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1、第3章時域分析法,本章的主要內(nèi)容3.1典型控制過程及性能指標3.2一階系統(tǒng)分析3.3二階系統(tǒng)分析3.4穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)3.5穩(wěn)態(tài)誤差分析及誤差系數(shù),3.1典型控制過程及性能指標,3.1.1典型輸入信號及輸出波形3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標,什么是時域分析?指控制系統(tǒng)在一定的輸入下，根據(jù)輸出量的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。,3.1.1典型輸入信號及輸出波形,,,,,,1）階躍函數(shù)（信號）,單位階躍函數(shù)及拉氏變換,單位階躍函數(shù)波形圖,,,,,,（2）斜坡函數(shù)（信號）,單位斜坡函數(shù)及拉氏變換,單位階躍函數(shù)波形圖,,,,,,3）拋物線信號（加速度信號）,單位拋物線信號及拉氏變換,單位
2、階躍函數(shù)波形圖,,,,,,,,4）脈沖函數(shù)（信號）,單位脈沖函數(shù)及拉氏變換,單位脈沖函數(shù)波形圖,和,,,,,,,,,,,,,,,5）正弦函數(shù)（信號）,單位正弦函數(shù)及拉氏變換,單位正弦函數(shù)波形圖,單位脈沖函數(shù)響應：,單位階躍函數(shù)響應：,單位斜坡函數(shù)響應：,單位拋物線函數(shù)響應：,典型響應：,3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標,在典型信號作用下，控制系統(tǒng)的時間響應是由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。所以控制系統(tǒng)的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。,1.動態(tài)過程和動態(tài)性能,動態(tài)過程（過渡過程、暫態(tài)過程）：在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)從初態(tài)到終態(tài)的響應過程。動態(tài)響應過程有三種情況：衰減型、發(fā)散型、等幅
3、振蕩型,動態(tài)性能：當系統(tǒng)的時間響應c(t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時，稱系統(tǒng)處于動態(tài)或過渡過程中，這時系統(tǒng)的特性。,階躍響應的性能指標：在測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能指標時，由于階躍函數(shù)可以表征系統(tǒng)受到的最嚴峻的工作狀態(tài)，動態(tài)性能指標，一般由階躍響應的性能指標來描述。,（1）延遲時間：,輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間。,（4）最大超調(diào)量（簡稱超調(diào)量）：,（2）上升時間：,輸出響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值y()所需的時間?；蛑赣煞€(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所需的時間。,輸出響應超過穩(wěn)態(tài)值達到第一個峰值ymax所需要的時間。,（3）峰值時間：,（5）調(diào)節(jié)時間或過渡過程時間：,當和之間的誤差
4、達到規(guī)定的范圍之內(nèi)比如或，且以后不再超出此范圍的最小時間。,在上述幾種性能指標中，表示瞬態(tài)過程進行的快慢，是快速性指標；而反映瞬態(tài)過程的振蕩程度，是振蕩性指標。其中和是兩種最常用的性能指標。,2.穩(wěn)態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)性能,穩(wěn)態(tài)過程是指當時間t趨近于無窮大時，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能來描述。,通常討論在階躍、斜坡、加速度函數(shù)作用下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差；穩(wěn)態(tài)誤差用來衡量系統(tǒng)的控制精度或抗擾動性能。,ess=c期望-c（）,3.2一階系統(tǒng)分析,3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學模型3.2.2一階系統(tǒng)的單位階躍系統(tǒng)3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡系統(tǒng)3
5、.2.4一階系統(tǒng)的單位脈沖系統(tǒng)3.2.5三種響應之間的關系,3.2.1一階系統(tǒng)的數(shù)學模型,以一階微分方程作為數(shù)學模型的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。如圖所示的一階系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為,,,其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,式中，,稱為時間常數(shù)。,3.22一階系統(tǒng)的單位階躍響應,,,單位階躍響應函數(shù)：,其單位階躍響應曲線如圖3-4所示。輸出響應從零開始按指數(shù)規(guī)律上升，最后趨于1。,可見，調(diào)整時間只與時間常數(shù)T有關。T越小，系統(tǒng)響應速度越快。,3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應,,設系統(tǒng)的輸入信號為單位斜坡函數(shù)，即。則可求得輸出的拉氏變換為,,,,,c(t),T,0,T,t,一階系統(tǒng)單位斜坡響應曲線如圖,輸出量和輸入量之
