蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊《第一章 一元二次方程》教案

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1、 1 一元二次方程 一、情境創(chuàng)設(shè) 1、小區(qū)在每兩幢樓之間，開辟面積為900平方米的一塊長方形綠地，并且長比寬多10米，則綠地的長和寬各為多少？ 2、學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊，求這兩年的年平均增長率？ 3、一個正方形的面積的2倍等于15，這個正方形的邊長是多少？ 4、一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為10，求這兩個數(shù)。 二、探索活動 上述問題可用方程解決： 問題1中可設(shè)寬為x米，則可列方程： x（x+10）= 900 問題2中可設(shè)這兩年的平均增長率為x，則可列方程： 5（1＋x）2 = 7.

2、2 問題3中可設(shè)這個正方形的連長為x，則可列方程： 2x2 = 15 問題4中可設(shè)較小的一個數(shù)為x，則可列方程： x（x＋3）= 10 觀察上面列出的4個方程，它們有哪些相同點？（從方程的概念看） 歸納：像上述方程這樣，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。 注：符合一元二次方程即符合三個條件：①一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；③整式方程 任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化成下面的形式：ax2＋bx＋c = 0（a、b、c是常數(shù)，且a≠0） 這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別叫做二次項、一

3、次項和常數(shù)項，a、b分別叫二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。 三、例題教學(xué) 例 1 根據(jù)題意，列出方程： （1）某學(xué)校圖書館去年年底有圖書1萬冊，預(yù)計到明年年底增加到1.44萬冊。求這兩年圖書的年平均增長率。 （2）一塊面積為600平方厘米的長方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個正方形。求這個正方形的連長。 例 2 判斷下列關(guān)于x的方程是否為一元二次方程： ⑴ 2（x2－1）= 3y ⑵ ⑶（x－3）2= （x＋5）2 ⑷ mx2＋3x－2 = 0 ⑸ （a2＋1）x2＋（

4、2a－1）x＋5―a = 0 例 3 把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項： ⑴ 2（x2－1）= 3 x ⑵ 3（x－3）2=（x＋2）2＋7 四、課時作業(yè)： 1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）． （A）x2－=1 （B）x2+y=2 （C）x2=2 （D）x+5=（－7）2 2．方程3x2=－4x的一次項系數(shù)是（ ）． （A）3 （B）－4 （C）0 （D）4 3．把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（ ）．

5、 （A）x2+x－10=0 （B）x2－x－6=4 （C）x2－x－10=0 （D）x2－x－6=0 4．一元二次方程3x2－x－2=0的一次項系數(shù)是________，常數(shù)項是_________． 5．x=a是方程x2－6x+5=0的一個根，那么a2－6a=_________． 6．根據(jù)題意列出方程： （1）已知兩個數(shù)的和為8，積為12，求這兩個數(shù)．如果設(shè)一個數(shù)為x，那么另一個數(shù)為________，根據(jù)題意可得方程為___________． （2）一個等腰直角三角形的斜邊為1，求腰長．如果設(shè)腰長為x，根據(jù)題意可得方程為______________． 7．判斷

6、下列各題括號內(nèi)未知數(shù)的值是不是方程的解： x2+5x+4=0 （x1=－1，x2=1，x3=－4）； 8．根據(jù)題意，列出方程： 有一面積為60m2的長方形，將它的一邊剪去5m，另一邊剪去2m，恰好變成正方形，試求正方形的邊長． 9．當m滿足什么條件時，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是關(guān)于x的一元二次方程？當m 取何值時，方程m（x2+x）=x2－（x+1）是一元一次方程？ 10．把方程化成一般形式是 ． 11．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)之和為 ． 12．關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是 ． 13

7、．已知的值為，則代數(shù)式的值為 ． 14．下列關(guān)于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的個數(shù)是（ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 15.若是關(guān)于的一元二次方程，則不等式的解集是（ ） A． B． C．且 D． 16．關(guān)于的一元二次方程的一個根是，則的值為（ ） A． B． C．或 D． 17．如下圖所示，相框長為10cm，寬為6cm，內(nèi)有寬度相同的邊緣木板，里面用來夾相片的面積為32cm2，則相框的邊緣寬為多少厘米？我們可以這樣來解： （1）若設(shè)相框的邊緣寬為，可得方程

8、 （一般形式）； 0 1 2 3 （1）中 （2）分析并確定的取值范圍； （3）完成表格： （4）根據(jù)上表判斷相框的邊框?qū)捠嵌嗌倮迕祝? 18. 一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一個根為﹣1，則a－b+c=　　　，如果a+b+c=0，則有一根為　　　　　 19．無論a為何實數(shù)，下列關(guān)于的方程是一元二次方程的是（ ） A．(a2－1)x2+bx+c=0 B.ax2+bx+c=0 C． a2x2+bx+c=0 D.(a2+1)x2+bx+c=0 20 方程x

