中考數(shù)學(xué)命題研究 第一編 教材知識梳理篇 第二章 方程（組）與不等式（組）第三節(jié) 分式方程及應(yīng)用（精講）試題

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第三節(jié) 分式方程及應(yīng)用 ,貴陽五年中考命題規(guī)律) 年份 題型 題號 考查點(diǎn) 考查內(nèi)容 分值 總分 2016 未考 2015 解答 21 分式方程的 應(yīng)用 以購買書籍為背景，列分式方程解決問題 8 8 2014 解答 19 分式方程的 應(yīng)用 以高鐵為背景，列分式方程解決行程問題 8 8 2013 未考 2012 解答 17 分式方程的 應(yīng)用 以購買書為背景，解決購書價(jià)格問題 8 8 命題規(guī)律 縱觀貴陽市5年中考，在分式方程及應(yīng)用考點(diǎn)中，最多設(shè)1道題，分值8分，題型為解答題，難度不大．其中分式方程的應(yīng)用考查了3次. 命題預(yù)測 預(yù)計(jì)2017年貴陽市中考，分式方程的應(yīng)用仍然是重點(diǎn)考查內(nèi)容，在中考訓(xùn)練中應(yīng)作為重點(diǎn)訓(xùn)練內(nèi)容. ,貴陽五年中考真題及模擬) 分式方程的應(yīng)用(3次) 1．(2015貴陽21題8分)某校為了增強(qiáng)學(xué)生對中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的理解，決定購買一批相關(guān)的書籍．據(jù)了解，經(jīng)典著作的單價(jià)比傳說故事的單價(jià)多8元，用12 000元購買經(jīng)典著作與用8 000元購買傳說故事的本數(shù)相同，這兩類書籍的單價(jià)各是多少元？ 解：設(shè)傳說故事的單價(jià)為x元，則經(jīng)典著作的單價(jià)為(x＋8)元．由題意得＝，解得x＝16，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16是原方程的解，x＋8＝24. 答：傳說故事的單價(jià)為16元，經(jīng)典著作的單價(jià)為24元． 2．(2014貴陽19題8分)2014年12月26日，西南真正意義上的第一條高鐵—貴陽至廣州高速鐵路將開始試運(yùn)行，從貴陽到廣州，乘特快列車的行程約為1 800 km，高鐵開通后，高鐵列車的行程約為860 km，運(yùn)行時(shí)間比特快列車所用的時(shí)間減少了16 h．若高鐵列車的平均速度是特快列車平均速度的2.5倍，求特快列車的平均速度． 解：設(shè)特快列車的行駛速度為xkm/h，則高鐵列車的行駛速度為2.5x km/h，由題意得，－16＝，解得x＝91.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝91是原方程的解． 答：特快列車的行駛速度為91 km/h. 3．(2012貴陽17題8分)為了全面提升中小學(xué)教師的綜合素質(zhì)，貴陽市將對教師的專業(yè)知識每三年進(jìn)行一次考核．某校決定為全校數(shù)學(xué)教師每人購買一本義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》)，同時(shí)每人配套購買一本《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》(以下簡稱《解讀》)，其中《解讀》的單價(jià)比《標(biāo)準(zhǔn)》的單價(jià)多25元．若學(xué)校購買《標(biāo)準(zhǔn)》用了378元，購買《解讀》用了1 053元，請問《標(biāo)準(zhǔn)》和《解讀》的單價(jià)各是多少元？ 解：設(shè)《標(biāo)準(zhǔn)》的單價(jià)為x元，由題意得：＝，解得x＝14，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝14是原方程的根，則x＋25＝14＋25＝39. 答：《標(biāo)準(zhǔn)》的單價(jià)為14元，《解讀》的單價(jià)為39元． ,中考考點(diǎn)清單) 分式方程的概念 1．分母中含有__未知數(shù)__的方程叫做分式方程． 【溫馨提示】“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判斷一個(gè)方程是否為分式方程的依據(jù)． 分式方程的解法 2．解法步驟 (1)去分母：給方程兩邊都乘以__最簡公分母__，把它化為整式方程； (2)解這個(gè)整式方程； (3)__檢驗(yàn)__． 【溫馨提示】找最簡公分母的方法： (1)取各分式的分母中各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù)； (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到； (3)利用字母(或因式)的冪取指數(shù)最大的； (4)所得的系數(shù)的最小公倍數(shù)與各個(gè)字母(或因式)的最高次冪的積即為最簡公分母． 3．檢驗(yàn)方法 (1)利用方程的解的概念進(jìn)行檢驗(yàn)； (2)將解得的整式方程的根代入__最簡公分母__，看計(jì)算結(jié)果__是否為0__，不為0就是原方程的根；若為0，則為增根，必須舍去． (3)增根：當(dāng)分母的值為0時(shí)，分式方程__無解__，這樣的根叫做分式方程的__增根__． 【溫馨提示】分式方程的增根與無解并非同一個(gè)概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根． 分式方程的應(yīng)用(高頻考點(diǎn)) 4．