6、間的位置誤差隨時間而增大，最后趨于常值T，慣性越小，跟蹤的準確度越高。,3.24一階系統(tǒng)的單位脈沖響應,,,當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(s)=1所以系統(tǒng)輸入量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即,,這時系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應，其表達式為,,,可見，單位脈沖響應中只包含瞬態(tài)分量。,3.25三種響應之間的關系,,,從輸入信號看，單位斜坡信號的導數(shù)為單位階躍信號，而單位階躍信號的導數(shù)為單位脈沖信號。,,從輸出信號來看，單位斜坡響應的導數(shù)為單位階躍響應，而單位階躍響應的導數(shù)為單位脈沖響應。,,,線性定常系統(tǒng)的一個重要性質(zhì)：某輸入信號導數(shù)的輸出響應，就等于該輸入信號輸出響應的導數(shù)；同理，某輸入
7、信號積分的輸出響應，就等于該輸入信號輸出響應的積分，積分常數(shù)由零輸出初始條件確定。,3.3二階系統(tǒng)分析,3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應3.3.3高階系統(tǒng)的時域分析,3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型,,,二階系統(tǒng)：以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng).這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)和傳遞函數(shù)為：,,,,稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。,特征方程為：,當時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為持續(xù)的等幅振蕩。,當時，特征方程有一對實部為負的共軛復根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系
8、統(tǒng)的階躍響應為衰減的振蕩過程。,當時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。,當時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應為非振蕩過程。,3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應,,,,,,當輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：,分析：,1.欠阻尼情況,極點的負實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。其周期為:,,2.無阻尼情況,極點為：,此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。,3.臨界阻尼情況,極點為：,階躍響應函數(shù)為：,4.過阻尼情況,極點為：,,其中，A1、A2、A3為待定系數(shù)。據(jù)此，可求得輸出響應的拉氏反變換,
9、,,此時，系統(tǒng)輸出時間t單調(diào)上升，無振蕩和超調(diào)。由于輸出響應含負指數(shù)項，因而隨著時間的推移，對應的分量逐漸趨于零，輸出響應最終趨于穩(wěn)態(tài)值1。,上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應如下表所示：,典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應,可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)。可見反映實際系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。,5.欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標,(1)上升時間：根據(jù)定義，當時，。,(2)峰值時間：當時，,(3)超調(diào)量:,,上式表明超調(diào)量%的大小只決
10、定于阻尼比值，而與的大小無關。工程中，有時把阻尼比和%之間的關系，按計算結(jié)果，直接整理成曲線如圖所示，應用時由直接查該圖即可得%。,,(4)調(diào)節(jié)時間：,,,例3-1有一位置隨動系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中求該系統(tǒng)（）自然振蕩角頻率；（）系統(tǒng)阻尼比（）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間（）如要求怎樣改變系統(tǒng)值。,解該系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,,對照下式可得,（1）自然振蕩角頻率：（2）阻尼比：由得,（3）超調(diào)量：,（4）調(diào)節(jié)時間：,（5）要求即,例3-2設二階控制系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如圖所示。試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解首先明顯看出，在單位階躍作用下響應的穩(wěn)態(tài)值為3，故此系統(tǒng)的增益不是1，而是3。系統(tǒng)模型為：,,然后由響應
11、的、及相應公式，即可換算出、。,（s）,,由公式得,,換算求解得：,,3.23高階系統(tǒng)的時域分析,,,,,,高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應為：,對上式進行部分分式展開,對上式拉氏變換得：,高階系統(tǒng)有如下結(jié)論：（1）高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)和決定。如果某極點遠離虛軸，那么其相應的瞬態(tài)分量比較小，且持續(xù)時間較短。,（2）高階系統(tǒng)各瞬態(tài)分量的系數(shù)和不僅與復平面中極點的位置有關，而與零點的位置有關。,（3）在系統(tǒng)中，如果距虛軸最近的極點，其實部的絕對值為其他極點實部絕對值的1/5甚至更小，并且在其附近沒有零點存在，則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應將主要由此極點左右。,3.