9、2+x－x+1=0的一次項系數(shù)是（ ） A． B.－1 C.－1 D.x－x 21. 某型號的手機連續(xù)兩次降價，每個售價由原來的元降到了元，設(shè)平均每次降價的百分率為，則列出方程為_________________________________. 22. 如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的花邊． 如圖17②，地毯圖案長8米、寬6米，整個中央的矩形地毯的面積是40平方米．求花邊的寬。 思考： 若，求的值。 課時作業(yè)： 1．C 2．D 3．C 4．－；－2 5．－5 6．（1）8－x；x（8－x）=12

10、（2）x2+x2=1 7． 方程 x2－1=2x x－x2=0 6－3y2=0 （x－2）（2x+3）=6 一般形式 x2－2x－1=0 －x2+x=0 －3y2+6=0 2x2－x－12=0 二次項系數(shù) 1 －3 2 一次項系數(shù) －2 1 0 －1 常數(shù)項 －1 0 6 －12 8．（1）x1=－1，x3=－4是原方程的解，x2=1不是原方程的解． （2）x1=3，x4=－1是原方程的解，x2=2，x3=1不是原方程的解． 9．設(shè)正方形的邊長為xm，（x+5）（x+2

11、）=60 10．當m≠時，原方程是關(guān)于x的一元二次方程；當m=時，原方程是一元一次方程． 11． 12． 13． 14． 15．7 16．A 17．C 18．B 19．C 20．（1）；（2）；（3），，，；（4）1cm． 21. D 22. C 23. D 24. C 25. (2k－3) x2+（3k－6）x+ k+2=0,二次項系數(shù)2k－3，一次項系數(shù)3k－6，常數(shù)項k+2。 26. 27. (8－2x)(6－2x)=40 28. （提示：在利用方程解有關(guān)代數(shù)式求值問題時,可用整體代入的方法求解,把變?yōu)閤2－ x=2代入代數(shù)

12、式中求值.） 課前預(yù)習(xí) 1. C 2. D 2 一元二次方程的解法（1） 學(xué)習(xí)目標 1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接開平方法 2、會用直接開平方法解一元二次方程 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 我們曾學(xué)習(xí)過平方根的意義及其性質(zhì)，現(xiàn)在來回憶一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)? 如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，則x叫做a的平方根。平方根有下列性質(zhì)： (1)一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根是互為相反數(shù)

13、的；(2)零的平方根是零；(3)負數(shù)沒有平方根。如何求出適合等式x2=4的x的值呢? 二、探索活動 根據(jù)平方根的定義，由x2＝4可知，x就是4的平方根，因此x的值為2和－2 即 根據(jù)平方根的定義，得 x2＝4 x＝±2 即此一元二次方程的解為： x1=2，x2 =－2 這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。 三、例題教學(xué) 例 1 解下列方程： （1）x2＝2 （2）4x2－1＝0 分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將－1移項，再兩

14、邊同時除以4化為x2＝a的形式，再用直接開平方法解之。 例 2 解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－x）2－3 = 0 分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊同除以12，再同第1小題一樣地去解即可。 小結(jié)：如果一個一元二次方程具有（x＋m）2= n（n≥0）的形式，那么就可以用直接開平方法求解。（用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為

15、一個完全平方式，右邊化為常數(shù)，且要養(yǎng)成檢驗的習(xí)慣） 四、課堂練習(xí) 1．用直接開平方法解下列方程 ① 2x2-8=0 ② 9x2-5=3 ③ (x+6)2-9=0 ④ 3(x-1)2-6=0 ⑤ x2-4x+4=5 ⑥ 9x2+6x+1=4 2．填空選擇： 1）.方程(x-m)2=n 有根的條件是 2）.若

16、(x-2)2=25 則x= 3）.若分式的值為0，則x的值是 4）.若關(guān)于x的方程(x+3)2+a=0,有實數(shù)根，則a的取值范圍 5）.解方程(x+m)2=n,正確的結(jié)論是（ ） A有兩個解x= B當n≥0時，有兩個解x=-m C當n≥0時，有兩個解x= D當n≤0時，無實數(shù)解 6）.一元二次方程ax2-b=0(a≠0)的根是（ ） A B C D a、b異號時無實數(shù)根；a、b同號時根為 3.解方程 ①

