山東省2019中考數(shù)學(xué) 第五章 四邊形 第二節(jié) 矩形、菱形、正方形課件.ppt

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考點(diǎn)一矩形的性質(zhì)與判定(5年5考)例1如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是()A．AB＝BEB．BE⊥DCC．∠ADB＝90D．CE⊥DE,【分析】先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行分析．,【自主解答】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AD＝DE，∴DE∥BC，且DE＝BC，∴四邊形BCED為平行四邊形．∵AB＝BE，DE＝AD，∴BD⊥AE，∴?DBCE為矩形，故A選項(xiàng)不符合題意；,∵對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故B選項(xiàng)符合題意；∵∠ADB＝90，∴∠EDB＝90，∴?DBCE為矩形，故C選項(xiàng)不符合題意；∵CE⊥DE，∴∠CED＝90，∴?DBCE為矩形，故D選項(xiàng)不符合題意．故選B.,矩形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)矩形性質(zhì)的應(yīng)用：從邊上看，兩組對(duì)邊分別平行且相等；從角上看，矩形的四個(gè)角都是直角；從對(duì)角線上看，對(duì)角線互相平分且相等，同時(shí)把矩形分為四個(gè)面積相等的等腰三角形．,(2)矩形的判定方法：若四邊形可以證為平行四邊形，則還需證明一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等；若直角較多，可利用“三個(gè)角為直角的四邊形是矩形”來(lái)證．,1．(2018棗莊中考)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值為(),A,2．(2018濱州中考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45，則AF的長(zhǎng)為．,3．如圖，在?ABCD中，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.,(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，即DF∥BE.又∵DF＝BE，∴四邊形BFDE為平行四邊形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90，∴四邊形BFDE為矩形．,(2)∵四邊形BFDE為矩形，∴∠BFC＝90.∵CF＝3，BF＝4，∴BC＝＝5.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA.又∵DC∥AB，∴∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.,考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定(5年3考)例2(2017濱州中考)如圖，在?ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F；再分別以點(diǎn)B，F(xiàn)為圓心，大于BF的相同長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形．,(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過(guò)程，求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，AE＝4，求∠C的大?。?【分析】(1)利用“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”進(jìn)行判定；(2)連接BF，利用菱形的性質(zhì)，通過(guò)解直角三角形確定∠OAF的度數(shù)，從而可知∠C的度數(shù)．,【自主解答】(1)由作圖過(guò)程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAF.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴∠AEB＝∠EAF，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝AF，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴四邊形ABEF為菱形．,(2)如圖，連接BF.∵四邊形ABEF為菱形，∴BF與AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE，,∵菱形ABEF的周長(zhǎng)為16，∴AF＝4，∴∠OAF＝30，∴∠BAF＝60.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C＝∠BAD＝60.,菱形的性質(zhì)應(yīng)用及判定方法(1)判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一是證明四條邊相等；二是先證明它是平行四邊形，進(jìn)而再證明它是菱形．(2)運(yùn)用菱形的性質(zhì)時(shí)，要注意菱形的對(duì)角線互相垂直這個(gè)條件；此外，菱形的對(duì)角線所在的直線是菱形的對(duì)稱軸，運(yùn)用這一性質(zhì)可以求出線段和的最小值．,4．(2015濱州中考)順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，所得四邊形必定是()A．鄰邊不等的平行四邊形B．矩形C．正方形D．菱形,D,5．(2018日照中考)如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO.添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是菱形的是()A．AB＝ADB．AC＝BDC．AC⊥BDD．∠ABO＝∠CBO,B,6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：AF＝DC；(2)若AB⊥AC，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．,(1)證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE.∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE＝DE，BD＝CD.在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE(AAS)，∴AF＝BD，∴AF＝DC.,(2)解：四邊形ADCF是菱形．證明如下：∵AF∥BC，AF＝DC，∴四邊形ADCF是平行四邊形．∵AC⊥AB，AD是斜邊BC的中線，∴AD＝BC＝DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．,考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)與判定(5年3考)例3(2014濱州中考)如圖，已知正方形ABCD，把邊DC繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到DC′處，連接AC′，BC′，CC′，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過(guò)程．,【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)與判定得出相等的邊，從而得出圖中的等腰三角形．