第3章 剛體力學(xué)

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1、第三章 剛體力學(xué) §3.0 引 1. 從定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能說(shuō)起： 先看怎樣求定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能： 對(duì)于剛體內(nèi)任一點(diǎn)，其動(dòng)能為 其中為各點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離(注意,這里不是代表各點(diǎn)的位矢的大小)。 對(duì)于整個(gè)剛體，其動(dòng)能為 其中，稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 2. 與平動(dòng)對(duì)比： 將剛才所求的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式與平動(dòng)動(dòng)能公式對(duì)比： 可見只要將換成，二者形式完全一樣。 受此啟發(fā)，做理論系統(tǒng)的對(duì)比：

2、 牛頓定律 轉(zhuǎn)動(dòng)定理 于是我們認(rèn)識(shí)到： “平動(dòng)質(zhì)量”=“平動(dòng)慣量”； “轉(zhuǎn)動(dòng)慣量”=“轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量”。 “力矩”=“轉(zhuǎn)動(dòng)力”。 “角速度”=“轉(zhuǎn)動(dòng)速度”。 “角動(dòng)量”=“轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量”。 “轉(zhuǎn)動(dòng)定理”=“轉(zhuǎn)動(dòng)的牛頓定律”。 動(dòng)量定理的微分形式: 角動(dòng)量定理

3、的微分形式: 動(dòng)量定理的積分形式: 角動(dòng)量定理的積分形式: 動(dòng)能定理的微分形式: 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的微分形式: 動(dòng)能定理的積分形式: 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理的積分形式: §3.1 剛體運(yùn)動(dòng)的分析 1、剛體定義： 剛體是一類特別的質(zhì)點(diǎn)系，其中任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的距離，恒定不變（哪怕受到力的作用）。 2. 描述剛體位置的獨(dú)立變量： 獨(dú)立變量又稱為自由度。 確定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在空間的位置，需3個(gè)獨(dú)立變量。如；或。 確定個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的剛體在空間的位置，似乎需個(gè)獨(dú)立變量。其實(shí)不然，因?yàn)閯傮w定義為其內(nèi)任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的距離恒定不變，因此每?jī)蓚€(gè)質(zhì)點(diǎn)間有一個(gè)約束

4、（可設(shè)想為一根不計(jì)質(zhì)量的剛桿）。不妨設(shè)想個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成一空間桁架：先用3根剛桿環(huán)連3個(gè)質(zhì)點(diǎn)。以后每增加1個(gè)質(zhì)點(diǎn)需3根剛桿，故所需剛桿總數(shù)為。再由“自由度=-獨(dú)立約束數(shù)”得：。 還可以把一般的剛體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)看作是平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的組合：在剛體中選取一點(diǎn)，然后通過(guò)點(diǎn)選取任一直線作為轉(zhuǎn)動(dòng)軸（轉(zhuǎn)動(dòng)軸的長(zhǎng)度并不是我們要考慮的，極短都行）。于是要確定點(diǎn)的位置，需要3個(gè)獨(dú)立變量（即坐標(biāo)）；要確定軸在空間的取向，又需要2個(gè)變量（即軸線的方向余弦，注意雖存在3個(gè)方向余弦，但3者是不互相獨(dú)立的，因?yàn)樗鼈兊钠椒胶偷扔?。所以只有選其中2個(gè)方向余弦才是獨(dú)立的）；要確定剛體繞軸轉(zhuǎn)了的角度，又需要一個(gè)變量。所以總共需要6個(gè)獨(dú)立變