17、 ② ③x2+6x+9=8 ④ 3x2-5=0 ⑤ (b≥0) ⑥ 4．解答題： 1）已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，求x的值． 2）2009年國家扶貧開發(fā)工作重點縣農(nóng)村居民人均純收入為2025元，2011年增長到4225元．求年平均增長率。 2 一元二次方程的解法（2） 學(xué)習(xí)目標 1、經(jīng)歷探究將一元二次方程的一般（x＋m）2= n（n≥0）形式的過程，進一步理解

18、配方法的意義 2、會用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，體會轉(zhuǎn)化的思想方法 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 我們已經(jīng)學(xué)過了用直接開平方法解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程，那么如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢? 二、探索活動 我們能否將方程x2＋6x＋4 = 0轉(zhuǎn)化為（x＋m）2= n的形式呢？ 先將常數(shù)項移到方程的右邊，得 x2＋6x = －4 即 x2＋2·x·3 = －4 在方程的兩邊加上一次項系數(shù)6的一半的平方，即32后，得 x2＋2·x

19、·3 ＋32 = －4＋32 （x＋3）2 = 5 解這個方程，得： x＋3 = ± 所以 x1 = -3＋ x2 = ―-3 （注：可以多舉幾例，綜合得出“兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方”的結(jié)論） 由此可見，只要先把一個一元二次方程變形為（x＋m）2= n的形式（其中m、n都是常數(shù)），如果n≥0，再通過直接開平方法求出方程的解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法。 三、例題教學(xué) 例 1 將下列各進行配方： ⑴＋8x＋_____＝（x＋_____）2

20、 ⑵－5x＋_____＝（x－_____）2 ⑶－x＋_____＝（x－____）2 ⑷－6x＋_____＝（x－____）2 分析：本題應(yīng)用“方程兩同時加上一次項系數(shù)一半的平方”來配方。 例 2 解下列方程： （1） x2－4x＋3 = 0 （2）x2＋3x－1 = 0 小結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、把常數(shù)項移到方程右邊；2、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；3、利用直接開平方法解之。

21、 思考：為什么在配方過程中，方程的兩邊總是加上一次項系數(shù)一半的平方？ 四、課堂練習(xí) 1．用適當?shù)臄?shù)填空： ①、x2+6x+????? =（x+??? ）2； ②、x2－5x+???? =（x－??? ）2； ③、x2+ x+????? =（x+??? ）2； ④、x2－9x+???? =（x－??? ）2 2．將二次三項式x2-3x-5進行配方，其結(jié)果為 ，當x= 時，它有最 值，且為 ． 3．已知4x2-ax+1可變?yōu)椋?x-b）2的形式，則ab=_______． 4．將一元二次方程x2-2x-

22、4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式為_______，所以方程的根為_________． 5．若x2+6x+m2是一個完全平方式，則m的值是（ ） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不對 6．用配方法將二次三項式a2-4a+5變形，結(jié)果是（ ） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x2+3=4x配方，得（ ） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程

23、x2+4x=10的根為（ ） A．2± B．-2± C．-2+ D．2- 9．不論x、y為什么實數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x-4y+7的值（ ） A．總不小于2 B．總不小于7 C．可為任何實數(shù) D．可能為負數(shù) 10．用配方法解下列方程： （1）x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4）x2-x-4=0 （5） （6） （7）

24、 思考：.用配方法求解下列問題 （1）求2x2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 2 一元二次方程的解法（3） 學(xué)習(xí)目標 1、掌握用配方法解一元二次方程的基本步驟和方法 2、會正確運用配方法解一元二次方程，進一步體會配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 我們已經(jīng)學(xué)過了用直接開平方法與配方法解一元二次方程，那么如何解方程呢? 二、探索活動 由于該方程不是（x＋m）2= n（n≥0）的形式，因此不能用直接開平方法解，而且也不符合上節(jié)課用配方法所解的方程的形式，但如果將方程

25、兩邊同時除以二次項系數(shù)的話就和上節(jié)課所學(xué)的一樣了。即 方程兩邊同時除以2，得：．再用上節(jié)課的知識解決即可。 小結(jié)：對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，我們可以先將兩邊同時除以二次項系數(shù)，再利用配方法求解。 三、例題教學(xué) 例 1 解下列方程： ⑴ 3 x2＋8x＋1 = 0 ⑵ －3 x2＋4x＋1 = 0 分析：第1小題先將方程兩邊同時除以3，將二次項系數(shù)化為1，再用配方法解之；而第2小題的

26、二次項系數(shù)是負數(shù)，同樣只需兩邊同除以二次項系數(shù)－3，再用配方法解之。 小結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟： 1、方程兩邊同時除以二次項系數(shù)；2、把常數(shù)項移到方程右邊； 3、在方程的兩邊各加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊成為完全平方；4、利用直接開平方法解之。 四、課堂練習(xí) 1. 填空 （1）（　　）（　　　　）． （2）（　?。剑ā　　　。? （3）（　　?。剑ā　　　　。? 2. 用配方法解方程： （1） （2） （3） （4） 3．用適當?shù)姆椒ń夥匠? （1）；　　　　　（2）；