12、4穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù),3.4.1穩(wěn)定的概念,3.4.2穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義,3.4.3古爾維次穩(wěn)定判據(jù),3.4.4勞斯穩(wěn)定判據(jù),3.23高階系統(tǒng)的時域分析,,,,,,高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,寫成零極點形式：,單位階躍響應為：,2.5.1動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的概念,1.定義:把組成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)用方塊圖表示，在方塊圖內(nèi)標出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并將各環(huán)節(jié)的輸入量、輸出量改用拉氏變換來表示。這種圖形稱為動態(tài)結(jié)構(gòu)圖，簡稱結(jié)構(gòu)圖。,,,2.結(jié)構(gòu)圖由四種基本圖形符號所組成，稱為結(jié)構(gòu)圖的四要素。各圖形符號代表的意義如下：,,（1）信號線：信號線是帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，見圖
13、（a）；,（2）引出點：表示信號引出或測量的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同，見圖（b）；,（3）綜合點（比較點或相加點）：對兩個或兩個以上性質(zhì)相同的信號進行取代數(shù)和的運算。參與相加運算的信號應標明“+”號，相減運算的信號應標出“”號。有時“+”號可省略，但“”號必須標明，如圖（c）；,（4）函數(shù)方塊：表示元件或環(huán)節(jié)輸入、輸出變量之間的函數(shù)關系。方塊內(nèi)要填寫元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，如圖（d）。,,(a)(b)(c)(d),2.5.2動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的建立,繪制動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的一般步驟為：,,（1）明確系統(tǒng)的輸入量和輸出量；確定各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。,,,（2）繪出各環(huán)節(jié)的方塊圖，在其中
14、標出傳遞函數(shù)，并將信號的拉氏變換標在信號線附近。,（3）按照系統(tǒng)中信號的傳遞順序，依次將各環(huán)節(jié)的方塊圖連接起來，便構(gòu)成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。,例2-5已知RC阻容網(wǎng)絡如圖2-5所示，其中為輸入量，為輸出量，試畫出該網(wǎng)絡的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。,,解該網(wǎng)絡系統(tǒng)的輸入量為ur，輸出量為uc。其遵循的電路原理為：,,對以上的標準微分方程組進行拉氏變換，得如下的標準變換方程組：,,從輸入端開始，依次畫出各個子變換方程輸入量、輸出量關系的傳遞函數(shù)方塊圖。并連結(jié)系統(tǒng)中的各同名信號線。如圖2-6所示。,,,2-52-6,2.5.3動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換,1、串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換幾個環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖首尾連接，前一個結(jié)構(gòu)圖的輸出是后一個
15、結(jié)構(gòu)圖的輸入，稱這種結(jié)構(gòu)為串聯(lián)環(huán)節(jié)。如圖2-7（a）是兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)，有：,,,,由上兩式得,,,,因而可等效成圖2-7（b）所示的結(jié)構(gòu)。由此可得出，串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各相串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，即有,,,2-7(a)2-7(b),,2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換兩個及兩個以上環(huán)節(jié)具有同一個輸入信號，而以各自環(huán)節(jié)輸出信號的代數(shù)和作為總的輸出信號的結(jié)構(gòu)稱為并聯(lián)環(huán)節(jié)。如圖為兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)圖。由圖得：,,,,由上三式得,,,,,,其等效結(jié)構(gòu)圖如圖所示。由此可見，并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即有,,,,,3.反饋連接的等效變換若傳遞函數(shù)分別為G（s）和H（s）的兩個
16、方塊圖如圖2-9（a）形式連接，則稱為反饋連接?！?”號為正反饋，表示輸入信號與反饋信號相加；“-”號為負反饋，表示輸入信號與反饋信號相減。由（a）圖有,,,,由上三式得,,,,,,,,,,稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，是反饋連接的等效傳遞函數(shù)，式中負號對應正反饋連接，正號對應負反饋連接。反饋連接的等效變換如圖所示。,,,,,,4.綜合點和引出點的移動在結(jié)構(gòu)圖的變換中經(jīng)常要求改變綜合點和引出點的位置。一般包括綜合點前移、綜合點后移、引出點前移、引出點后移、相鄰綜合點和相鄰引出點之間的移動。,,,,,,,,,1）綜合點前移圖2-10（a）和圖2-10（b）分別表示綜合點前移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,可以看出兩
