第八章層次分析法

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1、第八章 層次分析法 層次分析法(Analytic Hierarchy Process,簡稱 AHP) 是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方 法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。它是 美國運(yùn)籌學(xué)家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的一種 簡便、靈活而又實用的多準(zhǔn)則決策方法。 §1 層次分析法的基本原理與步驟 人們在進(jìn)行社會的、經(jīng)濟(jì)的以及科學(xué)管理領(lǐng)域問題 的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制 約的眾多因素構(gòu)成的復(fù)雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。 層次分析法為這類問題的決策和排序提供了一種新的、 簡潔而實用的建模方法。 運(yùn)用層次分析法建模，大體上可按下面

2、四個步驟進(jìn) 行： (i) 建立遞階層次結(jié)構(gòu)模型； (ii) 構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣； (iii) 層次單排序及一致性檢驗； (iv) 層次總排序及一致性檢驗。 下面分別說明這四個步驟的實現(xiàn)過程。 1.1 遞階層次結(jié)構(gòu)的建立與特點 應(yīng)用AHP分析決策問題時，首先要把問題條理化、 層次化，構(gòu)造出一個有層次的結(jié)構(gòu)模型。在這個模型下 復(fù)雜問題被分解為元素的組成部分。這些元素又按其屬 性及關(guān)系形成若干層次。上一層次的元素作為準(zhǔn)則對下 一層次有關(guān)元素起支配作用。這些層次可以分為三類： (i) 最高層：這一層次中只有一個元素，一般它是 分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。

3、 (ii) 中間層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及 的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮 的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。 (iii )最底層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)可供選 擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案 層。 遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要 分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層 次中各元素所支配的元素一般不要超過 9 個。這是因為 支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。 下面結(jié)合一個實例來說明遞階層次結(jié)構(gòu)的建立。 例1假期旅游有p、p、p 3個旅游勝地供你選擇, 試確定一個最佳地點。 p 1 p 飲食 在此問題

4、中，你會根據(jù)諸如景色、費(fèi)用、居住、飲 食和旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較 3 個侯選地點?？?以建立如下的層次結(jié)構(gòu)模型。 措施層 p 1.2 構(gòu)造判斷矩陣 層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，但準(zhǔn)則層中的各 準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者 的心目中，它們各占有一定的比例。 在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重 時，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。此外， 當(dāng)影響某因素的因子較多時，直接考慮各因子對該因素 有多大程度的影響時，常常會因考慮不周全、顧此失彼 而使決策者提出與他實際認(rèn)為的重要性程度不相一致的 數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這 一點，可作如

5、下假設(shè)：將一塊重為1千克的石塊砸成n小 塊，你可以精確稱出它們的重量，設(shè)為w...w，現(xiàn)在， 請人估計這n小塊的重量占總重量的比例Q不能讓他知道 各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且 完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。 設(shè)現(xiàn)在要比較n個因子X二｛X，…,x ｝對某因素Z的影響 大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？ Saaty等人建議 可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦 法。即每次取兩個因子X和X，以a表示X和X對Z的影 響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A二（a /表示，稱a為 Z-X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看 出，若X與X對Z的影響之比為a，

6、則X與X對Z的影響之 i j ij j i 比應(yīng)為a =丄。 ji a 定義I"若矩陣a二（a）滿足 （/ nxn G）a > 0，（“）a =丄（i, j = 1,2,…,n） i/ /i a 則稱之為正互反矩陣（易見a = 1，i = 1,…,n）。 關(guān)于如何確定a的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及 其倒數(shù)作為標(biāo)度。下表列出了 1?9標(biāo)度的含義： 標(biāo)度 1 表示兩個因素相比，具有相同重要性 3 表示兩個因素相比，前者比后者稍重要 5 表示兩個因素相比，前者比后者明顯重要 7 表示兩個因素相比，前者比后者強(qiáng)烈重要 9 表示兩個因素相比，前者比后者極端重

7、要 2，4，6， 表示上述相鄰判斷的中間值 8 若因素i與因素j的重要性之比為一，那么因 倒數(shù) ij 素j與因素i重要性之比為a =丄。 ji a j 從心理學(xué)觀點來看，分級太多會超越人們的判斷能 力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù) 據(jù)。Saaty等人還用實驗方法比較了在各種不同標(biāo)度下人 們判斷結(jié)果的正確性，實驗結(jié)果也表明，采用 1~9 標(biāo)度 最為合適。 最后，應(yīng)該指出，一般地作n(n — 1)次兩兩判斷是必要 2 的。有人認(rèn)為把所有元素都和某個元素比較，即只作n-1 個比較就可以了。這種作法的弊病在于，任何一個判斷 的失誤均可導(dǎo)致不合理的排序，而個

