2015年步步高二輪復(fù)習(xí)-專題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、 第2講　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 考情解讀　高考對(duì)本節(jié)知識(shí)主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問(wèn)題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公式，考查用等差、等比數(shù)列知識(shí)分析問(wèn)題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過(guò)分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問(wèn)題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題． 1．?dāng)?shù)列求和的方法技巧 (1)分組轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并． (2)錯(cuò)位相減法 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{a

2、n·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列． (3)倒序相加法 這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，也就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序)，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和． (4)裂項(xiàng)相消法 利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或n項(xiàng)的差，通過(guò)相加過(guò)程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和．這種方法，適用于求通項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中{an}若為等差數(shù)列，則＝. 常見的裂項(xiàng)公式： ①＝－； ②＝(－)； ③＝(－)； ④＝(－)． 2．?dāng)?shù)列應(yīng)用題的模型 (1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一

3、個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比． (3)混合模型：在一個(gè)問(wèn)題中同時(shí)涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型． (4)生長(zhǎng)模型：如果某一個(gè)量，每一期以一個(gè)固定的百分?jǐn)?shù)增加(或減少)，同時(shí)又以一個(gè)固定的具體量增加(或減少)時(shí)，我們稱該模型為生長(zhǎng)模型．如分期付款問(wèn)題，樹木的生長(zhǎng)與砍伐問(wèn)題等． (5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前n項(xiàng))間的遞推關(guān)系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題． 熱點(diǎn)一　分組轉(zhuǎn)化求和 例1　等比數(shù)列{an}中，

4、a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足：bn＝an＋(－1)nln an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 思維啟迪　(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個(gè)推敲確定{an}的通項(xiàng)公式；(2)分組求和． 解　(1)當(dāng)a1＝3時(shí)，不合題意； 當(dāng)a1＝2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a2＝6，a3＝18時(shí)，符合題意； 當(dāng)a1＝10時(shí)，不合題意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝

5、18，所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (n∈N*)． (2)因?yàn)閎n＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1) ＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3] ＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3， 所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋ (－1)nn]ln 3. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Sn＝2×＋ln 3＝3n＋ln 3－1； 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Sn＝2×－(ln 2－ln 3)＋ln 3＝3n－ln 3－ln 2

6、－1. 綜上所述，Sn＝ 思維升華　在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想．把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解．在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式． 　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝()n(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{a2n}與{a2n－1}(n∈N*)都是等比數(shù)列； (2)若數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和為T2n，令bn＝(3－T2n)·n·(n＋1)，求數(shù)列{bn}的最大項(xiàng)． (1)證明　因?yàn)閍

7、nan＋1＝()n，an＋1an＋2＝()n＋1， 所以＝. 又a1＝1，a2＝，所以數(shù)列a1，a3，…，a2n－1，…，是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列； 數(shù)列a2，a4，…，a2n，…，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－3()n， 所以bn＝3n(n＋1)()n， bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)()n＋1， 所以bn＋1－bn＝3(n＋1)()n(－n) ＝3(n＋1)()n＋1(2－n)， 所以b1b4>…>bn>…， 所以(bn)max＝b2＝b3＝. 熱

8、點(diǎn)二　錯(cuò)位相減法求和 例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋n＋1(n∈N*)， (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，n∈N*，證明：Tn<2. 思維啟迪　(1)n>1時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n兩式相減得{an}的遞推關(guān)系式，然后構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)； (2)先利用錯(cuò)位相減法求出Tn，再放縮． (1)解　∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n， ∴an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 即＝2(n≥2)，① 又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1， ∴a2＝3，∴＝2，

9、∴當(dāng)n＝1時(shí)，①式也成立， ∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*)． (2)證明　∵an＝2n－1， ∴bn＝＝＝， ∴Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， ∴兩式相減，得Tn＝2(＋＋＋…＋－) ＝2－－<2. 思維升華　錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和是一種重要的方法．在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問(wèn)題． 　設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)由已知得，當(dāng)n≥

10、1時(shí)， an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而a1＝2，符合上式， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1. (2)由bn＝nan＝n·22n－1知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1.① 從而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.② ①－②，得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1， 即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2]． 熱點(diǎn)三　裂項(xiàng)相消法求和 例3　已知等差數(shù)列{an}，公差d>0，

