證明：（1）AD為O的直徑，ACD=9

51、0。又A=30，OA=OC=OD，ACO=30，ODC=OCD=60。又BC與O切于C，OCB=90，BCD=30。B=30。BCD=B。BD=CD。 （2）A=ACO=BCD=B=30，AC=BC。在AOC和BDC中，A =B，AC=BC，ACO=BCD，AOCBDC（ASA）?！究键c(diǎn)】圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定。【分析】（1）由AD為O的直徑，根據(jù)直徑對(duì)的圓周角是直角，即可得ACD=90，又由A=30，OA=OC=OD，利用等邊對(duì)等角與三角形外角的性質(zhì)，即可求得ACO=30，ODC=OCD=60，又由BC與O切于C點(diǎn)，根據(jù)切線的性質(zhì)，

52、即可求得B=BCD=30，由等角對(duì)等邊，即可證得BD=CD。（2）由（1）可知A=ACO=BCD=B=30，即可得AC=BC，然后由ASA，即可證得AOCCDB。22. （2012四川瀘州7分）“五一”節(jié)期間，小明和同學(xué)一起到游樂場(chǎng)游玩。如圖為某游樂場(chǎng)大型摩天輪的示意圖，其半徑是20m，它勻速旋轉(zhuǎn)一周需要24分鐘，最底部點(diǎn)B離地面1m。小明乘坐的車廂經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)開始計(jì)時(shí)。(1)計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是多少？(2)的旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有多長時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中？【答案】解：（1）設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOB于點(diǎn)D，DA即為小明離地的高度，COD=，OD=OC

53、=20=10。DA=20101=11（m）。答：計(jì)時(shí)4分鐘后小明離地面的高度是11m。（2）設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí)，小明離地面高度為31m。作弦EFAO交AO的延長線于點(diǎn)H，連接OE，OF，此時(shí)EF離地面高度為HA。HA=31，OH=31120=10。OH=OE。HOE=60。FOE=120。每分鐘旋轉(zhuǎn)的角度為：，由點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到F所用的時(shí)間為：（分鐘）。答：在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，小明將有8分鐘的時(shí)間連續(xù)保持在離地面31m以上的空中?！究键c(diǎn)】圓的綜合題，垂徑定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥浚?）設(shè)4分鐘后小明到達(dá)點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CDOB于點(diǎn)D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間可以求得旋轉(zhuǎn)角COD，利用三角

54、函數(shù)即可求得OD的長，從而求解。（2）設(shè)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到E處時(shí)，小明離地面高度為31m。作弦EFAO交AO的延長線于點(diǎn)H，連接OE，OF，此時(shí)EF離地面高度為HA，在直角OEH中，利用三角函數(shù)求得HOE的度數(shù)，則EOF的度數(shù)即可求得，則旋轉(zhuǎn)的時(shí)間即可求得。23. （2012四川成都10分）如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于H，過CD延長線上一點(diǎn)E作O的切線交AB的延長線于F切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K （1）求證：KE=GE； （2）若=KDGE，試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說明理由； （3） 在（2）的條件下，若sinE=，AK=，求FG的長【答案】解：（1）證明：如答圖1，連接OG。EG為切線，KGE+OGA=90。CDAB，AKH+OAG=90。又OA=OG，OGA=OAG。KGE=AKH=GKE。KE=GE。（2）ACEF，理由