5、量。 3. 描述剛體的常用坐標(biāo)系： 剛體上的固著坐標(biāo)系---即坐標(biāo)軸畫在剛體上，這是一種特殊的動(dòng)坐標(biāo)系。 4. 剛體運(yùn)動(dòng)分類： 上面已說(shuō)，對(duì)于一般的剛體運(yùn)動(dòng)需要6個(gè)獨(dú)立變量，但在某些條件限制下（也即存在約束，或說(shuō)已知一些獨(dú)立變量取了定值時(shí)），剛體運(yùn)動(dòng)可以少于6個(gè)獨(dú)立變量，分類如下： 平動(dòng) （自由度：3） 定軸轉(zhuǎn)動(dòng) （自由度：1） 平面運(yùn)動(dòng)（平面平行運(yùn)動(dòng)） （自由度：3） 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) （自由度：3） 一般運(yùn)動(dòng)：平動(dòng)+定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) （自由度：6） §3.2 角速度矢量 1. 剛體的角位移： 記為，其模，其方向在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上遵守右手螺旋法則。 有限角位移不遵守

6、平行四邊形加法的交換律，所以不屬于矢量。 無(wú)窮小角位移才是矢量。 線位移與角位移的關(guān)系： 2. 剛體的角速度矢量： 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的空間取向隨時(shí)間而變，其在每一時(shí)刻被稱為該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸。角速度矢量其方向就沿著該時(shí)刻的轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸，其大小則為。 線速度與角速度的關(guān)系： §3.3 歐拉角 1．歐拉角 2．歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)可看作是由自轉(zhuǎn)、章動(dòng)和進(jìn)動(dòng)三個(gè)獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)的合成，因此剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度可以表為自轉(zhuǎn)角速度、章動(dòng)角速度和進(jìn)動(dòng)角速度的合成： 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在靜止坐標(biāo)系中的表示： 剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度在固著坐標(biāo)系中

7、的表示： 此兩組方程即剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。 §3.4 剛體運(yùn)動(dòng)方程與平衡方程 1. 力系的簡(jiǎn)化： 1.1? 兩個(gè)等價(jià)的原理: ●平衡力不改變剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原理 　　實(shí)踐證明：剛體上施以一平衡力（等值反向且作用在同一直線上），剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。 ●力的可傳性原理 　　實(shí)踐證明：力可沿它的作用線向前或向后移動(dòng)，而剛體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不因力沿力的作用線前后移動(dòng)而變,亦即作用在剛體上的力產(chǎn)生的力學(xué)效果，僅由力的量值與作用線的地位與方向決定，而與力的作用點(diǎn)無(wú)關(guān)。這一結(jié)論叫力的可傳

8、性原理. [注]：一般而言，力對(duì)物體的作用效果取決于三要素：大小、方向、作用點(diǎn)。稱為力的三要素。但根據(jù)所討論的對(duì)象的不同，這些要素有所變動(dòng)。如對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言，其受力是不必談?wù)撟饔命c(diǎn)的自由矢量；但對(duì)剛體而言，所受的力是作用點(diǎn)有所限制（即把作用點(diǎn)改成作用線）的滑移矢量；而對(duì)變形體而言，就是必須講究作用點(diǎn)的定位矢量。 2.2 力系的簡(jiǎn)化: 　　依據(jù)上述兩條原理可以進(jìn)行力系的簡(jiǎn)化。 (1).共點(diǎn)力系的簡(jiǎn)化：采用平行四邊形法則，簡(jiǎn)化為一個(gè)合力。 (2).共面非平行力的簡(jiǎn)化：利用力的可傳性原理，將兩力沿力的作用線滑移匯集于一點(diǎn)，再用平行四邊形法則簡(jiǎn)化為一合力（見圖3.4.1）

9、(3).平行力的簡(jiǎn)化：（這時(shí)不能直接應(yīng)用平行四邊形法則） 其合力的值及方向就是按分力的指向求代數(shù)和且合力的方位平行于各分力。 其作用點(diǎn)求法之一就是按如圖3.4.2規(guī)則簡(jiǎn)化為一力矩 ， 由此確定力的作用點(diǎn)。 　　 力偶：等值反向的一對(duì)平行力（不在同一直線上）。 力偶臂：力偶的兩個(gè)力之間的垂直距離。 力偶矩：其大小是力偶臂與力偶中的其中任意一個(gè)力的大小的乘積，其方向符合右手螺旋法則。即。 力偶矩的特性：其合力的大小為0，但對(duì)任一點(diǎn)的合力矩不為0；力偶矩是自由矢量，故可看成作用于力偶面上的任一點(diǎn)。（注：前面我們指出，作用于剛體的力矢量是滑移矢量，但并不