11、前n項(xiàng)和為Sn，S3＝6，且滿足a3－a1,2a2，a8成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn的值． 思維啟迪　(1)利用方程思想可確定a，d，寫出{an}；(2)利用裂項(xiàng)相消法求Tn. 解　(1)由S3＝6，得a2＝2. ∵a3－a1,2a2，a8成等比數(shù)列， ∴(2d)·(2＋6d)＝42， 解得d＝1或d＝－， ∵d>0，∴d＝1. ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n. (2)Tn＝＋＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(－－)＝. 思維升華　裂項(xiàng)相消法適合于形如{}形式的數(shù)列，其中{

12、an}為等差數(shù)列． 　已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且滿足a4·a7＝15，a3＋a8＝8. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(n≥2)，b1＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)根據(jù)題意a3＋a8＝8＝a4＋a7，a4·a7＝15， 所以a4，a7是方程x2－8x＋15＝0的兩根，且a4

13、b1＋b2＋…＋bn＝(1－＋－＋…＋－)＝(1－)＝. 即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn＝. 熱點(diǎn)四　數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例4　自從祖國(guó)大陸允許臺(tái)灣農(nóng)民到大陸創(chuàng)業(yè)以來(lái)，在11個(gè)省區(qū)設(shè)立了海峽兩岸農(nóng)業(yè)合作試驗(yàn)區(qū)和臺(tái)灣農(nóng)民創(chuàng)業(yè)園，臺(tái)灣農(nóng)民在那里申辦個(gè)體工商戶可以享受“綠色通道”的申請(qǐng)、受理、審批一站式服務(wù)，某臺(tái)商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬(wàn)元的蔬菜加工廠M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價(jià)值比上年年初減少10萬(wàn)元，從第七年開始，每年年初M的價(jià)值為上年年初的75%. (1)求第n年年初M的價(jià)值an的表達(dá)式； (2)設(shè)An＝，若An大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，

14、否則須在第n年年初對(duì)M更新，證明：必須在第九年年初對(duì)M更新． 思維啟迪　(1)根據(jù)題意，當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列，分別寫出其通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行合并即可；(2)先對(duì)n進(jìn)行分類，表示出An，利用數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)確定其最佳項(xiàng)，并與80比較大小，確定n的值． (1)解　當(dāng)n≤6時(shí)，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120，公差為－10的等差數(shù)列，故an＝120－10(n－1)＝130－10n， 當(dāng)n≥7時(shí)，數(shù)列{an}從a6開始的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)以a6＝130－60＝70為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故an＝70×()n－6， 所以第n年年初M的價(jià)值an＝ (2)證明　

15、設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，得 當(dāng)1≤n≤6時(shí)，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝＝120－5(n－1)＝125－5n≥95>80， 當(dāng)n≥7時(shí)，由于S6＝570， 故Sn＝570＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×[1－()n－6]＝780－210×()n－6. 因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列，所以{An}是遞減數(shù)列． 因?yàn)锳n＝＝， A8＝≈82.734>80， A9＝≈76.823<80， 所以必須在第九年年初對(duì)M更新． 思維升華　解答數(shù)列應(yīng)用題，與函數(shù)應(yīng)用題的求解過(guò)程類似，一般要經(jīng)過(guò)三步：(1)建模，首先要認(rèn)真審題，理

16、解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題；(2)解模，利用所學(xué)的數(shù)列知識(shí)，解決數(shù)列模型中的相關(guān)問(wèn)題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問(wèn)題返回到實(shí)際問(wèn)題中去，與實(shí)際問(wèn)題相對(duì)應(yīng)，確定問(wèn)題的結(jié)果． 　設(shè)某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復(fù)利計(jì)算，則每期期末所付款是(　　) A.(1＋r)n元 B.元 C.(1＋r)n－1元 D.元 答案　B 解析　設(shè)每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1＋r)n－1＋x(1＋r)n－2＋x(1＋r)n－3＋…＋x(1＋r)＋x＝a(1＋r)n， 即x·＝a(1＋r)n， 故x

17、＝. 1．?dāng)?shù)列綜合問(wèn)題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題的關(guān)鍵．若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解： (1)an＝ (2)遞推關(guān)系形如an＋1－an＝f(n)，常用累加法求通項(xiàng)． (3)遞推關(guān)系形如＝f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)． (4)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋q(p、q是常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，常用待定系數(shù)法．可設(shè)an＋1＋λ＝p(an＋λ)，經(jīng)過(guò)比較，求得λ，則數(shù)列{an＋λ}是一個(gè)等比數(shù)列． (5)遞推關(guān)系形如“an＋1＝pan＋qn(q，p為常數(shù)，且p≠1，q≠0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩邊同除以qn轉(zhuǎn)

