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1、第 7 頁 共 7 頁二級倒立擺的建模與MATLAB仿真 二級倒立擺的建模與MATLAB仿真 摘要：本文根據(jù)牛頓力學原理，使用機理建模法對二級倒立擺系統(tǒng)進行了建模與仿真研究。利用最優(yōu)化控制理論，研究了線性二次型最優(yōu)控制器對倒立擺系統(tǒng)進行了有效控制?；贛ATLAB程序的設(shè)計、仿真的運行，結(jié)果表明，二級倒立擺的數(shù)學建模法是切實可行的，而且十分可靠，同時利用LQR控制器實現(xiàn)了對系統(tǒng)的控制，可以達到系統(tǒng)所需要的穩(wěn)定性，魯棒性。 關(guān)鍵詞：二次型最優(yōu)控制；二級倒立擺；MATLAB1 引言 倒立擺系統(tǒng)是一個常用的、簡單的、典型的可進行控制理論研究的實驗平臺，很多難以用常規(guī)實驗研究的控制理論問題，都可以通過
2、倒立擺系統(tǒng)來進行研究從而使這些抽象的控制理論問題，通過該系統(tǒng)可以直觀的鮮明的顯示出來。所以倒立擺系統(tǒng)一直是控制領(lǐng)域的熱點，并且在這些年來在不斷的發(fā)展進步對控制理論的研究起到了重要作用。 倒立擺系統(tǒng)是一個典型的不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有多變量、強耦合、非線性等特點。同時也是仿人類行走機器人和火箭發(fā)射飛行的過程調(diào)整和直升機飛行等實際運用控制對象的最簡模型。本文建立在牛頓力學定律的基礎(chǔ)上，研究對象設(shè)置為二級倒立擺，對其進行數(shù)學建模，再使用二次型最優(yōu)控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一個最優(yōu)狀態(tài)反饋的矩陣K，然后在通過對Q和R兩個加權(quán)矩陣的嚴謹選取從而實現(xiàn)對二級倒立擺
3、系統(tǒng)良好的自動控制。2 二級倒立擺模型建立 一個典型的二級倒立擺系統(tǒng)主要由機械部分和電氣裝置兩部分組成。機械裝置的結(jié)構(gòu)主要由小車、擺桿1、擺桿2及連接軸等組成，電氣裝置的主要結(jié)構(gòu)是功率放大器、電動機、驅(qū)動電路、保護電路等。其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。 實驗假設(shè)如下：(1) 小車、擺桿1、擺桿2的材料性質(zhì)都是剛體的。(2) 小車的驅(qū)動力和放大器的輸出直接的，無滯后的作用于小車上。(3) 忽略實驗中過程中出現(xiàn)的不可避免的各種摩擦力如庫倫摩擦力等。圖1 二級倒立擺控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)二級倒立擺的參數(shù)設(shè)定如表1。表1 二級倒立擺的參數(shù)設(shè)定M 小車質(zhì)量1.328 kg 擺桿2中心到桿心距離0.222 m 擺桿1質(zhì)
4、量0.21 kgF 作用在系統(tǒng)上的外力22.916 擺桿2質(zhì)量0.186 kgg 重力加速度9.8 m/s2 質(zhì)量塊質(zhì)量0.206 kg 擺桿1中心到桿心距離0.312 m通過拉格朗日定律的利用，建立相應(yīng)的系統(tǒng)模型： 可設(shè)小車的總動能為，擺桿1的動能為 ，擺桿二的動能為 ，質(zhì)量塊的動能為 ，可得出系統(tǒng)的總動能為： (1) 由（1）可得系統(tǒng)的總動能為： +2+ (2)系統(tǒng)的勢能為： = (3) 由（2）可得系統(tǒng)的勢能為： (4)拉格朗日算子： (5)因為在廣義坐標上可忽略外力的作用，那么即可建立以下的模型方程： , (6)因為 (7) (8) (9) (10) 根據(jù)泰勒公式，在平衡處展開，并利用
5、線性化對方程進行計算可得到以下方程組： (11) 將公式（6）代入（11）可得： (12)將公式（7）(8) (9) (10)代入（12）可解出： (13)設(shè)變量，加速度為，代入,可得輸出方程：=+ (14) + (15) 3 LQR算法 我們運用線性二次型最優(yōu)控制器(linear quadratic regulator-LQR)對系統(tǒng)進行控制。LQR是能以控制和狀態(tài)變量為指標的動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制方法,在現(xiàn)代控制理論中有非常重要的意義。 （1）若給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,。 (16) （2）用表示系統(tǒng)的期望輸出。 （3）定義為系統(tǒng)的向量誤差。則指標函數(shù)為： (17)在倒立擺系統(tǒng)中,，所以，而且倒立擺
6、的控制是趨向于無窮大時系統(tǒng)的狀態(tài)問題，所以指標函數(shù)為： (18) 其中是系統(tǒng)的反饋控制，其中是系統(tǒng)方程的唯一正定解。 因為在二級倒立擺的系統(tǒng)中，小車的主要被控量是小車的位移和它上下擺的角度，是狀態(tài)變量的影響力，是對的加權(quán)在試驗中我們可選取,運用MATLAB結(jié)果分析可證明二級單擺系統(tǒng)是能控，能觀的，將表一帶入公式（13）可得出系統(tǒng)的狀態(tài)反饋矩陣為：（31.6228 136.1926 193.4166 44.8083 -127.8892 -17.8342）4 仿真分析根據(jù)上述分析的二級倒立擺控制系統(tǒng)數(shù)學模型和LQR算法，運用MATLAB仿真軟件，該系統(tǒng)的控制仿真程序如下： K =31.6228 1
