大學(xué)物理：第4章 剛體力學(xué)

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1、一、剛體變化的物體。何狀和大小都不會發(fā)生任定義：任何情況下，形式二、剛體運動的基本形平動：.1運動稱平動。方向始終保持平行，此的空間剛體上任意兩點的連線定義：在運動過程中，ABABA B 轉(zhuǎn)動：.2oo作圓周運動線剛體上各點都繞同一直轉(zhuǎn)動：在運動過程中，固定不動，稱定軸轉(zhuǎn)動如轉(zhuǎn)軸相對所選參照系剛體運動平動轉(zhuǎn)動述三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描本特征：剛體作定軸轉(zhuǎn)動時的基圓周運動。于固定轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作剛體上各質(zhì)點都在垂直.1內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同。運動的半徑在相同時間點作圓周對位置不變，所以各質(zhì)由于剛體上各點間的相.2速度角位移、角速度、角加同的剛體中所有質(zhì)點具有相rv表示剛體角速度用矢量：右手螺旋法則。方向與轉(zhuǎn)

2、動方向的關(guān)系對剛體上任一質(zhì)點有dtd角加速度：rrvvrv2siniFziinFiF所受的力矩：一、剛體作定軸轉(zhuǎn)動時 iiiFrM力的切向分量）大?。?sin(sin iiiiiiiiizFFFrFrM向上方向：右手螺旋，圖中|.2FFF和分解為不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，將其外力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)：外力F.1體轉(zhuǎn)動不起作用；平行于轉(zhuǎn)軸的力，對剛:|F轉(zhuǎn)動平面內(nèi)），其力矩垂直于轉(zhuǎn)軸的力（即在:FFrM軸負(fù)向為負(fù)沿軸正向為正；沿規(guī)定：ZMZM:iro力的作用點相對于轉(zhuǎn)動平面 與轉(zhuǎn)軸交點 的位置矢量。ooiFifiiimir定軸二、剛體轉(zhuǎn)動定理：用牛頓第二定律：對質(zhì)點iiiiiamfFiiiiiniininamfF

3、amfF切向：法向：法向力對軸的力矩為零iiiiiramrfF）（2sinsiniii iii ii iMFrfrmr即：對整個剛體：niiiniiiiniiiirmrfrF1211)(sinsin：力對轉(zhuǎn)軸的力矩和為零由牛頓第三定律知，內(nèi)0sin1niiiirf則，剛體所受合外力矩：niiiniiiirmrFM121)(sinniiirmI12定義轉(zhuǎn)動慣量：MI剛體定軸轉(zhuǎn)動定理注：轉(zhuǎn)動慣量也可用注：轉(zhuǎn)動慣量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。IM 剛體轉(zhuǎn)動慣性三、轉(zhuǎn)動慣量I1m2moo1r2rimiroodmr.1IM分離質(zhì)點：.2niiirmI123.質(zhì)量連續(xù)分布

4、dmrdIdm2 小質(zhì)元dmrI2 則取決于三個因素：轉(zhuǎn)軸位置的分布；的大??；.3 .2 .1mm注：轉(zhuǎn)動慣量也可用注：轉(zhuǎn)動慣量也可用J表示；表示；角加速度也可用角加速度也可用 表示。表示。frdrdm2元：在圓盤上取小圓環(huán)為質(zhì)解：先求摩擦力矩：drgrrdrgrdM222所受摩擦力矩為RdrrgdMM0223312RgRRg32)(2Rmg32OR00211()2mROImR例：均勻薄圓盤質(zhì)量為，半徑為，在桌面上轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸為（如圖），圓盤與水平桌面的摩擦系數(shù)為，問角速度由到停止轉(zhuǎn)動，圓盤共轉(zhuǎn)過多少圈？經(jīng)過多少時間？圓薄盤的轉(zhuǎn)動慣量rodrIM 根據(jù)轉(zhuǎn)動定理：IMRgmRRmg34)2(322