【自主解答】圖中的等腰三角形有△DCC′，△DC′A，△C′AB，△C′BC.推理過(guò)程：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠ADC＝90，∴DC＝DC′＝DA，,∴△DCC′，△DC′A為等腰三角形．∵∠C′DC＝30，∠ADC＝90，∴∠ADC′＝60，∴△AC′D為等邊三角形，∴AC′＝AD＝AB，∴△C′AB為等腰三角形．∵∠C′AB＝90－60＝30，∴∠CDC′＝∠C′AB，,在△DCC′和△ABC′中，∴△DCC′≌△ABC′，∴CC′＝C′B，∴△C′BC為等腰三角形．,判定正方形的方法及其特殊性(1)判定一個(gè)四邊形是正方形，可以先判定四邊形為矩形，再證鄰邊相等或者對(duì)角線互相垂直；或先判定四邊形為菱形，再證有一個(gè)角是直角或者對(duì)角線相等．(2)正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有它們的所有性質(zhì)．,7．(2018青島中考)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為．,8．已知：如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點(diǎn)H.,(1)若點(diǎn)G在點(diǎn)B的右邊．試探索：EH－BG的值是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)連接EB，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中，求∠EBH的度數(shù)．,解：(1)EH－BG的值是定值．∵EH⊥AB，∴∠GHE＝90，∴∠GEH＋∠EGH＝90.又∵∠AGD＋∠EGH＝90，∴∠GEH＝∠AGD.∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，∴∠DAG＝90，DG＝GE，∴∠DAG＝∠GHE.,在△DAG和△GHE中，∴△DAG≌△GHE(AAS)，∴AG＝EH.又∵AG＝AB＋BG，AB＝4，∴EH＝AB＋BG，∴EH－BG＝AB＝4.,(2)①如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，同(1)可證得△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴BH＝AG＝EH.又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45.,②如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，由△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG，∴AG＝BH.又∵EH＝AG，∴EH＝HB.又∵∠GHE＝90，∴△BHE是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45.,③如圖3，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，同理△DAG≌△GHE，∴GH＝DA＝AB，EH＝AG＝AB，∴△GHE(即△BHE)是等腰直角三角形，∴∠EBH＝45.綜上所述，在G點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)G與點(diǎn)A重合除外)過(guò)程中，∠EBH都等于45.,考點(diǎn)四四邊形綜合題百變例題(2018棗莊中考改編)如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG.,(1)求證：四邊形EFDG是菱形；(2)探究線段EG，GF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若求BE的長(zhǎng)．,【分析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF＝∠DFG，從而得到GD＝DF，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可證明DG＝GE＝DF＝EF；(2)連接DE，交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE，OG＝OF＝GF，然后證明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2＝FOAF，于是可得到EG，AF，GF的數(shù)量關(guān)系；,(3)過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC，垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG，然后在△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，然后再證明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng)，最后依據(jù)BE＝AD－GH求解即可．,【自主解答】(1)∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.∵由翻折的性質(zhì)可知GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG，∴GD＝DF，∴DG＝GE＝DF＝EF，∴四邊形EFDG是菱形．∵四邊形EFDG是菱形，,變式1：如圖，若點(diǎn)G在BE上，AD＝10，AB＝6，CE＝2，將△ABG沿AG折疊，點(diǎn)B恰好落在線段AE上的點(diǎn)H處．求證：(1)∠FAG＝45；(2)S△ABG＝S△EGH；(3)BG＋CE＝GE.,證明：如圖，由題意可知，BG＝GH，AE＝AD＝10，AH＝AB＝6，∠1＝∠2，∠3＝∠4.(1)∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝∠BAD＝90，∴∠2＋∠3＝∠BAD＝90＝45，即∠FAG＝45.,(2)∵AE＝10，AH＝6，∴HE＝AE－AH＝10－6＝4.設(shè)BG＝x，∴GH＝BG＝x，∴GE＝AD－BG－EC＝10－x－2＝8－x.在Rt△GHE中，∵GE2＝GH2＋HE2，∴(8－x)2＝x2＋42，∴x＝3，即GH＝BG＝3，,(3)∵GE＝8－x＝8－3＝5，BG＋EC＝3＋2＝5，∴BG＋CE＝GE.,變式2：如圖，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，若點(diǎn)M是BC邊上一點(diǎn)，連接AM，把∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí)，求BM的長(zhǎng)．,解：如圖，當(dāng)點(diǎn)B′落在矩形內(nèi)部時(shí)，連接AC.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝10，∵∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，∴∠AB′M＝∠B＝90.,當(dāng)△CMB′為直角三角形時(shí)，只能得到∠MB′C＝90，∴點(diǎn)A，B′，C共線，即∠B沿AM折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)B′處，∴MB＝MB′，AB＝AB′＝6，∴CB′＝2－6.設(shè)BM＝x，則MB′＝x，CM＝10－x，,在Rt△CMB′中，∵M(jìn)C2＝MB′2＋CB′2，(10－x)2＝x2＋(2－6)2，,如圖，當(dāng)點(diǎn)B′落在AD邊上時(shí)，此時(shí)四邊形ABMB′為正方形，∴BM＝AB＝6.綜上所述，BM的長(zhǎng)為或6.,