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1、中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,1,廣義根軌跡是指根軌跡參數除了根軌跡增益之外的所有根軌跡。 (1) 參數根軌跡，(2) 開環(huán)零點個數大于開環(huán)極點個數的根軌跡，(3)具有正反饋內環(huán)的零度根軌跡，等等。 1. 參數根軌跡 以非根軌跡增益為可變參數繪制的根軌跡,引入等效開環(huán)傳遞函數的概念,4-3 廣義根軌跡,A為除K*外，系統(tǒng)任意變化的參數,注意：等效意義在于特征方程相同，而此時閉環(huán)零點是不同的。,等效開環(huán)傳遞函數,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,2,例 設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,等效開環(huán)傳遞函數：,等效后的閉環(huán)傳遞函數：,繪制以a為參變量的根軌跡,4-3 廣義根軌跡
2、,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,3,例4.10 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為,,,解：該系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為,,,其等效開環(huán)傳遞函數為,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,4,(2)實軸上根軌跡(-，-1,由于該系統(tǒng)等效開環(huán)傳遞函數的零點數m=3，大于極點數n=2，所以在該根軌跡中將有一條從負無窮遠處沿實軸終止于開環(huán)零點-1的根軌跡分支。,(3)確定復數極點p1，p2的出射角,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,5,(4)與虛軸交點 采用勞斯表容易求得根軌跡與虛軸交點的j和相應的,,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,6,第四節(jié) 系統(tǒng)性能的分析,一、 利用閉環(huán)
3、主導極點估算系統(tǒng)的性能,利用根軌跡求出系統(tǒng)的閉環(huán)極點、零點后，可以定性地分析或定量地估算系統(tǒng)的性能。,在S平面上最靠近虛軸而附近又無閉環(huán)零點的閉環(huán)極點對系統(tǒng)性能的影響最大，稱為系統(tǒng)的主導極點,比主導極點實部大5倍以上的其它閉環(huán)零、極點的影響可以忽略；甚至在近似計算中把比主導極點實部大23倍的閉環(huán)零、極點也可略去。,在一般情況下，高階系統(tǒng)的設計都以獲得衰減振蕩響應過程為最滿意，因此，閉環(huán)主導極點常常是一對共軛復數主導極點，相應高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應指標也可由一對共軛復數主導極點所確定的二階系統(tǒng)參數近似估算。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,7,例4.12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數,
4、,,試用根軌跡分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若主導極點具有阻尼比,近似求取系統(tǒng)的超調量和調節(jié)時間。,,解：將開環(huán)傳遞函數寫出零、極點形式,,,（1）繪制系統(tǒng)的根軌跡圖,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,8,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,9,（2）根據阻尼比的要求，確定閉環(huán)主導極點s1和s2的位置。,阻尼線與根軌跡的交點為s1。從根軌跡圖上可得,利用根軌跡圖和幅值方程可求出其對應的開環(huán)增益,根軌跡繪制法則8 ，可以求出 時閉環(huán)特征方程的的另一個根,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,10,由,，,得：,所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數可以近似為,于是系統(tǒng)的動態(tài)性能指標近似為,,,
5、中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,11,MATLAB程序如下： %簡化后閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線 num1=0.436; den1=1 0.66 0.436; step(num1,den1) hold on %原閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應曲線 num2=1.06; den2=1 3 2 1.06; step(num2,den2) legend(簡化后系統(tǒng),原系統(tǒng)),中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,12,二. 閉環(huán)偶極子,4-4 系統(tǒng)性能的分析,一對相距很近的閉環(huán)零點、極點。,如果這對偶極子不十分靠近坐標原點和其他極點，則它們對動態(tài)性能的影響可以忽略不計。,閉環(huán)極點,閉環(huán)零點,一對偶
6、極子,,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,13,4-4 系統(tǒng)性能的分析,如果偶極子十分接近原點，即,,,,因此，靠近坐標原點的偶極子對動態(tài)性能的影響必須考慮。,偶極子的確定：閉環(huán)零、極點之間的距離比它們到其他極點的距離及其自身的模值小一個數量級，這對閉環(huán)零、極點構成偶極子。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,14,4-4 系統(tǒng)性能的分析,從閉環(huán)零、極點分布，系統(tǒng)性能的定量估算系統(tǒng)性能,簡化后,錯誤,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,15,三、1. 附加開環(huán)零點的作用,4-3 廣義根軌跡,(1) 附加適當的開環(huán)零點可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,(2) 可以改善系統(tǒng)的動態(tài)