5、2202由0gRgR834322202020gRn163220t0又0tRg3400gRt430ZF一、力矩作功的元功：力FsdFdAsdFsdFsdFZntsdFnsdFZdsFtrdFtdrFt)(MdMddA 為正；否則為負(fù)。同向，與dAdM位置，外力矩作功：當(dāng)剛體由2121MddAA積累）效應(yīng)。力矩的角積累（空間功為恒力矩若M221121()AMdMdM二、剛體的轉(zhuǎn)動動能22211 22ikiiii imEmvm r：22211 22kkii iEEm rI總轉(zhuǎn)動動能：三、剛體轉(zhuǎn)動動能定理dIddtdIMddA122122)(22121kkEEIdIMddAA能的增量矩作功等于剛體轉(zhuǎn)動

6、動在定軸轉(zhuǎn)動中，合外力四、剛體的重力勢能的重力勢能為其質(zhì)量集中于質(zhì)心點體的重力勢能剛體有一質(zhì)量中心，剛XYZiZCZCimOCPmgZE 剛體的定軸轉(zhuǎn)動等，都可以方便地用于原理、機械能守恒定律關(guān)于一般質(zhì)點組的功能動量定理一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角dtdIIM剛體定軸轉(zhuǎn)動定理：固定IdtIdM）（dtdLooirivimiiiiiiiiiiivmrvrmrrmrmI)(2）（即：IdMdt221121ILILtt剛體對固定軸的角動量時間內(nèi)，122121IIIdMdttt）（微分形式積分形式律二、剛體角動量守恒定dtIdM）（dtdL0M恒量IL討論：保持不變。度角動量守恒表現(xiàn)為角速一定，體，轉(zhuǎn)動慣量對

7、于一個定軸轉(zhuǎn)動的剛I.1仍可以轉(zhuǎn)很久。矩切斷電源后，忽略阻力例：高速轉(zhuǎn)動的砂輪，恒量時，單個剛體，當(dāng)IM0.22211 IIII，但，或者，推廣到非剛體，則有、滑冰、跳水生活中的例子：芭蕾舞恒量則如果外 2211 ,0iiiiiIIM軸轉(zhuǎn)動）幾個物體系統(tǒng)作同軸定系統(tǒng)(.3OIII人）轉(zhuǎn)動慣量：解：（12iiOrmI啞鈴的轉(zhuǎn)動慣量：222222221136.03.022296.17.0222kgmmrIkgmmrIOO兩手靠攏時：兩手伸開時：守恒，有：動量軸的力矩為零，所以角支持力）作用，但對轉(zhuǎn)、統(tǒng)雖然受到外力（重力當(dāng)人把啞鈴靠攏時，系2211)()(OOIIII人人21/2140601.5/1

8、2skgcmcms例：一個人站在無摩擦的旋轉(zhuǎn)平臺的中央，平臺以 周的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，這時他的雙臂是伸開，并且雙手都握著質(zhì)量為的啞鈴，兩手上的啞鈴相距為，當(dāng)人把啞鈴靠近到距離為時，平臺的轉(zhuǎn)速增為周。求：（）人的轉(zhuǎn)動慣量（設(shè)為恒量）（）人使啞鈴靠近后，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能增加多少？122211OOIII人)(2)(2122211nnnInIOO284.215.15.136.0196.1kgm211222)(21)(21)2(OOKIIIIE人人)()(22112222nIInIIOO人人J3.471)96.184.2(5.1)36.084.2(14.3222mgmg51成的系統(tǒng)。研究對象為棒與鉛球組解：（方法

9、一）dmgllmgMddAd)sin51sin2(時重力矩作元功：系統(tǒng)轉(zhuǎn)過角度2315(1)3mmlIml例：將一條質(zhì)量為 的細(xì)金屬棒豎直立地，然后在它的端點再裝上一個質(zhì)量為的鉛球（半徑可忽略），如圖。現(xiàn)因極微小的擾動棒自己倒下，由于接觸地面處有足夠的摩擦力，倒下的過程中棒與地面的接觸點不發(fā)生滑動。已知棒長 金屬棒對接觸點處水平軸的轉(zhuǎn)動慣量為。求棒即將著地時頂端的鉛球的速率是多少？又因為系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量著地時角速度為角速度設(shè)系統(tǒng)在豎直位置時的,002221585131mlmlmlIII鉛球棒2201122AMdII根據(jù)轉(zhuǎn)動動能定理有222/0)158(21)sin51sin2(mldmgllmg即