18、化為類型(4)，或同除以pn＋1轉(zhuǎn)為用迭加法求解． 2．?dāng)?shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型： (1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題求解． (2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和． (3)分組求和時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解． 提醒：運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n＋1項(xiàng)中的前n項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零． 3．?dāng)?shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析和解析問(wèn)題的能力．其中，建立數(shù)列模型是解決這類問(wèn)題的核心，在解題中的主要思路：①首先構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模

19、型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；②通過(guò)歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解. 真題感悟 1．(2013·湖南)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則： (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________. 答案　(1)－　(2) 解析　∵an＝Sn－Sn－1 ＝(－1)nan－－(－1)n－1an－1＋(n≥2)， ∴an＝(－1)nan－(－1)n－1an－1＋(n≥2)． 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an－1＝－(n≥2)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2an＋an－1＝(n≥2)， ∴當(dāng)n＝4時(shí)，a3＝－＝－. 根據(jù)以上{an

20、}的關(guān)系式及遞推式可求． a1＝－，a3＝－，a5＝－，a7＝－，…， a2＝，a4＝，a6＝，a8＝，…. ∴a2－a1＝，a4－a3＝，a6－a5＝，…， ∴S1＋S2＋…＋S100＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a100－a99)－ ＝－ ＝. 2．(2014·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1. (1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明＋＋…＋<. 證明　(1)由an＋1＝3an＋1， 得an＋1＋＝3(an＋)． 又a1＋＝， 所以{an＋}是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列． an＋＝，因此{(lán)an

21、}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知＝. 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n－1≥2×3n－1， 所以≤. 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ＝(1－)<. 所以＋＋…＋<. 押題精練 1．如圖，一個(gè)類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n≥2)行的第2個(gè)數(shù)為________． 答案　n2－2n＋3 解析　由題意可知：圖中每行的第二個(gè)數(shù)分別為3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…， ∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3， ∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)， ∴an＝n2－2n＋3. 2．秋末冬初，

22、流感盛行，特別是甲型H1N1流感．某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有________人． 答案　255 解析　由于an＋2－an＝1＋(－1)n， 所以a1＝a3＝…＝a29＝1， a2，a4，…，a30構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列， 所以a1＋a2＋…＋a29＋a30 ＝15＋15×2＋×2＝255. 故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255. 3．已知數(shù)列{bn}滿足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)已知

23、＝，求證：≤＋＋…＋<1. (1)解　因?yàn)?(n＋1)bn＝nbn＋1，所以＝. 則＝3×，＝3×，＝3×，…，＝3×， 累乘，可得＝3n－1×n，因?yàn)閎1＝3，所以bn＝n·3n， 即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝n·3n. (2)證明　因?yàn)椋?，所以an＝·3n. 因?yàn)椋健? ＝·＝(－)· ＝·－·， 所以＋＋…＋＝(1·－·)＋(·－·)＋…＋(·－·) ＝1－·. 因?yàn)閚∈N*，所以0<·≤，所以≤1－·<1， 所以≤＋＋…＋<1. (推薦時(shí)間：60分鐘) 一、選擇題 1．?dāng)?shù)列{an}共有5項(xiàng)，其中a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,

24、3,4，則滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　設(shè)bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，則bi等于1或－1，由a5＝(a5－a4)＋(a4－a3)＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝b4＋b3＋b2＋b1，知bi(i＝1,2,3,4)共有3個(gè)1,1個(gè)－1. 所以符合條件的{an}共有4個(gè)． 2．已知在數(shù)列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，則|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于(　　) A．445 B．765 C．1 080 D．3 105 答案　B 解析　∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－

25、an＝3. ∴{an}是以－60為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列． ∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63. 令an≤0，得n≤21. ∴前20項(xiàng)都為負(fù)值． ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30| ＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30 ＝－2S20＋S30. ∵Sn＝n＝×n， ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765. 3．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2 013，其前n項(xiàng)和為Sn，若－＝2，則S2 013的值等于(　　) A．－2 011 B．－2 012 C．－2 010 D．－2 013 答案　D 解析　根據(jù)等差數(shù)列的性

