高考數(shù)學(xué) 考前3個月知識方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識方法篇 專題7 解析幾何 第27練 直線與圓 文
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第27練 直線與圓 [題型分析高考展望] 直線與圓是解析幾何的基礎(chǔ)，在高考中，除對本部分知識單獨考查外，更多是在與圓錐曲線結(jié)合的綜合題中對相關(guān)知識進(jìn)行考查．單獨考查時，一般為選擇題、填空題，難度不大，屬低中檔題．直線的方程，圓的方程的求法及位置關(guān)系的判斷與應(yīng)用是本部分的重點． 體驗高考 1．(2015廣東)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0 答案 A 解析 設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0， 依題意有＝， 解得c＝5， 所以所求直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0， 故選A. 2．(2015課標(biāo)全國Ⅱ)過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN|等于( ) A．2 B．8 C．4 D．10 答案 C 解析 由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)， 則＝3(－3)＋(－1)(－9)＝0， 所以⊥，即AB⊥BC， 故過三點A，B，C的圓以AC為直徑， 得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25， 令x＝0得(y＋2)2＝24， 解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2， 所以|MN|＝|y1－y2|＝4，選C. 3．(2016課標(biāo)全國甲)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a等于( ) A．－ B．－ C. D．2 答案 A 解析 由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點到直線的距離公式得d＝＝1，解之得a＝－. 4．(2016上海)已知平行直線l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，則l1，l2的距離為________． 答案 解析 d＝＝. 5．(2016課標(biāo)全國丙)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝________. 答案 4 解析 設(shè)AB的中點為M，由題意知， 圓的半徑R＝2，|AB|＝2， 所以|OM|＝3，解得m＝－， 由解得A(－3，)，B(0,2)， 則AC的直線方程為y－＝－(x＋3)，BD的直線方程為y－2＝－x， 令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)， 所以|CD|＝4. 高考必會題型 題型一 直線方程的求法與應(yīng)用 例1 (1)若點P(1,1)為圓(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中點，則弦MN所在直線的方程為( ) A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0 (2)直線l過點(2,2)，且點(5,1)到直線l的距離為，則直線l的方程是( ) A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0 答案 (1)D (2)C 解析 (1)由題意知圓心C(3,0)，kCP＝－. 由kCPkMN＝－1，得kMN＝2， 所以弦MN所在直線的方程是2x－y－1＝0. (2)由已知，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直線l的方程為3x－y－4＝0，故選C. 點評 (1)兩條直線平行與垂直的判定 ①若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1； ②判定兩直線平行與垂直的關(guān)系時，如果給出的直線方程中存在字母系數(shù)，不僅要考慮斜率存在的情況，還要考慮斜率不存在的情況． (2)求直線方程的常用方法 ①直接法：直接選用恰當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，寫出結(jié)果； ②待定系數(shù)法：先由直線滿足的一個條件設(shè)出直線方程，使方程中含有一個待定系數(shù)，再由題給的另一條件求出待定系數(shù)． 變式訓(xùn)練1 已知直線l經(jīng)過直線3x＋4y－2＝0與直線2x＋y＋2＝0的交點P，且垂直于直線x－2y－1＝0. (1)求直線l的方程； (2)求直線l關(guān)于原點O對稱的直線方程． 解 (1)由解得 所以點P的坐標(biāo)是(－2,2)，又因為直線x－2y－1＝0， 即y＝x－的斜率為k′＝， 由直線l與x－2y－1＝0垂直可得kl＝－＝－2， 故直線l的方程為：y－2＝－2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0. (2)直線l的方程2x＋y＋2＝0在x軸、y軸上的截距分別是－1與－2， 則直線l關(guān)于原點對稱的直線在x軸、y軸上的截距分別是1與2， 所求直線方程為＋＝1， 即2x＋y－2＝0. 題型二 圓的方程 例2 (1)(2015湖北)如圖，已知圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2. ①圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________． ②圓C在點B處的切線在x軸上的截距為________． 答案?、?x－1)2＋(y－)2＝2?、冢? 解析?、儆深}意，設(shè)圓心C(1，r)(r為圓C的半徑)， 則r2＝2＋12＝2，解得r＝. 所以圓C的方程為(x－1)2＋(y－)2＝2. ②方法一 令x＝0，得y＝1，所以點B(0, ＋1)．又點C(1, )，所以直線BC的斜率為kBC＝－1，所以過點B的切線方程為y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1)． 令y＝0，得切線在x軸上的截距為－－1. 方法二 令x＝0，得y＝1，所以點B(0，＋1)．又點C(1，)，設(shè)過點B的切線方程為y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由題意，得圓心C(1，)到直線kx－y＋(＋1)＝0的距離d＝＝r＝，解得k＝1.故切線方程為x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切線在x軸上的截距為－－1. (2)已知圓C經(jīng)過點A(2，－1)，并且圓心在直線l1：y＝－2x上，且該圓與直線l2：y＝－x＋1相切． ①求圓C的方程； ②求以圓C內(nèi)一點B為中點的弦所在直線l3的方程． 解?、僭O(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 則 解得 故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. ②由①知圓心C的坐標(biāo)為(1，－2)， 則kCB＝＝－.設(shè)直線l3的斜率為k3，由k3kCB＝－1，可得k3＝2.故直線l3的方程為y＋＝ 2(x－2)，即4x－2y－13＝0. 點評 求圓的方程的兩種方法 (1)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程． (2)代數(shù)法：用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 變式訓(xùn)練2 已知圓x2＋y2＝4上一定點A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點． (1)求線段AP中點的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90，求線段PQ中點的軌跡方程． 解 (1)設(shè)AP的中點為M(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因為P點在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點為N(x，y)，連接BN. 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. 題型三 直線與圓的位置關(guān)系、弦長問題 例3 (1)(2015重慶)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點A(－4，a)作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|等于( ) A．