10、是說(shuō)作用于剛體的一切矢量都是滑移矢量，如力偶矩就不是滑移矢量） P A P A (4).空間力系的簡(jiǎn)化： 　　 簡(jiǎn)化原理為： 即： 點(diǎn)上的力 點(diǎn)上的力 及 點(diǎn)上的由和組成的力偶矩 簡(jiǎn)化步驟為: ①確定力的簡(jiǎn)化中心，將力依次平移至力的作用點(diǎn)，然后按平行四邊形矢量合成,即（稱為主矢）。 　?、谠诤?jiǎn)化中心處依次畫出力 相應(yīng)的力偶矩 ，再由矢量合成平行四邊形法則，得到合力偶矩，即（稱為主矩）。 　　這樣就將力系簡(jiǎn)化為一主矩和主矢。（通常取質(zhì)心為簡(jiǎn)化中心） 　　 例：如圖3.4.3,將力系與簡(jiǎn)化為主矢和主矩。 　　簡(jiǎn)化步驟：選取

11、O為簡(jiǎn)化中心，則 　?、伲揭浦罯，再將， 合成得主矢 　?、谠贠點(diǎn)作的力矩，作的力矩 再將 ，合成，得到主矩。 總之，作用于剛體上的任意力系均可簡(jiǎn)化為一主矢和主矩。 2. 剛體運(yùn)動(dòng)微分方程 剛體是距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，由剛體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,有 （1） 同樣，由相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）定理，有 （2） （1）、（2）兩式即為剛體運(yùn)動(dòng)的基本方程。 　　此外，還有剛體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能定理（剛體中各點(diǎn)之間距離不變，內(nèi)

12、力作功為零）:剛體動(dòng)能的微分等于各外力所作元功之和，即 （3） 若為保守力系，則能得能量積分： 3. 剛體平衡方程 剛體的平衡條件是所受的主矢和主矩同時(shí)為零，即 若主矢，而主矩，則剛體有轉(zhuǎn)動(dòng)；若主矢，而主矩，則剛體有平動(dòng)。 　　應(yīng)用剛體的平衡條件解題，一般步驟為： 　　1 畫草圖，分析受力，選取坐標(biāo)系； 　　2、 寫出的分量形式； 　　3、 選取力矩的參考點(diǎn)，對(duì)該點(diǎn)取矩，寫出分量形式； 　　4、 解方程組，求出平衡條件。 §3.5 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （1）剛體的動(dòng)量矩(即角動(dòng)量) 　 設(shè)剛體在某一時(shí)刻以角

13、速度作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。取剛體中任一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為，速度為，定點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)的位矢為。 ●求剛體動(dòng)量矩（角動(dòng)量）的矢量表達(dá)式: 質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）為：； 整個(gè)剛體對(duì)定點(diǎn)的動(dòng)量矩（角動(dòng)量）為：。 （3.5.1） 因?yàn)?，所? 即 （3.5.2） （根據(jù)二重外積公式得） ●求剛體動(dòng)量矩（角動(dòng)量）分量表達(dá)式(并引出轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量概念): (3.5.2)式： 令 （3.5.5）

14、 （3.5.6） 、、分別稱為繞軸、軸、軸的軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；、、等稱為慣量積。 于是 （3.5.7a） 上式還可寫成矩陣形式 （3.5.7b） 若令 （注意是黑體字）稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量，它是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,則(3.5.7)式可寫成