8、別判斷的失誤對于 難以定量的系統(tǒng)往往是難以避免的。進(jìn)行n(n — D次比較可 2 以提供更多的信息，通過各種不同角度的反復(fù)比較，從 而導(dǎo)出一個合理的排序。 1.3 層次單排序及一致性檢驗 判斷矩陣a對應(yīng)于最大特征值九的特征向量w，經(jīng) 歸一化后即為同一層次相應(yīng)因素對于上一層次某因素相 對重要性的排序權(quán)值，這一過程稱為層次單排序。 上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其它因 素的干擾，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時，其中難免包含一定程度的非一致 應(yīng)當(dāng)滿足： (1) 定義2 陣。 性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還 a a 二 a Vi,

9、j, k = 1,2,…,n ij jk ik 滿足關(guān)系式(1)的正互反矩陣稱為一致矩 需要檢驗構(gòu)造出來的(正互反)判斷矩陣 A 是否嚴(yán)重 地非一致，以便確定是否接受a。 定理1正互反矩陣a的最大特征根九必為正實 數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實數(shù)。a的其余特 征值的模均嚴(yán)格小于九。 定理2若a為一致矩陣，則 (i) A必為正互反矩陣。 (ii) A的轉(zhuǎn)置矩陣at也是一致矩陣。 (iii) A的任意兩行成比例，比例因子大于零，從而 rank( A) = 1 (同樣，A的任意兩列也成比例)。 (iv) A的最大特征值九二n，其中n為矩陣A的階。 A的其余特征根均為零。maX

10、 (V)若a的最大特征值九對應(yīng)的特征向量為 max W 二(w，…,w )t，貝U a = Wi-， Vi, j 二 1,2,…,n，即 1 n ij w j w w w —1 —1 …一1 w w w 1 2 n w w w A _ w w w 1 2 n ??? ??? ??? ??? w w w n —n ■ ■ * n w w w 1 2 n 定理3 n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最 大特征根九二n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時，必有 max 九 > n。 maX根據(jù)定理3,我們可以由九是否等于n來檢驗判斷 矩陣a是否為一致矩陣。由于特

11、征根連續(xù)地依賴于。，故 九比n大得越多，a的非一致性程度也就越嚴(yán)重，：對 應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映出 X二｛x,..., x ｝在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對 決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決 定是否能接受它。 對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下： (i) 計算一致性指標(biāo)CI CI = Xmax - n n — 1 (ii) 查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對 n = 1,...,9，Saaty給出了RI的值，如下表所示： n 1 9 2 3 4 5 6 8 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.

12、24 1.32 1.41 1.45 RI 的值是這樣得到的，用隨機(jī)方法構(gòu)造 500個樣 本矩陣：隨機(jī)地從 1~9及其倒數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反 max 矩陣，求得最大特征根的平均值九’，并定義 九'—n RI = max n —1 (iii)計算一致性比例CR RI 當(dāng)CR < 0.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否 則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。 1.4 層次總排序及一致性檢驗 上面我們得到的是一組元素對其上一層中某元素的 權(quán)重向量。我們最終要得到各元素，特別是最低層中各 方案對于目標(biāo)的排序權(quán)重，從而進(jìn)行方案選擇?？偱判?權(quán)重要

13、自上而下地將單準(zhǔn)則下的權(quán)重進(jìn)行合成。 設(shè)上一層次（A層）包含A，…,A共m個因素，它們的 層次總排序權(quán)重分別為a，…,a。又設(shè)其后的下一層次（B 層）包含n個因素B,..., B，它們關(guān)于a的層次單排序權(quán)重 1 n j 分別為b，…,b （當(dāng)B與A無關(guān)聯(lián)時，b二0）?，F(xiàn)求B層中 各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)重，即求B層各因素的層次總排序 權(quán)重b，…,b，計算按下表所示方式進(jìn)行，即b =￡ba， 1 n i ij j j=1 排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因為雖然各層次 均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗，各成對比較判斷矩 陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時，各層 次的非一致

14、性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較 嚴(yán)重的非一致性。 設(shè)B層中與A相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單 排序中經(jīng)一致性檢驗，求得單排序一致性指標(biāo)為ci（ j）， （j二1 m），相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI（j） （C/（j）、ri（j）已在層次單排序時求得），則b層總排序隨機(jī) 致性比例為 為 CI （j ）a CR =亠 遲 RI （j ）a, 當(dāng)CR < o io時，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性 并接受該分析結(jié)果。 §2 層次分析法的應(yīng)用 在應(yīng)用層次分析法研究問題時，遇到的主要困難有 兩個：（i）如何根據(jù)實際情況抽象出較為貼切的層次結(jié) 構(gòu)；（ii）如何將某些定性的

