2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 推理與證明 1.3 反證法課件 北師大版選修2-2.ppt

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1、3 反證法,1.了解間接證明的一種基本方法——反證法. 2.了解反證法的思考過程、特點. 3.會用反證法證明一些數(shù)學命題.,1.反證法的定義 (1)在證明數(shù)學命題時,要證明的結(jié)論要么正確,要么錯誤,二者必居其一.我們可以先假定命題結(jié)論的反面成立,在這個前提下,若推出的結(jié)果與定義、公理、定理相矛盾,或與命題中的已知條件相矛盾,或與假定相矛盾,從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立,由此斷定命題的結(jié)論成立.這種證明方法叫作反證法. (2)反證法是一種間接證明的方法. 【做一做1】 應用反證法推出矛盾的推導過程中可以把下列作為條件使用的是( ) ①與結(jié)論相反的判斷,即假設;②原命題的條件;③公理、定理、定

2、義等;④原結(jié)論. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 答案:C,,,,,,,,,,,,2.反證法的證題步驟 (1)作出否定結(jié)論的假設; (2)進行推理,導出矛盾; (3)否定假設,肯定結(jié)論. 【做一做2】 已知結(jié)論a,b,c不全為零,若用反證法證明時,應假設( ) A.a=b=c=0 B.a,b,c中至少有一個為零 C.a,b,c中只有一個為零 D.a,b,c中至少有一個不為零 解析:因為a,b,c不全為零,即a,b,c中至少有一個不為零,所以應假設a,b,c均為零,即a=b=c=0. 答案:A,,,,,,,題型一,題型二,題型三,題型四,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型

3、二,題型三,題型四,反思1.對結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題,此類問題的反面比較具體,適于應用反證法.例如,證明直線異面,可以假設直線共面,再把假設作為已知條件推導出矛盾. 2.反證法必須從否定結(jié)論進行推理,即應把結(jié)論的反面作為條件,且必須根據(jù)這一條件進行推證,否則,僅否定結(jié)論,不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理,就不是反證法.,題型一,題型二,題型三,題型四,,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,證明:假設a,b,c都不大于0, 即a≤0,b≤0,c≤0,得a+b+c≤0. 而a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≥π-3>

4、0, 即a+b+c>0,與a+b+c≤0矛盾. 故a,b,c中至少有一個大于0. 反思1.對于結(jié)論中含有“至多”“至少”等詞語的命題,若直接從條件推證,分情況較多,過程較煩瑣,不易證明,則可考慮用反證法證明. 2.注意“至少有一個”“至多有一個”“都是”的否定形式分別為“一個也沒有”“至少有兩個”“不都是”.,,,題型一,題型二,題型三,題型四,,題型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 已知點A和平面α.求證:經(jīng)過點A有且只有一條直線和平面α垂直. 證明:根據(jù)點A和平面α的位置關系,分兩種情況證明. (1)如圖,若點A在平面α內(nèi),假設經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB,AC,則AB,AC是兩

5、條相交直線,它們確定一個平面β,且平面β和平面α相交于經(jīng)過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α,AC⊥平面α,a?α,所以AB⊥a,AC⊥a,在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和直線a垂直,這和平面幾何中經(jīng)過直線上一點有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾.,,題型一,題型二,題型三,題型四,(2)如圖,若點A在平面α外,假設經(jīng)過點A至少有平面α的兩條垂線AB,AC(B,C為垂足),則AB,AC是兩條相交直線,它們確定一個平面β,平面β和平面α相交于直線BC.因為AB⊥平面α,AC⊥平面α,BC?α,所以AB⊥BC,AC⊥BC.在平面β內(nèi)經(jīng)過點A有兩條直線都和BC垂直,這和平面幾何中經(jīng)過直線外一點有且

6、只有一條直線與已知直線垂直相矛盾. 綜合(1)(2),知經(jīng)過點A有且只有一條直線和平面α垂直.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思1.當證明結(jié)論是“有且只有”“只有一個”“唯一”等形式的命題時,由于反設結(jié)論易于導出矛盾,所以用反證法證明“唯一”型命題比較簡單. 2.證明“有且只有一個”的問題,需要證明兩個方面,即存在性和唯一性.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓練3】 用反證法證明:過已知直線a外一點A,只有一條直線b與已知直線a平行. 解:假設過點A還有一條直線b與已知直線a平行,即b∩b=A,b∥a. 因為b∥a,所以由平行公理知b∥b. 與b∩b=A矛盾,即假設不成立. 故過已

7、知直線a外一點A,只有一條直線b與已知直線a平行.,,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯點:否定命題的結(jié)論不正確而致錯 【例4】 已知a,b,c是互不相等的非零實數(shù).求證:三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中,至少有一個方程有兩個相異實根. 錯解:假設三個方程都沒有兩個相異實根,并設判別式依次為Δ1,Δ2,Δ3,則Δ1=4b2-4ac<0,Δ2=4c2-4ab<0,Δ3=4a2-4bc<0, 三式相加,得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2<0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2<0,此不等式不成立, 故假設不成立,

8、即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根. 錯因分析:上面解法的錯誤在于認為“方程沒有兩個相異實根就有Δ180,這與三角形內(nèi)角和為180矛盾,故假設錯誤. ②所以一個三角形中不可能有兩個直角. ③假設△ABC中有兩個直角,不妨設∠A=90,∠B=90. 上述步驟的正確順序為 .(只填序號) 答案:③①②,,1 2 3 4 5,,,,,,4已知a是整數(shù),a2是偶數(shù),求證:a是偶數(shù). 證明:假設a不是偶數(shù).∵a是整數(shù),∴a是奇數(shù). 設a=2m+1(m∈Z),則a2=(2m+1)2=4m2+4m+1. ∵4m2+4m=4m(m+1)是偶數(shù), ∴4m2+4m+1是奇數(shù),即a2是奇數(shù),這與已知矛盾. ∴a是偶數(shù).,,1 2 3 4 5,,,,,,,