15、 （3.5.7c） 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量）的每個(gè)元素（軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及慣量積）稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量的組元，也叫慣量系數(shù)。(3.5.7a)、(3.5.7b)、(3.5.7c)式就是剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量的三種形式。 （2）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 現(xiàn)在求剛體對(duì)定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能。 將（3.5.7）式代入上式得 (3.5.8) （3）轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能也可寫為

16、 (3.5.9) 式中為的位矢與角速度矢量的夾角，為到轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的垂直距離，（注意這里不是黑體字）稱為剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 回轉(zhuǎn)半徑： 　　設(shè)剛體繞軸S的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，若有一質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于剛體的質(zhì)量m，它到軸的距離K滿足:，則就稱為該剛體繞軸S的回轉(zhuǎn)半徑。由定義,有 。 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及回轉(zhuǎn)半徑的步驟： 　　一般步驟是： 　?、龠x取坐標(biāo)系和質(zhì)量元 　　②由公式和求出以及剛體的總質(zhì)量 　?、塾汕蟪? 　　計(jì)算的關(guān)鍵是確定和 平行軸定理： （其證明在普通物理

17、-力學(xué)中已講過(guò)） （4）慣量張量和慣量橢球 對(duì)質(zhì)量均勻分布（或按一定規(guī)律分布），且形狀規(guī)則的剛體，可把（3.5.5）和（3.5.6）兩式改寫為定積分形式（一般是重積分），即 （3.5.13） 及 （3.5.14） 以上是對(duì)三個(gè)特殊的軸(也是基本的軸)、、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和慣量積，而對(duì)于任一方向?yàn)榈霓D(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，則是 （3.5.15a） （注意這里不是黑體字，它是標(biāo)量。它與(3.5.9)式中定義的，即，是一致的）其中，，是任一轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸相對(duì)于坐標(biāo)軸的方向余弦。 該式

18、的證明只要將（3.5.8）和（3.5.9）聯(lián)立并考慮方向余弦概念 ，， 即可。 上式寫成矩陣形式即 （3.5.15b） ●因慣量系數(shù)都是點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，故若取用靜止坐標(biāo)系，那么剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，慣量系數(shù)也隨之而變。若選固連的動(dòng)坐標(biāo)系，則在固連坐標(biāo)中慣量系數(shù)都將是常數(shù)。（換言之，一般說(shuō)來(lái)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣中的各個(gè)元素是時(shí)間的函數(shù)，但若取固連坐標(biāo)系，則它們將是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量） 慣量橢球：定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，在轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸選一點(diǎn)，使（其中為剛體繞該轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)的軌跡呈一橢球，稱為慣量橢球。慣量橢球方程為

19、 （5）慣量主軸及其求法 慣量主軸：即慣量橢球的主軸。 主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)慣量主軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若以慣量主軸為坐標(biāo)系，則慣量橢球方程簡(jiǎn)化為（標(biāo)準(zhǔn)形式） 其中為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 與此相應(yīng)，此時(shí)剛體角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能分別簡(jiǎn)化為 【注】： 從線性代數(shù)知道，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，在這里也就是適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系，可以使實(shí)對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣。這在線性代數(shù)另一個(gè)角度看就是求本征值問(wèn)題，在解析幾何里就是求二次曲面主軸的問(wèn)題。對(duì)角化后的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量張量寫為 §3.6 剛體的平動(dòng)與繞固定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) （1）平動(dòng) 平動(dòng)：剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體中任一直線始終彼此平行。 平動(dòng)的性質(zhì)：

20、 ① 平動(dòng)時(shí)，剛體內(nèi)各點(diǎn)都有相同的速度和加速度； ② 自由度為3 （2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)： 　　（1）剛體中任一點(diǎn)都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)； 　?。?）各點(diǎn)的角位移，角速度，角加速度均相同，且方向都在轉(zhuǎn)軸上； 　?。?）自由度為1，用角位移能描述剛體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)： 剛體中任一點(diǎn)的線速度: (標(biāo)量形式為: 剛體中任一點(diǎn)的線加速度: 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)： 動(dòng)量矩定理： （因?yàn)榱顬槌Ａ浚? 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程：