15、量作比較接近實際定量化處 理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提 出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供 了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主 要表現(xiàn)在：（i）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗，主 觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重 非一致性，卻無法排除決策者個人可能存在的嚴(yán)重片面 性。（ii）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求 較高的決策問題。 AHP 至多只能算是一種半定量（或定 性與定量結(jié)合）的方法。 AHP 方法經(jīng)過幾十年的發(fā)展，許多學(xué)者針對 AHP 的缺點進(jìn)行了改進(jìn)和完善，形成了一些新理論和新方法， 像群組決策、模糊決策和反饋系統(tǒng)理

16、論近幾年成為該領(lǐng) 域的一個新熱點。 在應(yīng)用層次分析法時，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān) 鍵的一步?，F(xiàn)再分析一個實例，以便說明如何從實際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。 例 2 挑選合適的工作。經(jīng)雙方懇談，已有三個單位 表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個 層次結(jié)構(gòu)模型，如下圖所示。 工作滿意程度 B1X研究課題 同事情況 地理位置 晝單位名氣 準(zhǔn)則層3 工作1 3 工作2 5 工作3 A B 1 B 2 B 3 B 4 B 1 1 1 4 1 B 1 1 2 4 2 B 1 1/2 1 5 3 B 1/4

17、 1/4 1/5 B 41 1 1/3 3 5 B 6 2 2 2 3 方案層C B B ~1 1/2 1 1/2 3 1/2 1 1/3 1 1 3 1 1/3 （方案層） ―1—— C 1 21/4 3 1/2 1/5 1 C 4 13 1/2 2 C 2 1/3 1 1 3 BCCC —1 1 2 3 B —3 C 2 C C BCC —2 1 2 C 1 1 3 13/4 C41 C52 3 1/3 C 15 3

18、 3 1/3 BCCC 1_ 2 v 3 C 1 1 C 1/3 1 7 C 3 1 22 1 C3 3 1/7 1 C 3 1/5 1/7 BC 5 1 CC 2 3 BC 6 1 CC 23 17 9 丄 C 1 1 21 3 7 C 1 1 C 2 1 1 7 C 2 1/7 1 1 C 3 1/7 1/7 1 C 3 1/9 1 層次總排序）如下表所示。 準(zhǔn)則 研究 發(fā)展 待遇 同事 地理 單位 課題 前途 情況 位置 名氣 總排 序權(quán) 值

19、 準(zhǔn)則層權(quán) 值 0.1507 0.1792 0.1886 0.0472 0.1464 0.2879 方案 層 單排 序 權(quán)值 工 作1 工 作2 工 作3 0.1365 0.0974 0.2426 0.2790 0.4667 0.7986 0.6250 0.3331 0.0879 0.6491 0.4667 0.1049 0.2385 0.5695 0.6694 0.0719 0.0667 0.0965 0.3952 0.2996 0.3052 根據(jù)層次總排序權(quán)值，該生最滿意的工作為工作 1。 計算程序如下： clc a=[1,1,1,4,1,1/2 1

20、,1,2,4,1,1/2 1,1/2,1,5,3,1/2 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3 1,1,1/3,3,1,1 2,2,2,3,3,1]; [x,y]=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=ei genvalue(1); ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24 w1=x(:,1)/sum(x(:,1)) b1=[1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1]; [x,y]=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1); ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci2

21、1/0.58 w21=x(:,1)/sum(x(:,1)) b2=[1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1]; [x,y]=eig(b2);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1); ci22=(lamda-3)/2;cr22=ci22/0.58 w22=x(:,1)/sum(x(:,1)) b3=[1 3 1/3;1/3 1 1/7;3 7 1]; [x,y]=eig(b3);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1); ci23=(lamda-3)/2;cr23=ci23/0.58 w23=x(:,1)/

22、sum(x(:,1)) b4=[1 1/3 5;3 1 7;1/5 1/7 1]; [x,y]=eig(b4);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1); ci24=(lamda-3)/2;cr24=ci24/0.58 w24=x(:,1)/sum(x(:,1)) b5=[1 1 7;1 1 7;1/7 1/7 1]; [x,y]=eig(b5);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(2); ci25=(lamda-3)/2;cr25=ci25/0.58 w25=x(:,2)/sum(x(:,2)) b6=[1

23、7 9;1/7 1 1 ;1/9 1 1]; [x,y]=eig(b6);eigenvalue=diag(y);lamda=e igenvalue(1); ci26=(lamda-3)/2;cr26=ci26/0.58 w26=x(:,1)/sum(x(:,1)) w_sum=[w21,w22,w23,w24,w25,w26]*w1 ci=[ci21,ci22,ci23,ci24,ci25,ci26]; cr=ci*w1/sum(0.58*w1) 習(xí)題八 1 5 1 1 6 1.若發(fā)現(xiàn)一成對比較矩陣a的非一致性較為嚴(yán)重, 應(yīng)如何尋找引起非一致性的元素？例如，設(shè)已構(gòu)造了成 對比較矩陣 1 A = 5 1 3 (i) 對A作一致性檢驗。 (ii) 如A的非一致性較嚴(yán)重，應(yīng)如何作修正。