27、 （3）；　　　　　 （4）． 4．關(guān)于的方程的根　　　　，　　　　?。? 5．關(guān)于的方程的解為　　　　　 6．用配方法證明： （1）的值恒為正； （2）的值恒小于0． 1.答案：（1）16，4　　　?。?），　　　　?。?）， 2．（1），．（2），．（3），； （4），． 3．解：（1），． ．，． （2），． ．． ，． （3），． ．． ，． （4），． ．． ，． 4．答案：， 5．答案：， 6．案：證明

28、：（1），的值恒為正． （2） 　　　　　　　　　　，的值恒小于0． 2 一元二次方程的解法（4） 學(xué)習(xí)目標 1、體驗用配方法推導(dǎo)一元二次方程求根公式的過程，明確運用公式求根的前提條件是b2－4ac≥0 2、會用公式法解一元二次方程 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 1、用配方解一元二次方程的步驟是什么？ 2、用配方法結(jié)合直接開平方法解一元二次方程，計算比較麻煩，能否研究出一種更好的方法，迅速求得一元二次方程的實數(shù)根呢？ 3、如何解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）？ 二、探索活動 能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（

29、a≠0）轉(zhuǎn)化為呢？ 回顧用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的過程，讓學(xué)生分組討論交流，達成共識： 因為，方程兩邊都除以，得 移項，得 配方，得 　　　　　　　　　　　　 即 當，且時，大于等于零嗎？ 讓學(xué)生思考、分析，發(fā)表意見，得出結(jié)論：當時，因為，所以，從而 到此，你能得出什么結(jié)論？ 讓學(xué)生討論、交流，從中得出結(jié)論，當時，一般形式的一元二次方程的根為，即。 由以上研究的結(jié)

30、果，得到了一元二次方程的求根公式： （） 這個公式說明方程的根是由方程的系數(shù)、、所確定的，利用這個公式，我們可以由一元二次方程中系數(shù)、、的值，直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。 思考：當時，方程有實數(shù)根嗎？ 三、例題教學(xué) 例 1 解下列方程： ⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2 x2－7x = 4 分析：第2小題要先將方程化為一般形式再用求根公式求解。 四、課堂練習(xí) 1. 若方程是關(guān)于x的一元二次方程,則m的范圍是（ ）. (A)m≠1 (

31、B)m≠2 (C)m≠-1 或2 (D)m≠-1且m≠2 2. 在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算“＊”，其規(guī)則為，根據(jù)這個規(guī)則，方程的解為 . 3一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________． 4當x=______時，代數(shù)式x2-8x+12的值是-4． 5關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____． 6方程x2—5x—1=0( ) A．有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根

32、 D.無法確定 7.用公式法解下列方程： （1）；　 （2）； （3）； （4）． 8.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋? (1)2 x2＋x－6＝0； (2) ； (3)5x2－4x－12＝0； (4) ． 9.已知y1＝2x＋7x－1，y2＝6x＋2，當x取何值時y1＝y(tǒng)2？ 10.當a取什么值時, 關(guān)于的方程有兩個相等的實數(shù)根? 當a取什么值時, 關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根? 當a取什么值時, 關(guān)于的方程沒有實數(shù)根? 2 一元二次方程的解法（5） 學(xué)習(xí)目標

33、 1、用公式法解一元二次方程中，進一步理解代數(shù)式b2－4ac對根的情況的判斷作用 2、能用b2－4ac的值判別一元二次方程根的情況 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 不解方程，你能判斷下列方程根的情況嗎？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3 二、探索活動 1、一元二次方程根的情況與一元二次方程中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項有關(guān)嗎？能否根據(jù)這個關(guān)系不解方程得出方程的解的情況呢？ 例 解下列方程：⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 =

34、0 分析：本題三個方程的解法都是用公式法來解，由公式法解一元二次方程的過程中先求出b2－4ac的值可以發(fā)現(xiàn)它的符號決定著方程的解。 由此可以發(fā)現(xiàn)一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情況可由b2－4ac來判定： 當b2－4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當b2－4ac = 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當b2－4ac ＜ 0時，方程沒有實數(shù)根。我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判別式。 2、若已知一個一元二次方程的根的情況，是否能得到的值的符號呢？ 當一元二次方程有兩個不相等的實