21、 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能： （當(dāng)外力為保守力時(shí)） §3.7 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng) （1）平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)是指剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，任一點(diǎn)始終在平行于某一固定平面內(nèi)作運(yùn)動(dòng)，因此，只須研究任一和固定平面平行的平面運(yùn)動(dòng)就行，也就是說(shuō)，可用一薄片來(lái)表示剛體的運(yùn)動(dòng)。 　　剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的處理方法： 　　剛體平面平行運(yùn)動(dòng)可視為在剛體上取一點(diǎn)（稱為基點(diǎn)，而且常取質(zhì)心）的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種運(yùn)動(dòng)的合成。 　　 如圖3.7.1，選取固定坐標(biāo)系和動(dòng)系，其中動(dòng)系固定在剛體平面上并隨剛體一起運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)為基點(diǎn)，剛體繞過(guò)點(diǎn)，且

22、垂直于平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)（與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)不同，此處轉(zhuǎn)軸不固定，稱為瞬時(shí)軸），剛體中任一點(diǎn)在系位置矢量為 ，在動(dòng)系中位置矢量為，基點(diǎn)對(duì)定系的位矢為 ，滿足 （1） 　　設(shè)剛體繞瞬時(shí)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為（方向垂直于紙面向外），則 　　點(diǎn)的速度 （2） 　　點(diǎn)的加速度 （3） 　?。?）式表明：點(diǎn)的速度等于基點(diǎn)的速度與繞基點(diǎn)的速度的矢量和。 　　（3）式的等式右邊第一項(xiàng)為基點(diǎn)加速度，第二項(xiàng)為因轉(zhuǎn)動(dòng)角速度變化引起的加速度，稱為相對(duì)切向加速度，第三項(xiàng)叫相對(duì)向心加速度。（3）式表明：剛體中任一點(diǎn)的加速度為基點(diǎn)的加速度、相對(duì)切向加速度、相對(duì)向心加速度的矢量和。 （2）轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心 1. 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的定義和

23、性質(zhì) 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)，任一時(shí)刻剛體薄片上或其延伸平面上速度為零的點(diǎn)叫轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心， 也稱為極點(diǎn)，記為。轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心的性質(zhì)是： ①瞬心是唯一的，不同時(shí)刻有不同的瞬心； ②瞬心的速度為零，但它加速度并不為零.否則剛體為定軸轉(zhuǎn)動(dòng). ③瞬心可以在剛體上、也可以在剛體外。 ④對(duì)瞬心而言，剛體上任一點(diǎn)的速度都垂直于瞬心與該點(diǎn)的連線。 2. 瞬心的確定 　　方法一：觀察法：凡滾而不滑的剛體與另一物體的接觸點(diǎn)就是瞬心。例如：車輪沿地面滾而不滑的沿直線運(yùn)動(dòng)，接觸點(diǎn)就是瞬心C，輪子運(yùn)動(dòng)時(shí)，接觸點(diǎn)C在地面上留下的軌跡叫定瞬心曲線（或叫空間極跡），而在運(yùn)動(dòng)物體（輪子）上留下的軌跡叫動(dòng)瞬心曲線（或叫本體極跡

24、）（見圖3.7.2）。 　　 方法二：作圖法： 　　已知?jiǎng)傮w中兩點(diǎn)A、B的速度VA,VB，則分別自A、B點(diǎn)作垂直于VA,VB 的直線，其交點(diǎn)C即瞬心(如圖3.7.3)。 　　 方法三：數(shù)學(xué)方法： 　　已知和基點(diǎn)的位置,則可解方程式[書P197的（3.7.6）式]求出瞬心在定系中的坐標(biāo)，，或解方程[書P197的3.7.7]式]求出瞬心在動(dòng)系中坐標(biāo)：， 3. 瞬心法求解剛體平面平行運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)的一般步驟。 　　一般步驟： 　?、偾蟪觯ɑ虼_定）瞬心C； 　?、诖_定角速度； 　　③由公式（2）、（3）求出任一點(diǎn)的速度和加速度。 [例1] 半徑為R的圓輪

