高三數(shù)學12月月考試題 (2)
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江蘇省泰州市第二中學2017屆高三數(shù)學12月月考試題 一、填空題： 每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應的位置上． 1．若函數(shù)的最小正周期是，則 ． 2．若復數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值是 ． 3．已知平面向量，，且，則實數(shù) 4．.已知集合,若,則實數(shù)= . 開始 結束 是 否 輸出 （第5題） 5．右圖是某程序的流程圖，則其輸出結果為 ． 6．給出下列四個命題： （1）如果平面與平面相交，那么平面內(nèi)所有的直線都與平面相交 （2）如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 （3）如果平面⊥平面，那么平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與平面也不垂直 （4）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 真命題的序號是 ．（寫出所有真命題的序號） 7設直線ax－y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2， 則a＝________. 8．已知二次函數(shù)的值域是，則的最小值是 ． 9．設函數(shù)，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 ． 10．若動點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運動，則的取值范圍是 ． 11．在中，邊上的中線，若動點P滿足，則的最小值是 ． 12．設是函數(shù)定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在，使，則稱是的一個“次不動點”，也稱在區(qū)間上存在次不動點．若函數(shù)在區(qū)間上存在次不動點，則實數(shù)的取值范圍是 ． 13．已知函數(shù)，給定條件：，條件：，若是的充分條件，則實數(shù)的取值范圍為 14．設等差數(shù)列的前項和為，若對任意的等差數(shù)列及任意的正整數(shù)都有不等式成立，則實數(shù)的最大值為 二、解答題： 15．（本小題滿分14分） 已知△中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為，且． （1）求角的大??； 20070316 （2）設向量，，求當取最大值時，的值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，，，． （1）求證：是二面角的平面角； A B C D D1 C1 B1 A1 （2）在A1B1上是否存一點P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結論． 17．（本小題滿分14分） 如圖所示：一吊燈的下圓環(huán)直徑為4m，圓心為O，通過細繩懸掛在天花板上，圓環(huán)呈水平狀態(tài)，并且與天花板的距離為2m，在圓環(huán)上設置三個等分點A1，A2，A3。點C為上一點（不包含端點O、B），同時點C與點A1，A2，A3，B均用細繩相連接，且細繩CA1，CA2，CA3的長度相等。設細繩的總長為 （1）設∠CA1O = (rad)，將y表示成θ的函數(shù)關系式； （2）請你設計，當角θ正弦值的大小是多少時，細繩總長y最小，并指明此時 BC應為多長。 B A1 A2 C O A3 18．（本小題滿分16分） 如圖，已知：橢圓M的中心為O，長軸的兩個端點為A、B，右焦點為F，AF=5BF．若橢圓M經(jīng)過點C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5． （Ⅰ）求橢圓M的方程； （Ⅱ）已知圓O：=1，直線=1，試證明：當點P(m，n)在橢圓M上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍． x O F AF1 B C y 19．（本小題滿分16分） 已知 (1)如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式； (2)在(1)的條件下,求函數(shù)的圖像過點P(1,1)的切線方程； (3)對一切的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 20．（本小題滿分16分） 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=1，=16，單調(diào)增數(shù)列的前n項和為，，且（）． （Ⅰ）求數(shù)列、的通項公式； （Ⅱ）令（），求使得的所有n的值，并說明理由． (Ⅲ) 證明中任意三項不可能構成等差數(shù)列． 試題答案與評分標準 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分． 