35、數(shù)根時，b2－4ac＞0；當一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根時， b2－4ac = 0；當一元二次方程沒有實數(shù)根時，b2－4ac ＜ 0 三、例題教學(xué) 例 1 不解方程，判斷下列方程根的情況： ⑴ 3x2－x＋1 = 3x ⑵ 5（x2＋1）= 7x ⑶ 3x2－4x = －4 分析：先把方程化為一般形式，確認a、b、c后，再算出b2－4ac的值，對方程給予判定。 例 2 若方程8x2－（m－1）x＋m－7 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，求m的值。 分析：本題與例1剛好相反，應(yīng)由方程有兩個不相等的實數(shù)根得b2－4a

36、c = 0，從而得到關(guān)于m的方程，求出m的值。 四、課堂練習(xí) 1. 不解方程，判斷下列方程根的情況： ⑴ 4x2＋13x＋9 = 0 ⑵ 3（x－2）= x2 ⑶ 3x2＋4x = 5 2.基礎(chǔ)訓(xùn)練 1）若一元二次方程x2＋2x＋m＝0無實數(shù)解，則m的取值范圍是＿＿＿＿＿ 2）關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值是（ ） A、 B． C． D．或 3）如果方程x2－2x＋m＝0有實根，則m的取值范圍是＿＿＿＿＿＿ 4）已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則

37、a的取值范圍是（　?。? A、a＜2 B、a＞2 C、a＜2且a≠1 D、a＜－2 5）已知關(guān)于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝－2，則b與c的值分別是（　?。? A、b＝－1，c＝2　　B、b＝1，c＝－2　　　C、b＝1，c＝2　　D、b＝－1，c＝－2 6）已知一元二次方程x2－3x－1＝0的兩個根x1、x2，則的值為（　?。? A、－3　　　　B、3　　　　C、－6　　　D、6 3.問題研討 例1、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m-1＝0有兩個相等的實數(shù)根，求m的值及方程的根。

38、 例2、已知關(guān)于x的方程2x2－（4k＋1）x＋2k2－1＝0，k為何值時： ①方程有兩個不相等實根；　　?、诜匠逃袃蓚€等根；　　　③方程沒有實根　 例3、探究發(fā)現(xiàn)： 解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表格中兩個解的和與積，它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系？ 方 程 （1） （2） （3） （1） （2） （3） （1）請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn)：__________________________ （2）一般的，對于關(guān)于的方程的兩根

39、為、，則_____________， _____________。 （3）運用以上發(fā)現(xiàn)，解決下面的問題： ①已知一元二次方程x2－2x－7=0的兩個根為x1，x2，則x1+x2的值為（ ） A．－2 B．2 C．－7 D．7 ②已知x1，x2是方程x2－x－3=0的兩根，試求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值。 （1）兩根之和，等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得商的相反數(shù)；兩根之積，等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商； （2），； （3）B；，7。 2 一元二次方程的解法（6） 學(xué)習(xí)目標 1、會用因式分解法解一

40、元二次方程，體會“降次”化歸的思想方法 2、能根據(jù)一元二次方程的特征，選擇適當?shù)那蠼夥椒?，體會解決問題的靈活性和多樣性 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 用不同的方法解方程：x2－x = 0 二、探索活動 1、你能用幾種方法解方程x2－x = 0？ 本題既可以用配方法解，也可以用公式法來解，但由于公式法比配方法簡單，一般選用公式法來解。還有其他方法可以解嗎？ 仔細觀察方程的左邊，可以發(fā)現(xiàn)這個等式的左邊有公因式x，這時可把x提出來，左邊即為兩項的乘積，我們知道：兩個因式的乘積等于0，則這兩個因式為零，這樣，就把一元二次方程降為一元一次方程，此時，方程即可解。 解：x2-x＝0，

41、 x(x-1)＝0， 于是x＝0或x-3＝0． ∴x1=0，x2=3 這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 2、下面哪些方程，用因式分解法求解比較簡便？ ⑴ x2－2x－3 = 0 ⑵ （2x－1）2－1 = 0 ⑶ （x－1）2－18 = 0 ⑷ 3（x―5）2 = 2（5―x） 分析：第⑴、⑷小題用因式分解法求解比較簡便。 結(jié)論：如果一個一元二次方程的一邊是0，另一邊能分解為兩個一次因式的乘積，那么這樣的一元二次方程就可以用因式分解法求解。 三、例題教學(xué) 例 1 解下列方程： ⑴ x2 = －4x

42、 ⑵ x＋3－x（x＋3）= 0 分析：第⑴小題先化為一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小題可以將（x＋3）作為一個整體，提取公因式解之。 例 2 解方程（2x－1）2－x2= 0 分析：方程的左邊可以用“平方差公式”分解因式，將之分解為兩個一次因式的積，從而解之。 思考：在解方程（x＋2）2 = 4（x＋2）時，在方程兩邊都除以（x＋2），得x＋2=4，于是解得x =2，這樣解正確嗎？為什么？（不正確，這樣解使得方程少了一個解，原因在于兩邊同時除以的因式（x＋2）可能為0，而方程