列分式方程解應(yīng)用題的六個(gè)步驟 (1)審：弄清題目中涉及的已知量和未知量以及量與量之間的等量關(guān)系； (2)設(shè)：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量； (3)列：根據(jù)等量關(guān)系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)檢：雙檢驗(yàn)．A.檢驗(yàn)是否是分式方程的解；B.檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問題； (6)答：寫出答案． 5．常見關(guān)系 分式方程的應(yīng)用題主要涉及工作量問題，行程問題等，每個(gè)問題中涉及三個(gè)量的關(guān)系． 如：工作時(shí)間＝____，時(shí)間＝____． 【方法點(diǎn)撥】列分式方程解應(yīng)用題時(shí)，要驗(yàn)根作答，不但要檢驗(yàn)是否為方程的增根，還要檢驗(yàn)是否符合題意，即“雙重驗(yàn)根”． ,中考重難點(diǎn)突破) 分式方程的解法 【例1】(2016樂山中考)解方程：－3＝. 【學(xué)生解答】 解：方程兩邊同乘x－2，得1－3(x－2)＝－(x－1)，即1－3x＋6＝－x＋1，則－2x＝－6，得x＝3.檢驗(yàn)，當(dāng)x＝3時(shí)，x－2≠0.所以，原方程的解為x＝3. 【點(diǎn)撥】分式方程去分母整式方程→驗(yàn)根，去分母時(shí)防漏乘． 1．(2015濟(jì)寧中考)解分式方程＋＝3時(shí)，去分母后變形正確的為( D ) A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1) C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1) 2．(2016成都中考)分式方程＝1的解為( B ) A．x＝－2 B．x＝－3 C．x＝2 D．x＝3 3．(2016無錫中考)分式方程＝的解是__x＝4__． 4．(2016紹興中考)解分式方程：＋＝4. 解：去分母，得x－2＝4(x－1)，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝是原方程的根． 含字母系數(shù)的分式方程 【例2】(2015遵義中考)若x＝3是分式方程－＝0的根，則a的值是( ) A．5 B．－5 C．3 D．－3 【解析】根據(jù)題意，將x＝3代入到分式方程－＝0中得：－1＝0，解方程即可得a的值． 【學(xué)生解答】A 5．(2016龍東中考)關(guān)于x的分式方程＝3的解是正數(shù)，則字母m的取值范圍是( D ) A．m>3 B．m<3 C．m>－3 D．m<－3 6．(2015畢節(jié)中考)關(guān)于x的兩個(gè)方程x2－4x＋3＝0與＝有一個(gè)解相同，a＝__1__． 分式方程的應(yīng)用 【例3】(2016岳陽中考)列方程或方程組解應(yīng)用題：我市某學(xué)校開展“遠(yuǎn)足君山，磨礪意志，保護(hù)江豚，愛鳥護(hù)鳥”為主題的遠(yuǎn)足活動．已知學(xué)校與君山島相距24 km，遠(yuǎn)足服務(wù)人員騎自行車，學(xué)生步行，服務(wù)人員騎自行車的平均速度是學(xué)生步行平均速度的2.5倍，服務(wù)人員與學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，到達(dá)君山島時(shí)，服務(wù)人員所花時(shí)間比學(xué)生少用了3.6 h，求學(xué)生步行的平均速度是多少千米/小時(shí)． 【學(xué)生解答】解：設(shè)學(xué)生步行的平均速度為x km/h，則可列出方程：－＝3.6，解這個(gè)方程得x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝4是原方程的根，且符合題意． 答：學(xué)生步行的平均速度是4 km/h. 【點(diǎn)撥】審題確定等量關(guān)系→設(shè)未知數(shù)→列方程→解方程根，判斷根是否合理→確定根并作答． 7．(2016南充中考)某次列車平均提速20 km/h，用相同的時(shí)間，列車提速后行駛400 km，提速后比提速前多行駛100 km，設(shè)提速前列車的平均速度為x km/h，下列方程正確的是( A ) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 8．(2016隨州中考)某校學(xué)生利用雙休時(shí)間去距學(xué)校10 km的炎帝故里參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了20 min后，其余學(xué)生乘汽車沿相同路線出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的2倍，求騎車學(xué)生的速度和汽車的速度． 解：設(shè)騎車學(xué)生的速度是每小時(shí)x km，則汽車的速度為每小時(shí)2x km，依題意列方程得：＝＋，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是分式方程的解，且符合題意，2x＝215＝30. 答：騎車學(xué)生的速度和汽車的速度分別是每小時(shí)15 km、30 km. 9．(2016丹東中考)某商場購進(jìn)甲、乙兩種商品，乙商品的單價(jià)是甲商品單價(jià)的2倍，購買240元甲商品的數(shù)量比購買300元乙商品的數(shù)量多15件，求兩種商品單價(jià)各為多少元？ 解：設(shè)甲商品的單價(jià)為x元，乙商品的單價(jià)為2x元，根據(jù)題意，得－＝15.解這個(gè)方程，得x＝6.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是所列方程的根，∴2x＝26＝12(元)． 答：甲、乙兩種商品的單價(jià)分別為6元、12元．