10、：2230852mllmglmglg821821gllv鉛球的速率：重力勢能零點。機械能守恒。取地面為只有重力作功，故系統(tǒng)中究對象。在棒倒下過程和地球組成的系統(tǒng)為研（方法二）以棒、鉛球521lmglmgE初態(tài)：22221 11 1()()2 32 5Emlm v末態(tài)：2221 11 1()()252 32 5llmgmgmlm v根據(jù)機械能守恒定律有：2222101)(61107mvlvmlmgl821glv 得：OM231145,113152 1013mkglmOImlmkN mMkgrad s 例：質(zhì)量長度的細(xì)金屬棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸 無摩擦地轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動慣量），在細(xì)金屬棒的另一端

11、再裝上一個質(zhì)量為的半徑可以忽略的小鉛球，使兩者組成剛體。先把剛體拉到水平位置，然后由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，到達(dá)最低點時對心撞擊一與彈簧（勁度系數(shù)）相連，質(zhì)量的鋼塊，碰后剛體的角速度（沿原運動方向），而鋼塊沿水平光滑地面滑行，致使彈簧壓縮，求彈簧的壓縮量。解：解：可分成三個過程求的角速度為設(shè)剛體擺至豎直位置時守恒。豎直位置過程，機械能）剛體由水平位置擺至（122152Ilmglmg2221585131mlmlmlI其中l(wèi)g821得量守恒。，剛體與鋼塊系統(tǒng)角動）剛體與鋼塊碰撞過程（2ImvlI)/(6.5smmlIIv求得鋼塊速度的過程，機械能守恒。）碰撞后鋼塊壓縮彈簧（3222121kxMv)(125.

12、02mkMvx解得彈簧壓縮量：質(zhì)點動力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動）avrr加速度：速度：位移：位置矢量：描寫運動的基本量：角加速度：角速度：角位移：角位置：描寫轉(zhuǎn)動的基本量：m質(zhì)量：描述慣性的量：dmrIrmIIii22剛體質(zhì)量連續(xù)分布：剛體由分離質(zhì)點組成時轉(zhuǎn)動慣量：描述轉(zhuǎn)動慣性的量：學(xué)的比較質(zhì)點動力學(xué)與剛體動力F力：改變運動狀態(tài)的量：質(zhì)點動力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動）FrM力矩：改變轉(zhuǎn)動狀態(tài)的量：BAPPbaabEEAsdFAFSAA保守力的功：變力的功：恒力的功：力的功：cos21)(12MdAMAA變力矩的功：恒力矩的功：力矩的功：2221rMmGEkxEmghEPPP引力勢能：彈性勢能：重力勢能

13、：勢能：為質(zhì)心坐標(biāo)）（重力勢能：CCPzmgzE 質(zhì)點動力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動）221mvEK平動動能：221IEK轉(zhuǎn)動動能：vmp動量：（對某一參考點）角動量：vmrL（對定軸）角動量：IL 21ttdtFI沖量：21ttMdtI沖量矩：amdtvmdF)(牛頓第二定律：力的瞬時作用規(guī)律：IM 轉(zhuǎn)動定律：力矩的瞬時作用規(guī)律：質(zhì)點動力學(xué)剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動）恒量當(dāng)機械能守恒定律：功能原理：質(zhì)點組：質(zhì)點：動能定理：律：力對空間的積累作用規(guī)非保內(nèi)外非保內(nèi)外非保內(nèi)保內(nèi)外pkpkpkkkkkababEEEAAEEEEEEAAEEAAAEEmvmvAab0)()(212100002221222121IIMdA轉(zhuǎn)動動能定理：規(guī)律：力矩對空間的積累作用恒矢量時，當(dāng)角動量守恒定律：角動量定理：恒矢量時，當(dāng)恒矢量時，當(dāng)動量守恒定律：動量定理：律：力對時間的積累作用規(guī)某分量某分量vmrLMdtLdMmvFvmFmvmvdtFii00012規(guī)律：力矩對時間的積累作用恒矢量時，對系統(tǒng)，當(dāng)恒矢量時，對剛體，當(dāng)角動量守恒定律：角動量定理：iittILMILMIIdtM001221剛體力學(xué)（定軸轉(zhuǎn)動）質(zhì)點動力學(xué)