43、兩邊不可以同時除以0） 四、課堂練習(xí) 1．選擇題 (1)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解為( ) A．x1＝，x2＝3 B．x＝ C．x1＝－，x2＝－3 D．x1＝，x2＝－3 (2)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根為( ) A．x1＝1，x2＝－5 B．x1＝－1，x2＝－5 C．x1＝1，x2＝5 D．x1＝－1，x2＝5 (3)一元二次方程x2＋5x＝0的較大的一個根設(shè)為m，x2－3x＋2＝0較小的根設(shè)為n，則m＋n的值為( ) A．1 B．2 C．－4 D．4 (

44、4)已知三角形兩邊長為4和7，第三邊的長是方程x2－16x＋55＝0的一個根，則第三邊長是( ) A．5 B．5或11 C．6 D．11 2．填空題 (1)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解為__________． (2)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解為__________． (3)關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解為__________． (4)方程x(x－)＝ －x的解為__________． 3．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；

45、 (4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0； (7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0． 4．用適當方法解下列方程： (1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0； (4) (2t＋3)2＝3(2t＋3)； (5)(3－y)2＋y2＝9； (6)(1＋)x2－(1－)x＝0； (7)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．

46、 5．一跳水運動員從10米高臺上跳水，他跳下的高度h(單位：米)與所用的時間t(單位：秒)的關(guān)系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求運動員起跳到入水所用的時間． 6．為解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我們可以將x2－1視為一個整體，然后設(shè)x2－1＝y(tǒng)，則y2＝(x2－1)2，原方程化為y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4． 當y＝1時，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝±．當y＝4時，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解為x1＝－，x2＝，x3＝－，x4＝． 以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想． (1)運用上述方法

47、解方程：x4－3x2－4＝0． (2)既然可以將x2－1看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎 參考答案 【同步達綱練習(xí)】 1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D 2．(1)t1＝－7，t2＝4(2)x1＝－，x2＝－2(3)y1＝－1，y2＝－(4)x1＝－m，x2＝－n(5)x1＝，x2＝－1 3．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－，x2＝；(3)x1＝0，x2＝7；(4)x1＝7，x2＝－3；(5)x1＝－5，x2＝3；(6)x1＝－1，x2＝； (7)x1＝，x2

48、＝－；(8)x1＝8，x2＝－2． 4．(1)x1＝1，x2＝3；(2)x1＝18，x2＝－14；(3)x1＝，x2＝；(4)x1＝3，x2＝－1； (5)t1＝0，t2＝－；(6)y1＝0，y2＝3；(7)x1＝0，x2＝2－3； (8)x1＝，x2＝；(9)x1≈7.24，x2＝－3.24；(10)x1＝－1，x2＝－7． 5．(1)x2－4ax＋4a2＝a2－2a＋1， (x－2a)2＝(a－1)2， ∴x－2a＝±(a－1)， ∴x1＝3a－1，x2＝a＋1． (2)x2＋(5－2k)x＋k2－5k－6＝0， x2＋(5－2k)x＋(k＋1)(k－6)＝0， ［x－

49、(k＋1)］［x－(k－6)］＝0， ∴x1＝k＋1，x2＝(k－6)． (3)x2－2mx＋m2＝9m2，(x－m)2＝(3m)2 ∴x1＝4m，x2＝－2m (4)x2＋(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0， (x＋m)［x＋(m＋1)］＝0， ∴x1＝－m，x2＝－m－1 6．(x＋4y)(x－y)＝0， x＝－4y或x＝y(tǒng) 當x＝－4y時，＝； 當x＝y(tǒng)時，＝＝0． 7．(x2＋y2)(x2＋y2－1)－12＝0， (x2＋y2)2－(x2＋y2)－12＝0， (x2＋y2－4)(x2＋y2＋3)＝0， ∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－3(舍去) 8．x

50、1＝－36，x2＝24 9．∵x2＋3x＋5＝9，∴x2＋3x＝4， ∴3x2＋9x－2＝3(x2＋3x)－2＝3×4－2＝10 10．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去) 11．(1)x1＝－2，x2＝2 (2)(x2－2)(x2－5)＝0， (x＋)(x－)(x＋)(x－)＝0 3 用一元二次方程解決問題（1） 學(xué)習(xí)目標 1、通過對實際問題的分析，進一步理解方程是刻畫客觀世界的有效模型 2、經(jīng)歷用方程解決實際問題的過程，知道解應(yīng)用問題的一般步驟和關(guān)鍵所在 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) ⑴一個正方體的表面積是216㎝2，求這個正方體的

