2020高考數學大一輪復習 第七章 不等式 4 第4講 基本不等式練習 理（含解析）

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1、第4講 基本不等式 [基礎題組練] 1．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab　　 B．a＋b≥2 C. ＋> D. ＋≥2 解析：選D.因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A錯誤．對于B，C，當a<0，b<0時，明顯錯誤． 對于D，因為ab>0， 所以＋≥2 ＝2. 2．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：選C.對于選項A，當x>0時，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lg x； 對

2、于選項B，當sin x<0時顯然不成立； 對于選項C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立； 對于選項D，因為x2＋1≥1， 所以0<≤1.故選C. 3．已知f(x)＝，則f(x)在上的最小值為(　　) A. B. C．－1 D．0 解析：選D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，當且僅當x＝，即x＝1時取等號．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0. 4．若實數a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：選C.因為＋＝，所以a＞0，b＞0， 由＝＋≥2＝2， 所以ab≥2(當且僅當b＝2a時取等號)， 所以ab的最小值為

3、2. 5．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，則＋的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：選C.因為lg 2x＋lg 8y＝lg 2， 所以lg(2x·8y)＝lg 2， 所以2x＋3y＝2， 所以x＋3y＝1. 因為x>0，y>0， 所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當x＝3y＝時取等號．所以＋的最小值為4.故選C. 6．若正實數x，y滿足x＋y＝2，且≥M恒成立，則M的最大值為________． 解析：因為正實數x，y滿足x＋y＝2， 所以xy≤＝＝1， 所以≥1； 又≥M恒成立， 所以M≤1，即M的最大值為1

4、. 答案：1 7．已知a>0，b>0，a＋2b＝3，則＋的最小值為________． 解析：由a＋2b＝3得a＋b＝1， 所以＋＝ ＝＋＋≥＋2＝. 當且僅當a＝2b＝時取等號． 答案： 8．已知正數x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實數λ的最小值為________． 解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(當且僅當x＝2y時取等號)，即的最大值為2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值為2. 答案：2 9．(1)當x<時，求函數y＝x＋的最大值； (2)設0

5、當x<時，有3－2x>0， 所以＋≥2＝4， 當且僅當＝， 即x＝－時取等號． 于是y≤－4＋＝－， 故函數的最大值為－. (2)因為00， 所以y＝＝·≤·＝，當且僅當x＝2－x， 即x＝1時取等號， 所以當x＝1時，函數y＝的最大值為. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求 (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 又x>0，y>0， 則1＝＋≥2 ＝. 得xy≥64， 當且僅當x＝16，y＝4時，等號成立． 所以xy的最小值為64. (2)由2x＋8y－xy＝

6、0，得＋＝1， 則x＋y＝·(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 當且僅當x＝12，y＝6時等號成立， 所以x＋y的最小值為18. [綜合題組練] 1．(應用型)已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，則m的最大值為(　　) A．9 B．12 C．18 D．24 解析：選B.由＋≥， 得m≤(a＋3b)＝＋＋6. 又＋＋6≥2＋6＝12， 當且僅當＝， 即a＝3b時等號成立， 所以m≤12，所以m的最大值為12. 2．(應用型)若正數a，b滿足a＋b＝2，則＋的最小值是(　　) A．1 B. C．9 D．16 解析：選B.＋ ＝· ＝ ≥

7、＝， 當且僅當＝，即a＝，b＝時取等號，故選B. 3．(創(chuàng)新型)規(guī)定：“?”表示一種運算，即a?b＝＋a＋b(a，b為正實數)．若1?k＝3，則k的值為________，此時函數f(x)＝的最小值為________． 解析：由題意得1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值為1， 又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3， 當且僅當＝，即x＝1時取等號， 故函數f(x)的最小值為3. 答案：1　3 4．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)因為x>0，y>0，

8、 所以由基本不等式，得2x＋5y≥2. 因為2x＋5y＝20， 所以2≤20，xy≤10， 當且僅當2x＝5y時，等號成立． 因此有解得 此時xy有最大值10. 所以u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. 所以當x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)因為x>0，y>0， 所以＋＝· ＝≥＝. 當且僅當＝時，等號成立． 由 解得 所以＋的最小值為. 5．某廠家擬定在2019年舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷量(即該廠的年產量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿足x＝3－(k為常數)．如果不搞促銷活動，那么該產品的年銷量

9、只能是1萬件．已知2019年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品平均成本的1.5倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)． (1)將2019年該產品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數； (2)該廠家2019年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？ 解：(1)由題意知，當m＝0時，x＝1(萬件)， 所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－(m≥0)， 每件產品的銷售價格為1.5×(元)， 所以2019年的利潤y＝1.5x×－8－16x－m ＝－＋29(m≥0)． (2)因為m≥0時，＋(m＋1)≥2＝8， 所以y≤－8＋29＝21，當且僅當＝m＋1?m＝3(萬元)時，ymax＝21(萬元)． 故該廠家2019年的促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大為21萬元． - 7 -