25、沿直線滾而不滑的運(yùn)動(dòng)，輪心的速度為 （常量）(見圖3.7.4)。 　　求：（1）瞬心曲線；（2）角速度；（3）輪心和接觸點(diǎn)的加速度；（4）輪上任一點(diǎn)的速度、加速度。 　　解：（1）接觸點(diǎn)速度為零，故為瞬心，顯然，運(yùn)動(dòng)時(shí)，定瞬心曲線為直線，方程為：yC=0。動(dòng)瞬心曲線為圓周，方程為rC=R； 　?。?）由v0=ω×AC，且ω⊥AC，∴v0=ωAC，∴ω= v0/AC= v0/R=常量（方向垂直紙面向內(nèi)） 　?。?）取輪心A為基點(diǎn)，由，輪心加速度，又=常量， 　　　所以, 　　　∴接觸點(diǎn)的加速度,大小為，方向?yàn)橹赶驁A心。 　?。?）輪緣上任一點(diǎn)P的速度VP和加速度aP， 　　　　

26、（方向如圖） 　　　∴ （方向如圖） 將代入得，大小為，方向由點(diǎn)指向點(diǎn)。 （3）平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) 在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，基點(diǎn)是可以任意選取的。但在動(dòng)力學(xué)中，通常都取質(zhì)心作為基點(diǎn)，以便利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理來(lái)寫出平面平行運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。也就是說(shuō)，在平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)中，我們把剛體的運(yùn)動(dòng)分解為質(zhì)心的純平動(dòng)和剛體相對(duì)于質(zhì)心的定軸純轉(zhuǎn)動(dòng)。 1. 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)方程： 設(shè)一靜坐標(biāo)系和一以剛體質(zhì)心為原點(diǎn)、坐標(biāo)軸始終平行靜止坐標(biāo)軸的動(dòng)坐標(biāo)系，又設(shè)剛體所受總外力（包括約束反力）為，于是有以下剛體平面平行運(yùn)動(dòng)方程 ①質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程： ；

27、 （3.7.8） ②剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程： （3.7.9） ③約束方程：（視具體平面而定）。 【注】： 如果沒(méi)有③，就屬于自由剛體，而不是平面平行運(yùn)動(dòng)剛體。此外，如果僅有①和②，由于外力及中包含約束反力，而約束反力是未知的，這樣未知量就多于三個(gè)，這樣僅由①和②中的三個(gè)方程無(wú)法求解（剛體作平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)，是三個(gè)獨(dú)立變量的問(wèn)題），因此，需要加入約束方程。 2. 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能及機(jī)械能守恒律： 對(duì)于上述所選的動(dòng)靜坐標(biāo)系，正好可以應(yīng)用柯尼希定理，將這時(shí)剛體的動(dòng)能表為兩部分：一為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能，另一為剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)

28、的動(dòng)能： 此外，如果作用在剛體上的外力只有其中的保守力作功，則有機(jī)械能守恒式： （3.7.10） 【注】：也可以用（3.7.10）式代替（3.7.8）和（3.7.9）三式中的任何一式來(lái)給出并求解運(yùn)動(dòng)方程。 3. 剛體平面平行運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解答步驟： 　　已知條件為：作用于剛體的力和初始情況。 　　求：剛體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 　　方法一：解微分方程的方法。 　　步驟：①建立坐標(biāo)系，分析力；②列方程：包括質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理、動(dòng)量矩定理、約束方程；③解微分方程；④討論結(jié)果。 　　方法二：利用機(jī)械能守恒定律（只