2 B．4 C．6 D．2 答案 C 解析 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解． 由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸， ∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上， ∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． ∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2， ∴|AB|2＝40－4＝36. ∴|AB|＝6. (2)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0. ①寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出圓心坐標(biāo)和半徑大?。? ②是否存在斜率為1的直線m，使m被圓C截得的弦為AB，且OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點)．若存在，求出直線m的方程；若不存在，請說明理由． 解 (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9， 則圓心C的坐標(biāo)為(1，－2)，半徑為3. (2)假設(shè)存在這樣的直線m， 根據(jù)題意可設(shè)直線m：y＝x＋b. 聯(lián)立直線與圓的方程 得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0， 因為直線與圓相交，所以Δ>0， 即b2＋6b－9<0， 且滿足x1＋x2＝－b－1，x1x2＝， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＝x1＋b，y2＝x2＋b， 由OA⊥OB得＝x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0， 即b2＋3b－4＝0得b＝－4或b＝1， 且均滿足b2＋6b－9<0， 故所求的直線m存在， 方程為y＝x－4或y＝x＋1. 點評 研究直線與圓位置關(guān)系的方法 (1)研究直線與圓的位置關(guān)系的最基本的解題方法為代數(shù)法，將幾何問題代數(shù)化，利用函數(shù)與方程思想解題． (2)與弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d及半弦長，構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理． 變式訓(xùn)練3 已知以點C(t，)(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點． (1)求證：△OAB的面積為定值； (2)設(shè)直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程． (1)證明 ∵圓C過原點O，且|OC|2＝t2＋. ∴圓C的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋， 令x＝0，得y1＝0，y2＝； 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t， ∴S△OAB＝|OA||OB|＝|||2t|＝4， 即△OAB的面積為定值． (2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN＝－2，∴kOC＝. ∴＝t，解得t＝2或t＝－2. 當(dāng)t＝2時，圓心C的坐標(biāo)為(2,1)，|OC|＝， 此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝<， 圓C與直線y＝－2x＋4相交于兩點． 當(dāng)t＝－2時， 圓心C的坐標(biāo)為(－2，－1)，|OC|＝， 此時C到直線y＝－2x＋4的距離d＝>. 圓C與直線y＝－2x＋4不相交， ∴t＝－2不符合題意，舍去． ∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5. 高考題型精練 1．已知x，y滿足x＋2y－5＝0，則(x－1)2＋(y－1)2的最小值為( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 (x－1)2＋(y－1)2表示點P(x，y)到點Q(1,1)的距離的平方．由已知可得點P在直線l：x＋2y－5＝0上， 所以|PQ|的最小值為點Q到直線l的距離， 即d＝＝， 所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值為d2＝.故選A. 2．“m＝3”是“直線l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0與直線l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 答案 A 解析 由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0， ∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要條件． 3．若動點A，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為( ) A．3 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析 依題意知AB的中點M的集合是與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距離都相等的直線， 則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離， 設(shè)點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0， 根據(jù)平行線間的距離公式得＝?|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根據(jù)點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為＝3. 4．(2016山東)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是( ) A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離 答案 B 解析 ∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2， ∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1＝a， 圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝， 由幾何知識得2＋()2＝a2，解得a＝2. ∴M(0,2)，r1＝2. 又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1)，半徑r2＝1， ∴|MN|＝＝， r1＋r2＝3，r1－r2＝1. ∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2， ∴兩圓相交，故選B. 5．已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點A，B，O是坐標(biāo)原點，且有|＋|≥||，那么k的取值范圍是( ) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2) 答案 C 解析 當(dāng)|＋|＝||時，O，A，B三點為等腰三角形的三個頂點，其中|OA|＝|OB|，∠AOB＝120，從而圓心O到直線x＋y－k＝0(k>0)的距離為1，此時k＝；當(dāng)k>時，|＋|>||，又直線與圓x2＋y2＝4存在兩交點，故k<2，綜上，k的取值范圍是[，2)，故選C. 6．(2015課標(biāo)全國Ⅱ)已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 由點B(0，)，C(2，)，得線段BC的垂直平分線方程為x＝1，① 由點A(1,0)，B(0，)，得線段AB的垂直平分線方程為 y－＝，② 聯(lián)立①②，解得△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)為， 其到原點的距離為＝.故選B. 7．(2016山東)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． 答案 解析 由已知得， 圓心(5,0)到直線y＝kx的距離小于半徑， ∴<3，解得－下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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