17、圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,,,,,,2）綜合點后移圖2-11（a）和圖2-11（b）分別表示綜合點后移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,,,,,,,,,,3）引出點前移圖2-12（a）和圖2-12（b）分別表示引出點前移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,,,,,,,,,可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,,4）引出點后移圖2-13（a）和圖2-13（b）分別表示引出點后移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。,,,,,,,,,可以看出兩圖具有如下相同的輸入、輸出關系：,,,5）相鄰綜合點之間的移動和合并圖2-14（a）和圖2-14（b）表示相鄰綜合點之間可以互換位置或進行合
18、并，不會改變該結(jié)構(gòu)輸入和輸出信號之間的關系。,,,,,,,,,,6）相鄰引出點之間的移動從一個信號流線上無論引出多少條信號線，它們都代表同一個信號，所以在一條信號線上的各引出點之間的位置可以隨意改變，效果都是等效的。如圖2-15（a）和圖2-15（b）所示。,,,,,,,,,,例2-8化簡圖2-16所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。,,,,,,,,,,,,,,,,,解（1）將綜合點a后移，得等效圖如圖,,,,,,,,,（2）再與b點交換，得到圖,,,,,,,,（3）因與并聯(lián)，與是負反饋環(huán)，可得圖,,,,,（4）再將上圖的兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)進行合并，得最后化簡的結(jié)果如圖,2.6信號流圖,2.6.1信號流
19、圖的術語及繪制2.6.2梅遜公式,2.6.1信號流圖的術語及繪制,1.信號流圖中的術語,,,,源節(jié)點（輸入節(jié)點）只有輸出支路而無輸入支路的節(jié)點。如圖中的x1。阱節(jié)點（輸出節(jié)點）只有輸入支路而無輸出支路的節(jié)點。如圖中的x6?；旌瞎?jié)點既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如圖中的x2，x3，x4，x5。通路沿著支路箭頭的方向順序穿過各相連支路的路徑。,,前向通路從源節(jié)點開始并且終止于阱節(jié)點，與任一節(jié)點相交不多于一次的通路。如圖中的x1x2x3x4x5，x1x2x4x5，x1x2x5前向通道增益前向通道上各支路增益的乘積?；芈吠返钠瘘c和終點是同一節(jié)點，并且與其它任何節(jié)點相交不多于一次的閉合路徑稱為回路。
20、回路增益回路中各支路增益的乘積，稱為回路的增益。不接觸回路回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路叫做不接觸回路。在信號流圖中，可以有兩個或兩個以上的不接觸回路。如圖中的：x2x3x2和x4x4；x2x5x3x2和x4x4。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2.信號流圖的繪制信號流圖可以根據(jù)微分方程繪制，也可以從系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖按照對應關系得到。,,,,1）由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖一般應先通過拉氏變換將微分方程變換為s的代數(shù)方程式后再化信號流圖。繪制信號流圖時，首先對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照系統(tǒng)中變量的因果關系，從左向右順序排列；然后，用標明支路增益的支路，根據(jù)代數(shù)方程式將各節(jié)點變量正
21、確連接，便可得系統(tǒng)的信號流圖。,,,,,（2）由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖結(jié)構(gòu)圖中，由于傳遞的信號標記在信號線上，方框則是對變量進行變換或運算的算子。因此，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖時，只需在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈標志出傳遞信號，便得到節(jié)點；用標有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖的方框，便得到支路，結(jié)構(gòu)圖也就變換為相應的信號流圖了。,,2.6.2梅遜公式,計算任意輸入節(jié)點和輸出節(jié)點之間傳遞函數(shù)的梅遜增益公式為,,,,式中，特征式，其計算公式為,,,,,,n從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間前向通道的條數(shù)；Pk從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點間第K條前向通道的總增益；La所有不同回路增益之和；LbLc所有兩兩互不接觸回路的回路增益的乘積之和；LdLeLf所有不接觸回路中，每次取其中三個回路增益的乘積之和；K第K條前向通路的余子式，即把與該通路相接觸的回路的回路增益置為0后，特征式所余下的部分。,例2-10用梅遜公式求如圖2-19所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,,,,,,,,,解：單獨回路4個，即,,兩個互不接觸的回路有4組，即,三個互不接觸的回路有1組，即,于是，得特征式為,,,,從源點R到阱節(jié)點C的前向通路共有4條，其前向通路總增益以及余因子式分別為:,,,,,,,,,因此，傳遞函數(shù)為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
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