第1講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

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1、第1講　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 【2013年高考會(huì)這樣考】 1．考查三角函數(shù)的定義及應(yīng)用． 2．考查三角函數(shù)值符號(hào)的確定． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 從近幾年的高考試題看，這部分的高考試題大多為教材例題或習(xí)題的變形與創(chuàng)新，因此學(xué)習(xí)中要立足基礎(chǔ)，抓好對(duì)部分概念的理解．　　 基礎(chǔ)梳理 1．任意角 (1)角的概念的推廣 ①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角． ②按終邊位置不同分為象限角和軸線角． (2)終邊相同的角 終邊與角α相同的角可寫成α＋k·360°(k∈Z)． (3)弧度制 ①1弧度的角：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角． ②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為

2、正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為半徑． ③用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制，比值與所取的r的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)． ④弧度與角度的換算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧長(zhǎng)公式：l＝|α|r， 扇形面積公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 2．任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)α是一個(gè)任意角，角α的終邊上任意一點(diǎn)P(x，y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)． 3．三角函數(shù)線 設(shè)角α的頂點(diǎn)在坐

3、標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，過P作PM垂直于x軸于M，則點(diǎn)M是點(diǎn)P在x軸上的正射影．由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，單位圓與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，單位圓在A點(diǎn)的切線與α的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T，則tan α＝AT.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的余弦線、正弦線、正切線． 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段OM為余弦線 有向線段AT 為正切線 一條規(guī)律 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為：一全正、二正弦、

4、三正切、四余弦． (2) 終邊落在x軸上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合；終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合可以表示為. 兩個(gè)技巧 (1)在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn)，|OP|＝r一定是正值． (2)在解簡(jiǎn)單的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個(gè)小技巧． 三個(gè)注意 (1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角． (2)角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． (3)注意熟記

5、0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題． 雙基自測(cè) 1．(人教A版教材習(xí)題改編)下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是 (　　)． A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析　與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確． 答案　C 2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　)． A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析　當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)，α＝2m·18

6、0°＋225°＝m·360°＋225°，故α為第三象限角； 當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，α＝m·360°＋45°，故α為第一象限角． 答案　A 3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是(　　)． A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由sin α＜0知α是第三、四象限或y軸非正半軸上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案　C 4．已知角α的終邊過點(diǎn)(－1,2)，則cos α的值為(　　)． A．－ B. C．－ D．－ 解析　由三角函數(shù)的定義可知，r＝，cos

7、 α＝＝－. 答案　A 5．(2011·江西)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸非負(fù)半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝________. 解析　根據(jù)正弦值為負(fù)數(shù)且不為－1，判斷角在第三、四象限，再加上橫坐標(biāo)為正，斷定該角為第四象限角，∴y＜0，sin θ＝＝－?y＝－8. 答案　－8 　　 考向一　角的集合表示及象限角的判定 【例1】?(1)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合； (2)若角θ的終邊與角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角； (3)已知角α是第二象限角，試確定2α、所在的象限． [審題視點(diǎn)] 利用終邊相同的角進(jìn)行表示

8、及判斷． 解　(1)在(0，π)內(nèi)終邊在直線y＝x上的角是， ∴終邊在直線y＝x上的角的集合為 . (2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)． 依題意0≤＋＜2π?－≤k＜，k∈Z. ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)內(nèi)終邊與相同的角為，，. (3)∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z. ∴2α是第三、第四象限角或角的終邊在y軸非正半軸上． ∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z， 當(dāng)k＝2m(m∈Z)時(shí)，m·360°＋45°＜＜m·3

9、60°＋90°； 當(dāng)k＝2m＋1(m∈Z)時(shí)， m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°； ∴為第一或第三象限角． (1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們之間相差360°的整數(shù)倍． (2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：終邊在y軸非正半軸上的角的集合可以表示為，也可以表示為. 【訓(xùn)練1】 角α與角β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則(　　)． A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z) 解析　對(duì)于角α與角β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則α－β＝k·360°±1

10、80°(k∈Z)． ∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案　D 考向二　三角函數(shù)的定義 【例2】?已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，試判斷角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． [審題視點(diǎn)] 根據(jù)三角函數(shù)定義求m，再求cos θ和tan θ. 解　由題意得，r＝，∴＝m，∵m≠0， ∴m＝±， 故角θ是第二或第三象限角． 當(dāng)m＝時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－. 當(dāng)m＝－時(shí)，r＝2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－，－)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝＝＝－，tan＝

11、＝＝. 任意角的三角函數(shù)值僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與角α終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．若角α已經(jīng)給出，則無論點(diǎn)P選擇在α終邊上的什么位置，角α的三角函數(shù)值都是確定的． 【訓(xùn)練2】 (2011·課標(biāo)全國(guó))已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　取終邊上一點(diǎn)(a,2a)，a≠0，根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－. 答案　B 考向三　弧度制的應(yīng)用 【例3】?已知半徑為10的圓O中，弦AB的長(zhǎng)為10. (1)求弦AB所對(duì)