51、棱長； ⑵一個直角三角形的面積是24㎝2，兩條直角邊的差是2㎝，求兩條直角邊長。 二、探索活動 1、如何設(shè)未知數(shù)？如何找出問題中的相等關(guān)系？ 第1情境中，可由正方體的表面積等于正方體的六個面的面積和來表示，從而得到等量關(guān)系：“棱長2×6=216㎝2”；第2情境中，由直角三角形的面積等于兩條直角邊之積的一半可得等量關(guān)系：“直角邊×直角邊÷2=24㎝2”，設(shè)所求未知量為未知數(shù)，再由這些等量關(guān)系列出方程。 2、如何解這些方程？方程的解都符合題意嗎？ 可用開平方法、配方法、公式法、因式分解法等方法解這些方程，方程的解必須要符合實際意義。 三、例題教學(xué) 例 1 已知兩個數(shù)的

52、和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)。 分析：可設(shè)其中一個數(shù)為x，由“和等于12”列代數(shù)式表示另一個數(shù)為“12－x”，再由“積等于32”列出方程“x(12－x)=32”。 例 2 某旅行社的一則廣告如下：我社組團去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，收費標準為：如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費用為800元；如果人數(shù)多于30人且不超過40人，那么每增加1人，人均旅游費用降低10，但人均旅游費用不得低于500元。甲公司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，現(xiàn)計劃用28000元組織第一批員工去旅游，問這次旅游可以安排多少人參加？ 分析：首先應(yīng)得到總費用是28000，即有等量關(guān)系“人均費用×人數(shù)=28

53、000”，若人數(shù)不超過30人，則總費用不超過30×800=24000＜28000，所以人數(shù)應(yīng)超過30人，因此又得等量關(guān)系“800元－（參加人數(shù)－30人）×10元=實際人均費用”，由此可以列出方程”[800－10(x－30)]·x = 28000”，解題過程略。 注：解出來的解必須符合實際意義且要符合條件中的“人數(shù)多于30人且不超過40人”與“人均旅游費用不得低于500元”。 小結(jié)：用一元二次方程解決實際問題要經(jīng)歷怎樣的過程？（一審、二設(shè)、三列（列代數(shù)式、列方程）、四解、五驗、六答） 四、課堂練習(xí) 1．三角形兩邊長分別是6和8，第三邊長是x2-16x+60=0的一個實數(shù)根，求

54、該三角形的面積。 2．將一條長為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長做成一個正方形． (1)要使這兩個正方形的面積之和等于17cm2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長度分別是多少? (2)兩個正方形的面積之和可能等于12cm2嗎? 若能，求出兩段鐵絲的長度；若不能，請說明理由． 3 用一元二次方程解決問題（2） 學(xué)習(xí)目標 1、進一步體會通過建立方程解決實際問題的意義和方法 2、進一步體會運用方程解決問題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系，提高分析問題、解決問題的能力 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍，四角各截去一個正方形，制成高是5

55、㎝，容積是500㎝3的無蓋長方體容器。求這塊鐵皮的長和寬。 二、探索活動 如何設(shè)未知數(shù)？如何找出表達實際問題的相等關(guān)系？這個問題中的相等關(guān)系是什么？ 一般情況下，應(yīng)設(shè)要求的未知量為未知數(shù)；應(yīng)從題中尋找未知數(shù)所表示的未知量與已知量之間的等量關(guān)系；這個問題的等量關(guān)系是“長×寬×高=容積”與“長=寬×2”。 三、例題教學(xué) 例 1 某商店6月份的利潤是2500元，要使8月份的利潤達到3600元，這兩個月利潤的月平均增長的百分率是多少？ 分析：如果設(shè)這兩個月的利潤平均月增長的百分率是x，那么7月份的利潤是2500（1＋x）元，8月份的利潤是2500（1＋x）2元。

56、 例 2 一塊起碼方形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為4㎝的小正方形，做成一個無蓋的盒子。已知盒子的容積是400㎝3，求原鐵皮的邊長。 四、課堂練習(xí) 1．某廠一月份生產(chǎn)某機器100臺，計劃二、三月份共生產(chǎn)280臺。設(shè)二三月份每月的平均增長率為x，根據(jù)題意列出的方程是（ ） A、100（1+x）2=280 B、100（1+x）+100（1+x）2=280 C、100（1-x）2=280 D、100+100（1+x）+100（1+x）2=280 2．某工程隊在我市實施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項拆遷工程，原計劃每天拆遷1250m2，因為準備工作不足，

