2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七單元 不等式與推理證明 第46講 基本不等式練習(xí) 理（含解析）新人教A版

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1、第46講　基本不等式 1．(2016·合肥市二模)若a，b都是正數(shù)，則(1＋)(1＋)的最小值為(C) A．7 B．8 C．9 D．10 (1＋)(1＋)＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時，取“＝”，故選C. 2．小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a1，即v>a. 3．(經(jīng)典真題)若實(shí)數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(C) A. B．2 C．2 D．4 由＋＝知a>0，b>0，

2、 所以＝＋≥2 ，即ab≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝，b＝2時取“＝”， 所以ab的最小值為2. 4．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(B) A．3 B．4 C. D. 利用基本不等式， x＋2y＝8－x·(2y)≥8－()2， 整理，得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0， 即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時取等號． 5．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為____. 因?yàn)閍－3b＋6＝0，所以a－3b＝－6，所以2a＋＝2a＋2－

3、3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時取到等號． 6．如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為　20　m. 設(shè)矩形的高為y(m)，面積為S(m2)， 由三角形相似得＝，即x＋y＝40. 所以S＝xy≤()2＝400， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝20時等號成立． 7．已知x>0，y>0，且4x＋y＝1. (1)求＋的最小值； (2)求log2x＋log2y的最大值． (1)因?yàn)椋?＋)(4x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時，取“＝”． 所以＋的最小值為9. (2)log2x＋log2y＝

4、log2(xy)＝log2(·4x·y) ≤log2[()2]＝log2＝－4， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝y(tǒng)，即x＝，y＝時取“＝”． 所以log2x＋log2y的最大值為－4. 8．(2017·四川瀘化中學(xué)月考)設(shè)a>b>0，則a2＋＋的最小值是(D) A．1 B．2 C．3 D．4 (方法1)因?yàn)閍>b>0， a2＋＋＝a2＋＝a2＋ ≥a2＋＝a2＋≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝時取“＝”，故選D. (方法2)a2＋＋＝a(a－b)＋＋＋ab ≥2＋2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”． 所以a2＋＋的最小值為4. 9．(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，

5、C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為__9__． (方法1)如圖(1)， 因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△BCD， 所以ac·sin 120°＝c×1×sin 60°＋a×1×sin 60°， 所以ac＝a＋c.所以＋＝1. 所以4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝＋＋5≥2 ＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即c＝2a時取等號． (方法2)如圖(2)，以B為原點(diǎn)，BD為x軸建立平面直角坐標(biāo)系， 則D(1，0)，A(，－c)，C(，a)． 又A，D，C三點(diǎn)共線，所以＝，所以ac＝a＋c. 以下同方法

6、1. 10．某單位決定投資32000元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價(jià)400元，兩側(cè)墻砌磚，每米長造價(jià)450元，頂部每平方米造價(jià)200元，求： (1)倉庫面積S的最大允許值是多少？ (2)為使S達(dá)到最大值，而實(shí)際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計(jì)為多長？ (1)設(shè)鐵柵長為x米，兩側(cè)磚墻長為y米，且x，y>0.頂部面積S＝xy， 依題意得，400x＋900y＋200xy＝32000， 由基本不等式得 32000＝400x＋900y＋200xy≥2＋200xy ＝1200＋200xy， 即32000≥1200＋200S，即S＋6－160≤0， 令t＝(t>0)，得t2＋6t－160≤0， 即(t－10)(t＋16)≤0， 所以0