7、性能。,,（a),（b),中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,16,4-3 廣義根軌跡,（c),（d),結論：只有當附加零點相對原有系統(tǒng)開環(huán)極點的位置選配適當，才有可能使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能同時得到明顯的改善。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,17,4-3 廣義根軌跡,三、2.附加開環(huán)極點的作用,,,,（a),（b),（c),引入開環(huán)極點，可使根軌跡向右彎曲或移動，它增加了系統(tǒng)的滯后，相當于積分作用（在第五章會有更深入的分析）。在上例中，引入的開環(huán)極點越接近原點，系統(tǒng)的穩(wěn)定性被破壞的程度越大，甚至導致不穩(wěn)定。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,18,四、附加開環(huán)
8、偶極子對根軌跡的影響,如果系統(tǒng)引入一對相距很近的開環(huán)零、極點(實數或復數)，且它們之間的距離比它們的模值小一個數量級時，則這一對開環(huán)零、極點稱為開環(huán)偶極子。,,,,這對接近原點的開環(huán)偶極子可以改變開環(huán)增益的大小。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,19,因此遠離坐標原點的開環(huán)偶極子對系統(tǒng)性能的影響可以忽略不計?？拷鴺嗽c的開環(huán)偶極子不能忽略，它對根軌跡的作用可以概括為： （1）開環(huán)偶極子不影響稍遠離開偶極子位置的根軌跡形狀。 （2）開環(huán)偶極子不影響根軌跡上各點的根軌跡增益，但可影響根軌跡上各點的開環(huán)增益。合理地配置偶極子中的開環(huán)零、極點，可以在不影響動態(tài)特性的基礎上，改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)
9、性能。,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,20,,分離點d=-0.423,分離點處所對應的根軌跡增益為：,3.系統(tǒng)性能的定性分析,4-4 系統(tǒng)性能的分析,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,21,模值條件:,如果沒有開環(huán)零點:,,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,22,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,23,Matlab命令： num=0.38 den=1 3 2 0.38 step(num,den),4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,24,Matlab命令： num=1 den=1 3 2 0
10、 r=rlocus(num,den，2),r = -2.5214 -0.2393 + 0.8579i -0.2393 - 0.8579i,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,25,Matlab命令： num=2 den=1 3 2 2 step(num,den),4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,26,Matlab命令： num=6 den=1 3 2 6 step(num,den),4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,27,Matlab命令： num=10 den=1 3 2 10 st
11、ep(num,den),4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,28,閉環(huán)系統(tǒng)具有3個負實數根，系統(tǒng)沒有振蕩的動態(tài)分量，階躍響應呈現(xiàn)過阻尼狀態(tài)。,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,29,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,30,閉環(huán)系統(tǒng)具有1個實數根和一對共軛復數根，它們均位于復平面左半部，系統(tǒng)有衰減振蕩的動態(tài)分量，階躍響應呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)。,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,31,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,32,閉環(huán)系統(tǒng)具有復
12、平面右半部的根，系統(tǒng)有發(fā)散的動態(tài)分量，此時的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,33,（4）調節(jié)時間：主要取決于閉環(huán)復數主導極點的實部絕對值 ，如果是實數極點距虛軸最近，附近沒有實數零點，取決于該極點的模值。,（1）穩(wěn)定性：閉環(huán)極點全部位于左半S平面 系統(tǒng)穩(wěn)定性與閉環(huán)極點有關，與閉環(huán)零點無關。 （2）運動形式：閉環(huán)系統(tǒng)無零點，且閉環(huán)極點均為實數，時間響應一定是單調的；若閉環(huán)極點均為復數，時間響應一般是振蕩的。 （3）超調量：超調量主要取決于閉環(huán)復數主導極點的衰減率 并與其它閉環(huán)零、極點接近坐標
13、的程度有關。,閉環(huán)系統(tǒng)零、極點位置對時間響應性能指標的影響，歸納為：,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,34,（5）實數零、極點影響：零點減小系統(tǒng)阻尼，使得峰值時間提前，超調量增大； 實數極點增大系統(tǒng)阻尼，使峰值時間推遲，超調量減小。 （6）偶極子及其處理。 遠離原點及其他極點的偶極子，其影響可以忽略；但靠近原點的偶極子，其影響必須考慮。 （7）主導極點。 比主導極點的實部大5倍以上的其它閉環(huán)零、極點，其影響可以忽略。,4-4 系統(tǒng)性能的分析,中國礦業(yè)大學信電學院 常俊林,自動控制原理,35,例8 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為,試繪制以a為參變量的參數根軌跡的大致圖形,,,中國礦業(yè)大學信電學院 ?？×?自動控制原理,36,1、開環(huán)零極點：,無開環(huán)零點,2、漸近線：,,,3、分離點：,,,4、與虛軸交點：,,
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