12、的圓心角α的大小； (2)求α所在的扇形的弧長(zhǎng)l及弧所在的弓形的面積S. [審題視點(diǎn)] (1)由已知條件可得△AOB是等邊三角形，可得圓心角α的值； (2)利用弧長(zhǎng)公式可求得弧長(zhǎng)，再利用扇形面積公式可得扇形面積，從而可求弓形的面積． 解　(1)由⊙O的半徑r＝10＝AB，知△AOB是等邊三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝. (2)由(1)可知α＝，r＝10， ∴弧長(zhǎng)l＝α·r＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝××10＝， 而S△AOB＝·AB·＝×10×＝， ∴S＝S扇形－S△AOB＝50. 弧度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式，比角度制下的扇形的弧長(zhǎng)與面積公式要簡(jiǎn)潔得多，用起來

13、也方便得多．因此，我們要熟練地掌握弧度制下扇形的弧長(zhǎng)與面積公式． 【訓(xùn)練3】 已知扇形周長(zhǎng)為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？ 解　設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40， S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100. 當(dāng)且僅當(dāng)r＝20－r，即r＝10時(shí)，Smax＝100. ∴當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí)，扇形面積最大，即半徑為10，圓心角為2弧度時(shí)，扇形面積最大． 考向四　三角函數(shù)線及其應(yīng)用 【例4】?在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合： (1)sin α≥；　(2)cos α≤－. [審題視點(diǎn)] 作出滿足sin α

14、＝，cos α＝－的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍． 解　 (1)作直線y＝交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 . (2)作直線x＝－交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為 . 利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟是： (1)用邊界值定出角的終邊位置； (2)根據(jù)不等式(組)定出角的范圍； (3)求交集，找單位圓中公共的部分； (4)寫出角的表達(dá)式． 【訓(xùn)練4】 求下列函數(shù)的定義

15、域： (1)y＝；　 (2)y＝lg(3－4sin2x)． 解　(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)． ∴定義域?yàn)?k∈Z)． (2)∵3－4sin2x＞0， ∴sin2x＜， ∴－＜sin x＜. 利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)， ∴定義域?yàn)?k∈Z)． 　　 規(guī)范解答7——如何利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值 【問題研究】 三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意角，其終邊上任一點(diǎn)P(不與原點(diǎn)重合)的坐標(biāo)為(x，y)，它到原點(diǎn)的距離是r(r＝＞0)，則sin α＝、cos α＝、

16、tan α＝分別是α的正弦、余弦、正切，它們都是以角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，這樣的函數(shù)稱為三角函數(shù)，這里x，y的符號(hào)由α終邊所在象限確定，r的符號(hào)始終為正，應(yīng)用定義法解題時(shí)，要注意符號(hào)，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤．三角函數(shù)的定義在解決問題中應(yīng)用廣泛，并且有時(shí)可以簡(jiǎn)化解題過程． 【解決方案】 利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值時(shí)，首先要根據(jù)定義正確地求得x，y，r的值；然后對(duì)于含參數(shù)問題要注意分類討論． 【示例】?(本題滿分12分)(2011·龍巖月考)已知角α終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，－)(x≠0)，且cos α＝x，求sin α、tan α的值． 只要確定了r的值即可確定角α經(jīng)過的點(diǎn)P的坐標(biāo)，即確定角

17、α所在的象限，并可以根據(jù)三角函數(shù)的定義求出所要求的值． [解答示范] ∵P(x，－)(x≠0)， ∴P到原點(diǎn)的距離r＝，(2分) 又cos α＝x， ∴cos α＝＝x， ∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.(6分) 當(dāng)x＝時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)， 由三角函數(shù)定義，有sin α＝－，tan α＝－；(9分) 當(dāng)x＝－時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－)， ∴sin α＝－，tan α＝.(12分) 當(dāng)角的終邊經(jīng)過的點(diǎn)不固定時(shí)，需要進(jìn)行分類討論，特別是當(dāng)角的終邊在過坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線上時(shí)，在根據(jù)三角函數(shù)定義求解三角函數(shù)值時(shí)，就要把這條直線看做兩條射線，分別求解，實(shí)際上這時(shí)求的是兩個(gè)角的三角函數(shù)值，這兩個(gè)角相差2kπ＋π(k∈Z)，當(dāng)求出了一種情況后也可以根據(jù)誘導(dǎo)公式求另一種情況． 【試一試】 已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α＋cos α＋tan α. [嘗試解答]　取直線3x＋4y＝0上的點(diǎn)P1(4，－3)，則|OP1|＝5，則sin α＝－，cos α＝，tan α＝－， 故sin α＋cos α＋tan α＝－＋＋× ＝－； 取直線3x＋4y＝0上的點(diǎn)P2(－4,3)， 則sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 故sin α＋cos α＋tan α＝－＋×＝－. 綜上，sin α＋cos α＋tan α的值為－或－.