29、適用于保守力） 　　步驟：①建立坐標(biāo)系；②計(jì)算動(dòng)能T和勢(shì)能V；③由能量守恒和約束條件求出運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 　　 [例]見書P202。 　　圓柱體半徑 、質(zhì)量m，滾而不滑地下滾（見圖3.7.5）。求質(zhì)心的速度、約束反力N、摩擦力f。 　　方法一：用機(jī)械能守恒求。 　　剛體的動(dòng)能為：　　 （k為回轉(zhuǎn)半徑） 　　勢(shì)能為：?。ㄈ§o止時(shí)的位置為零勢(shì)能的位置） 約束方程為： （滾而不滑條件） 由以上三式求得質(zhì)心加速度為： （用此方法求不出N和f） 方法二：解微分方程的方法 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理： (1) 　　和對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理： （2）

30、 　　其中：,以及約束方程： （3） 　　將（1）投影于x，y方向，解（1）、（2）、（3）求出 　　　　　，， 　　（附注：分別將圓柱體、球體、球殼、圓盤等的回轉(zhuǎn)半徑的值代入上述結(jié)果，就可以得到相同質(zhì)量、相同半徑的這幾種剛體的相應(yīng)值，請(qǐng)讀者自己具體計(jì)算并從中總結(jié)出一些規(guī)律。） §3.8 剛體繞固定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng) （1）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué) 1）. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)特征： ①轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，軸的取向隨時(shí)間而變； ②需兩個(gè)獨(dú)立變量描述轉(zhuǎn)動(dòng)軸的取向（也即角速度矢量的取向），還一個(gè)獨(dú)立變量描述剛體繞轉(zhuǎn)動(dòng)軸的運(yùn)動(dòng)，所以定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)是三個(gè)獨(dú)立變量的問(wèn)題。 2）. 常用三

31、個(gè)歐勒角來(lái)描述： 即用（章動(dòng)角）、（進(jìn)動(dòng)角）、（自轉(zhuǎn)角）來(lái)確定剛體的位置。至于角速度分量、、則可用三個(gè)歐勒角對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)來(lái)表出，即前面已講的（3.3.3）式： 這就是歐勒運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。 3）. 轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸及其空間極面、本體極面： 把某一瞬時(shí)角速度的取向，也即在該瞬時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸叫做轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸；類似于轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心，轉(zhuǎn)動(dòng)瞬軸在空間（即相對(duì)于靜坐標(biāo)系）和在剛體內(nèi)（即相對(duì)于固連在剛體上的動(dòng)坐標(biāo)系）各描繪出一個(gè)頂點(diǎn)在的錐面，前者稱為空間極面，后者稱為本體極面。 4）. 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式： 設(shè)剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則 ①.剛體內(nèi)任一點(diǎn)的線速度： ②.剛體內(nèi)任一點(diǎn)的線加速度： 5）. 一般空

32、間自由運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式： 對(duì)于剛體一般的空間自由運(yùn)動(dòng)，就不存在定點(diǎn)。這時(shí)可以將其看作是基點(diǎn)平動(dòng)加上繞基點(diǎn)的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。 ①.剛體內(nèi)任一點(diǎn)的線速度： ②.剛體內(nèi)任一點(diǎn)的線加速度： （2）定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué) （歐勒動(dòng)力學(xué)方程） 定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程即質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩定理（即（2.3.4）式） （A） 動(dòng)量矩表達(dá)式已在§3.5中求出，其求法是： 對(duì)于固連動(dòng)系： ①.先作動(dòng)坐標(biāo)系固連于剛體上，從而使慣量系數(shù)（即慣量和慣量積）成為常數(shù)）； ②.再選慣量主軸為動(dòng)坐標(biāo)軸，則動(dòng)量矩就簡(jiǎn)化為 對(duì)于一般靜系： （3.8.6） 于是（A）式成為 即 此即剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，也稱歐勒動(dòng)力學(xué)方程。 （3）機(jī)械能守恒律 如果作用在剛體上的外力只有保守力作功，那么 即