57、第一天少拆遷了20%，從第二天開始，該工程隊加快了拆遷速度，第三天拆遷了1440m2。求：（1）該工程隊第二天第三天每天的拆遷面積比前一天增長的百分數(shù)相同，求這個百分數(shù). 3．某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求：（1）該企業(yè)2007年盈利多少萬元？（2）若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預(yù)計2009年盈利多少萬元？ 3 用一元二次方程解決問題（3） 學(xué)習(xí)目標 1、進一步認識建立方程模型

58、的作用，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識 2、在用方程解決實際問題的過程中，提高抽象、概括、分析問題的能力 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 一根長22cm的鐵絲。 （1）能否圍成面積是30cm2的矩形？ （2）能否圍成面積是32 cm2的矩形？并說明理由。 二、探索活動 分析情境問題可知：如果設(shè)這根鐵絲圍成的矩形的長是xcm，那么矩形的寬是 ____________。根據(jù)相等關(guān)系：矩形的長×矩形的寬=矩形的面積，可以列出方程求解。 思考：這根鐵絲圍成的矩形中，面積最大是多少？ 三、例題教學(xué) 例 1 如圖，在矩形ABCD中，AB=6㎝，BC=12㎝，點P從 點A沿AB向點B 以1

59、㎝/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC 向點C以2㎝/s的速度移動，問幾秒后△PBQ的面積等于8㎝2？ 分析：題中含有等量關(guān)系：S△PBQ =8㎝2，只要用點P運動的時間 來表示三角形各邊的長并代入等量關(guān)系式即可得到相應(yīng)的方程。 例 2 如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。點P沿邊AB從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿邊DA從點D開始向點A以1cm/s的速度移動。如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤3）那么，當t為何值時，△QAP的面積等于2cm2?

60、 四、課堂練習(xí) 如圖 的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向點C以的速度移動。如果P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動，問：（1）經(jīng)過幾秒，的面積等于?（2）的面積會等于10cm2嗎？會，請求出此時的運動時間； 3 用一元二次方程解決問題（4） 學(xué)習(xí)目標 1、進一步體會利用一元二次方程解決實際問題的一般規(guī)律和方法 2、增強數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，進一步提高分析問題、解決問題的能力 學(xué)習(xí)過程： 一、情境創(chuàng)設(shè) 某果園有100棵桃樹，一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量。經(jīng)試驗發(fā)現(xiàn)，每多種一棵桃樹，每棵桃樹的平均產(chǎn)量就會減

61、少2個。如果要使產(chǎn)量增加15.2%，那么應(yīng)多種多少棵桃樹？ 二、探索活動 情境問題中，應(yīng)找出等量關(guān)系“現(xiàn)有桃樹棵數(shù)×每棵桃樹的現(xiàn)產(chǎn)量=現(xiàn)在總產(chǎn)量”與“每棵桃樹的現(xiàn)產(chǎn)量=每棵桃樹的原產(chǎn)量－2×多種的桃樹棵數(shù)”，再將未知數(shù)代入列出代數(shù)式與方程即。 三、例題教學(xué) 例 1 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元，襯衫的單價應(yīng)降多少元？ 分析：如果設(shè)襯衫的單價降x元，那么商場平均每天可多售出

62、2x件，再根據(jù)等量關(guān)系“售出的襯衫件數(shù)×每件襯衫的盈利=1200元”列出方程求解。 例 2 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件。為了獲得更好的效益，公司準備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗，每年投入廣告費為x（萬元）時，產(chǎn)品年銷售量將是原銷售量的y倍，且y=如果把利潤看作是銷售額減去成本費和廣告費，試求當年利潤為16萬元時，廣告費x為多少萬元？ 分析：根據(jù)等量關(guān)系“利潤銷售額－成本費－廣告費”列方程求解。 四、課堂練習(xí) 1、有一面積為54m2的長方形花壇，現(xiàn)在將它的一邊縮短5m，另一邊縮短2m，恰好將

63、它變?yōu)橐粋€正方形花壇，求這個正方形花壇的邊長是多少？ 2、某商場銷售的電視機每臺進價為2500元，如果銷售價定為2900元時，平均每天能售出8臺，而當銷售價每降低50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要使這種電視機的銷售利潤平均每天達到5000元，問每臺電視機的定價應(yīng)為多少元？ 3、如圖，公路MN和PG在點P處交匯，且∠GPN=30°，點A處有一所幼兒園，AP=100m，假設(shè)摩托車行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪聲影響，那么摩托車在MN上沿PN方向行駛時，幼兒園是否受到噪聲影響？請說明理由。如果受影響，已知摩托車的速度是18㎏/h，那么幼兒園受影響的時間是多少？