1．【解析】本題主要考查三角函數(shù)的周期性． 【答案】2 2．【解析】本題主要考查復數(shù)的概念和運算． 【答案】 3．【解析】本題主要考查平面向量的垂直． 【答案】3 4．【解析】3 5．【解析】本題主要考查流程圖． 【答案】 6．【解析】本題主要考查立體幾何中的平行與垂直關系． 【答案】（3）（4） 7．【解析】 【答案】0 8．【解析】本題主要考查基本不等式． 【答案】3 9．【解析】本題主要考查函數(shù)的性質． O 1 - 1 - 4 2 x y 【答案】 10．【解析】本題主要考查線性規(guī)劃． 【答案】 解答如下： 畫出可行域（如圖所示陰影部分），而，其中表示與點連線的斜率，由圖可知，故 11．【解析】本題主要考查平面向量的概念與數(shù)量積． 【答案】 解答如下： 因為且，所以點P在線段上，故，設，則，當時取最小值 12．【解析】本題主要考查函數(shù)的概念和最值． 【答案】 解答如下： 由題意，存在，使．當時，使；當時，解得．設，則由，得或（舍去），且在上遞增，在上遞減．因此當時，，所以的取值范圍是． 13 【答案】 解答如下： 可以求得通項，所以且，從而，解得，于是，故 14．【解析】 【答案】 解答如下： 由題可知動直線過定點．設點，由可求得點的軌跡方程為圓，故線段長度的最大值為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分． 15．本題主要考查平面向量的數(shù)量積、邊角關系的互化，考查運算求解能力． 解：（1）由題意， …………………………………… 2分 所以. …………………………………… 3分 因為，所以. 所以. ………………………………………………………………………………… 5分 因為，所以. ………………………………………………………………… 6分 （2）因為 …………………………………………………………… 8分 所以……………………………… 10分 所以當時，取最大值 此時（），于是 …………………………………………… 12分 所以 …………………………………………………………… 14分 16．本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查空間想象能力、推理論證能力． 證明：（1） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．…………………… 2分 又∠BAD＝∠ADC＝90，， ∴，∴BC⊥AC．…………………………………………… 5分 ∴平面，∴ 是二面角的平面角．………………………………………… 7分 （2）存在點P，P為A1B1的中點．………………………………………………………… 8分 由P為A1B1的中點，有PB1‖AB，且PB1＝AB． 又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1， ∴DC PB1為平行四邊形，從而CB1∥DP． ……………………………………… 11分 又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1． …………………………… 12分 同理，DP‖面BCB1． ………………………………………………………………… 14分 17．（Ⅰ）解：在△COA1中， B A1 A2 C O A3 ，， ………2分 = （）……7分 （Ⅱ）， 令，則 ………………10分 當時，；時，， ∵在上是增函數(shù) ∴當角滿足時，y最小，最小為；此時BCm …14分 18．Ⅰ）由題意設橢圓方程為，半焦距為c， 由AF=5BF，且AF=a+c,BF=a—c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c.（1）由題意CF⊥AB，設 點C坐標（c，y），C在M上，代入得 ∴． 由△ABC的面積為5，得，=5.（2） 解（1）（2）得a=3， c=2. ∴=9—4=5．∴所求橢圓M的方程為：． (Ⅱ) 圓O到直線=1距離d=，由點P(m,n)在橢圓M上，則，顯然，∴1，>1, ∴d =<1， 而圓O的半徑為1，直線l與圓O恒相交． 弦長t=2=2,由得， ∴, t=2, ，∴，，∴ ，弦長t的取值范圍是[]． 19．(1) 由題意的解集是即的兩根分別是 將或代入方程得， ∴ ……………4分 (2)設切點坐標是.有 將代入上式整理得 得或. 函數(shù)的圖像過點P(1,1)的切線方程為或. ……………10分 (3)由題意： 在上恒成立 即可得 設,則 令,得 (舍)，當時,;當時, ∴當時,取得最大值, =-2， .∴，即的取值范圍是. ……………16分 20．（Ⅰ）∵=，=4，∵，∴q=2， ∴ ∴b3=＝8. ∵+2?、? 當n≥2時，+2 ② ①-②得即 ∵ ∴=3，∴是公差為3的等差數(shù)列． 當n＝1時，+2，解得=1或=2， 當=1時，，此時=7，與矛盾；當時，此時此時=8=，∴． （Ⅱ）∵，∴＝，∴=2>1，=＞1，=2>1,>1，<1，下面證明當n≥5時， 事實上，當n≥5時，＝＜0 即，∵<1 ∴當n≥5時，， 故滿足條件的所有n的值為1，2，3，4． (Ⅲ)假設中存在三項p,q,r (p
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