7、36.1926 193.4166 44.8083 -127.8892 -17.8342; A=0 1 0 0 0 0; 0 -16.6601 -1.2973 0 0.0857 0; 0 0 0 1 0 0; 0 39.0555 18.0514 0 -7.8603 0; 0 0 0 0 0 1; 0 -68.5120 -14.4458 0 25.9635 0; B=0; 0.7270; 0; -1.7044; 0; 0.2069; C=1 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0 0; 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 1 0 0; 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 1; D=0
8、; 0; 0; 0; 0; 0; p=eig(A); num,den=ss2tf(A,B,C,D,1); printsys(num,den) Q=1000 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 10 0 0 0; 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 10 0; 0 0 0 0 0 0; Tc=ctrb(A,B); rank(Tc) To=obsv(A,C); rank(To) R=1; K=lqr(A,B,Q,R); Ac=(A-B*K); Bc=B; Cc=C; Dc=D; T=0:0.005:20; U=0.2*ones(size(T); Y,X=lsim(Ac,B
9、c,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-,T,Y(:,3),-) legend(小車位移 , 下擺角 ,上擺角) Grid通過MATLAB的仿真，我們可以得到小車位移與上下擺角之間的關(guān)系圖如圖2所示。 圖2 小車位移及上下擺角 通過圖2可以看出小車在受到一個恒定的外力作用時小車的位移變化是一個階躍的變化然后趨于穩(wěn)定。上下擺的運動是一種是上擺桿整體相對位移是比較較小的，小車在運動時帶動下擺桿的運動，下擺桿的整體的擺動幅度較大的，于是可以看出在上下兩個擺桿之間連接點處下擺桿有明顯的相對轉(zhuǎn)動，然后上下擺桿基本一致趨于穩(wěn)定。 我們可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學模型的建立可以得到
10、一個良好的控制數(shù)值，在進行MATLAB分析選取對系統(tǒng)進行控制，系統(tǒng)可以很好的穩(wěn)定，在給倒立擺干擾后大概在六秒鐘的時候系統(tǒng)趨于穩(wěn)定恢復到平衡點的位置，由圖像可以明顯的看到在給定輸入后系統(tǒng)劇烈的變化上擺角和下擺角成階躍式變化在一秒的時候達到最大值然后快速衰減在四秒的時候基本趨于穩(wěn)定，在六秒的時候系統(tǒng)到達平衡點位置，說明用數(shù)學模型和LQR算法還是可以很好的控制系統(tǒng)的。5 結(jié)論 實驗結(jié)果表明:本文從二級倒立擺的實際運用出發(fā)對系統(tǒng)的組成結(jié)構(gòu)，工作原理進行分析，希望用機理建模法在牛頓力學的基礎(chǔ)之上運用最優(yōu)控制理論對系統(tǒng)進行良好的控制，經(jīng)過數(shù)學模型的建立運算在利用LQR算法，使用MATLAB軟件對系統(tǒng)進行仿
11、真和運算，找到最優(yōu)的系統(tǒng)控制，使得系統(tǒng)在給一個階躍輸入后系統(tǒng)可以很快的穩(wěn)定下來，結(jié)果證明此次的實驗是成功的完成了系統(tǒng)的控制性能好，穩(wěn)定性高，具有較強的魯棒性的要求?？梢娺\用線性二次型最優(yōu)控制器對系統(tǒng)進行控制有很好的效果，證明二級倒立擺系統(tǒng)可以對非線性的，抽象的問題在此實驗平臺上進行研究對未來的實驗打下良好基礎(chǔ)。參考文獻1 王海英，袁立英，吳勃，控制系統(tǒng)的MATLAB仿真與設(shè)計M，北京：高等教育出版社，2009。2 李 俊，倒立擺系統(tǒng)的線性二次型狀態(tài)反饋控制J，自動測量與控制，2007，26（3）: 56-58。3 黃忠霖,周向明，控制系統(tǒng)MATLAB 計算及仿真實訓M，北京：國防工業(yè)出版社 ,
12、2006。4 黃孝平,牛秦洲，線性二次型最優(yōu)控制在倒立擺系統(tǒng)中的實現(xiàn)J，計算機測量與控制，2006,14（12）:1641-1642。5 樓順天, 于衛(wèi),基于MATLAB的系統(tǒng)分析與設(shè)計M ,西安:西安電子科技大學出版社, 1998。6 鄭大鐘，線性系統(tǒng)理論第二版M，北京:清華大學出版社,2002。7 王孝莉，倒立擺智能控制系統(tǒng)的研究D，山東：山東大學，2007。8 K.J. Astrom，K. Furuta，Swinging up a pendulum by energy control, Automatica, 2000, 36 (2): 287295.9 Q. Wu，N. Sepehri，S. He, Base-excited inverted pendulums, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems, 2002,12(2):119131.
二級倒立擺的建模與MATLAB仿真-畢業(yè)論文