26、質(zhì)，得數(shù)列{}也是等差數(shù)列， 根據(jù)已知可得這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)＝a1＝－2 013， 公差d＝1，故＝－2 013＋(2 013－1)×1＝－1， 所以S2 013＝－2 013. 4．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，記Sn＝a1＋a2＋…＋an，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．a(chǎn)100＝－1，S100＝5 B．a(chǎn)100＝－3，S100＝5 C．a(chǎn)100＝－3，S100＝2 D．a(chǎn)100＝－1，S100＝2 答案　A 解析　由題意知，a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，a7＝1，由此可以得出數(shù)列{an}

27、是以6為一個(gè)周期，所以a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5，故選A. 5．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝ncos ，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012等于(　　) A．1 006 B．2 012 C．503 D．0 答案　A 解析　用歸納法求解． ∵an＝ncos ，∴a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4，a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，…. 由此易知a4n－2＝－(4n－2)，a4n＝4n， 且a1＋a2＋a3＋a4＝－2＋4＝2， a5＋a6＋a7＋a8＝－6＋8＝2，…， a4n－3＋a4n－2＋a4n－1＋a4n＝－(4n－2)＋

28、4n＝2. 又2 012＝4×503， ∴a1＋a2＋…＋a2 012＝2＋2＋…＋＝2×503＝1 006. 6．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1， 于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n， 上述n－1個(gè)式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n， 所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝， 因此＝＝2， 所以＋＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. 二、填空題 7．在數(shù)列{an}中，a1＝1，

29、an＋2＋(－1)nan＝1，記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S60＝________. 答案　480 解析　∵an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}為等差數(shù)列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4， ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8， S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…， ∴S60＝4×15＋×4＝480. 8．設(shè)Sn為數(shù)列{a

30、n}的前n項(xiàng)和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，則d＝________. 答案　4 解析　由題意可知，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn＝，前2n項(xiàng)和為S2n＝，所以＝＝2＋＝2＋.因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d＝4. 9．設(shè)Sn＝＋＋＋…＋(n∈N*)，且Sn＋1·Sn＋2＝，則n的值是________． 答案　5 解析　∵Sn＋1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－ ＝， ∴Sn＋2＝. ∴Sn＋1·Sn＋2＝＝，解得n＝5. 10．已

31、知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式S2n－Sn>恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_______________． 答案　5 解析　要使S2n－Sn>恒成立， 只需(S2n－Sn)min>. 因?yàn)?S2(n＋1)－Sn＋1)－(S2n－Sn) ＝(S2n＋2－S2n)－(Sn＋1－Sn) ＝a2n＋1＋a2n＋2－an＋1 ＝＋－ >＋－＝－>0， 所以S2n－Sn≥S2－S1＝， 所以0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中項(xiàng)為1

32、6. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log4an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得＋＋＋…＋

33、)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解　(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12， 由題意，得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1， 所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1 ＝(－1)n－1(＋)． 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝1－＝. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， Tn＝(1＋)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝1＋＝. 所以Tn＝ (或Tn＝) 13．某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b

34、千克．若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n(n∈N*)千元時(shí)比廣告費(fèi)為(n－1)千元時(shí)多賣出千克． (1)當(dāng)廣告費(fèi)分別為1千元和2千元時(shí)，用b表示銷售量S； (2)試寫出銷售量S與n的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)a＝50，b＝200時(shí)，要使廠家獲利最大，銷售量S和廣告費(fèi)n分別應(yīng)為多少？ 解　(1)當(dāng)廣告費(fèi)為1千元時(shí)，銷售量S＝b＋＝. 當(dāng)廣告費(fèi)為2千元時(shí)，銷售量S＝b＋＋＝. (2)設(shè)Sn(n∈N)表示廣告費(fèi)為n千元時(shí)的銷售量， 由題意得S1－S0＝， S2－S1＝， …… Sn－Sn－1＝. 以上n個(gè)等式相加得，Sn－S0＝＋＋＋…＋， 即S＝Sn＝b＋＋＋＋…＋＝ ＝b(2－)，n∈N. (3)當(dāng)a＝50，b＝200時(shí)，設(shè)獲利為Tn，則有 Tn＝Sa－1 000n＝10 000×(2－)－1 000n ＝1 000×(20－－n)， 設(shè)bn＝20－－n， 則bn＋1－bn＝20－－n－1－20＋＋n＝－1， 當(dāng)n≤2時(shí)，bn＋1－bn>0；當(dāng)n≥3時(shí)，bn＋1－bn<0. 所以當(dāng)n＝3時(shí)，bn取得最大值， 即Tn取得最大值，此時(shí)S＝375， 即該廠家獲利最大時(shí)，銷售量和廣告費(fèi)分別為375千克和3千元．