2013屆高三數學二輪復習熱點 專題二 高考中解答題的審題方法探究2 概率與統(tǒng)計問題 理

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1、"2013屆高三數學二輪復習熱點 專題二 高考中解答題的審題方法探究2 概率與統(tǒng)計問題 理 " 主要題型：(1)求等可能事件、相互獨立事件、獨立重復事件．一些由簡單事件構成的復雜事件的概率；(2)求離散型隨機變量的分布列、期望與方差；(3)求特殊分布的分布列、期望與方差；(4)求統(tǒng)計與概率的綜合問題． 【例3】? (2012·山東)現有甲、乙兩個靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分．該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射

2、手的總得分X的分布列及數學期望E(X)． [審題路線圖] 讀題、讀懂 ?把題中的事件分別用大寫字母B，C，D來表示，所求事件用A表示． ?把題中事件的概率用P(B)，P(C)，P(D)表示． ?弄清事件A與事件B，C，D之間的關系， ?由事件的獨立性和互斥性表示P(A)并求出， ?列出X的可能取值，并分析X取值對應的事件． ?分別求出X可能取值的概率， ?列出分布列， ?根據期望公式求E(X)． [規(guī)范解答](1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)

3、＝，P(C)＝P(D)＝，(1分) 由于A＝B＋C＋D， 根據事件的獨立性和互斥性得 P(A)＝P(B＋C＋D) ＝P(B＋C＋D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝××＋××＋××＝(4分) (2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5. 根據事件的獨立性和互斥性得 P(X＝0)＝P() ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝××＝. P(X＝1)＝P(B)＝P(B)P()P() ＝××＝. P(X＝2)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D) ＝××＋××＝， P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(B

4、C)＋P(BD) ＝××＋××＝， P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝.(10分) 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.(12分) 搶分秘訣,解答概率問題時，一般要將題設的事件用大寫字母來表示，而平時有的考生沒有表示，評分時沒有扣分，但我們在解題時仍要以嚴謹的過程答在卷面上，力求自己的答卷不處于“可扣分可不扣分”的爭議之處，這樣即使閱卷標準較為嚴格，也不會造成無謂的失分. 【例4】? (2010·天津)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里

5、裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同．每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎(每次游戲結束后將球放回原箱)． (1)求在1次游戲中， ①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率． (2)求在2次游戲中獲獎次數X的分布列及數學期望E(X)． [審題路線圖] 讀懂題意 ?在1次游戲中，摸出3個白球只能是在甲箱里摸2個白球，在乙箱中摸1個白球． ?由古典概型及排列、組合知識求概率． ?“獲獎”這一事件包括摸出2個白球和3個白球． ?由互斥事件求概率． ?利用獨立重復試驗模型求解． [規(guī)范解答](1)①設“在1次游

6、戲中摸出i個白球”為事件Ai(i＝0,1,2,3)， 則P(A3)＝·＝.(3分) ②設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B＝A2∪A3， 又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥， 所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(6分) (2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.(8分) P(X＝0)＝2＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝2＝. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P (11分) X的數學期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (13分) 搶分秘訣,本題以考生比較熟悉的實際問題為背景考查了考生利用概率知識分析、解決實際問題

7、的能力.第(1)問是將一個要求的事件分成若干個基本事件的“積”或“和”，再用概率加法或乘法公式即可解決問題；第(2)問是以獨立重復試驗為背景的分布列問題，利用特殊分布的知識求解. [押題3] 某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min. (1)求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率； (2)求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間ξ的分布列及期望． 解　(1)設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A.因為事件A等價于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為 P(A)＝××＝. (2)由題意可得，ξ可能取的值為0,2,4,6,8(單位：min)，事件“ξ＝2k”等價于事件“該學生在上學路上遇到k次紅燈”(k＝0,1,2,3,4)，所以 E(ξ＝2k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)， 即ξ的分布列是 ξ 0 2 4 6 8 P E以ξ的期望是 E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.