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1、小題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練13 數(shù) 列
一、選擇題
1．已知等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a6＝4，則a3a4a5＝( )
A．8 B．±8
C．16 D．－16
【答案】A
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a2a6＝a＝4，而a2，a4，a6同號(hào)，所以a4＝2，則a3a4a5＝a＝8.
2．(2019年北京豐臺(tái)區(qū)二模)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a2＝2，S9＝9，則a8＝( )
A． B．
C．0 D．－
【答案】C
【解析】設(shè){an}的公差為d，則解得d＝－，a1＝，所以a8＝a1＋7d＝0.
3．(2019年湖南邵陽(yáng)模擬)等比數(shù)列{an}的前n
2、項(xiàng)和為Sn，已知a2a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5＝( )
A．29 B．31
C．33 D．36
【答案】B
【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍2a3＝2a1，所以aq3＝2a1①.因?yàn)閍4與2a7的等差中項(xiàng)為，所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝②.聯(lián)立①②解得a1＝16，q＝，所以S5＝＝31.
4．已知等比數(shù)列{an}的公比為q，則“0＜q＜1”是“{an}為遞減數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】可舉例a1＝－1，q＝，得數(shù)列
3、的前幾項(xiàng)依次為－1，－，－，…，顯然不是遞減數(shù)列，故由“0＜q＜1”不能推出“{an}為遞減數(shù)列”；可舉例等比數(shù)列－1，－2，－4，－8，…，顯然為遞減數(shù)列，但其公比q＝2，不滿足0＜q＜1.故選D．
5．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問(wèn)中有如下問(wèn)題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問(wèn)筑堤幾日”．其大意為：官府陸續(xù)派遣1 864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開(kāi)始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人．修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40 392升，問(wèn)修筑堤壩多
4、少天？”在這個(gè)問(wèn)題中，第5天應(yīng)發(fā)大米( )
A．894升 B．1 170升
C．1 275升 D．1 467升
【答案】B
【解析】由題意知每天派出的人數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為64，公差為7的等差數(shù)列，則第5天的總?cè)藬?shù)為5×64＋×7＝390，所以第5天應(yīng)發(fā)大米390×3＝1 170升．
6．(2019年湖南岳陽(yáng)一模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝，則a2 019＝( )
A．2 018 B．2 019
C．4 036 D．4 038
【答案】B
【解析】∵a1＝1，Sn＝，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－，即＝.
∴＝＝…＝＝1.∴
5、an＝n.∴a2 019＝2 019.
7．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2，Sn，an成等差數(shù)列，則S17＝( )
A．0 B．－2
C．2 D．34
【答案】C
【解析】由2，Sn，an成等差數(shù)列，得2Sn＝an＋2，① 即2Sn＋1＝an＋1＋2.②?、冢伲淼茫剑?.又2a1＝a1＋2，∴a1＝2.∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為－1的等比數(shù)列，∴S17＝＝2.
8．若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，則使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是( )
A．2 017 B．2 0
6、18
C．4 034 D．4 035
【答案】C
【解析】∵a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，∴d＜0，a2 017＞0，a2 018＜0，∴S4 034＝＝＞0，S4 035＝＝4 035a2 018＜0，∴使前n項(xiàng)和Sn＞0成立的最大正整數(shù)n是4 034.
9．(2019年江西南昌二模)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，則ap－aq＝( )
A．－5 B．10
C．15 D．20
【答案】D
【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(
7、n－1)2＋3n－3＝4n－5.a1＝S1＝－1適合上式，所以an＝4n－5.所以ap－aq＝4(p－q)．因?yàn)閜－q＝5，所以ap－aq＝20.
10．已知數(shù)列{an}中，a1＝a，an＋1＝3an＋8n＋6，若{an}為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A．(－7，＋∞) B．(－5，＋∞)
C．(3,7) D．(5,7)
【答案】A
【解析】由an＋1＝3an＋8n＋6，得an＋1＋4(n＋1)＋5＝3(an＋4n＋5)，即＝3，∴數(shù)列{an＋4n＋5}是首項(xiàng)為a＋9，公比為3的等比數(shù)列．∴an＋4n＋5＝(a＋9)3n－1，即an＝(a＋9)3n－1－4n－5.∴a
8、n＋1＝(a＋9)3n－4n－9.∵數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴an＋1>an，即(a＋9)3n－4n－9>(a＋9)·3n－1－4n－5，即(a＋9)3n>6恒成立．∵n∈N*，
∴a＋9>＝2恒成立，解得a>－7.故選A．
11．等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公比為－，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)n∈N*時(shí)，Sn－的最大值與最小值的比值為( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，Sn＝＝1－n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝1＋n，n≥1，則有1＜Sn≤；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝1－n，n≥2，則有≤Sn＜1.∴≤Sn≤，且Sn≠1.設(shè)Sn＝t，f(t)＝Sn－＝t
9、－，則f′(t)＝1＋＞0，∴f(t)在區(qū)間和上都是增函數(shù)，∴Sn－的最大值為f＝，最小值為f＝－，則Sn－的最大值與最小值的比值為－.
12．已知函數(shù)f(x)＝把函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列{an}，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝ B．a(chǎn)n＝n－1
C．a(chǎn)n＝(n－1)2 D．a(chǎn)n＝2n－2
【答案】B
【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝x，即2x－1＝x，解得x＝0；當(dāng)0＜x≤1時(shí)，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－1)＝x－1，故x－1＝0，解得x＝1；當(dāng)n－1＜x≤n時(shí)，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即
10、f(x－2)＋2＝x，即f(x－3)＋3＝x，…，即f(x－n)＋n＝x，即f(x－n)＝x－n，故x－n＝0，解得x＝n.故g(x)＝f(x)－x的零點(diǎn)為0,1,2,3,4,5，…，n－1，…，所以其通項(xiàng)公式為an＝n－1.故選B．
二、填空題
13．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1＝3，a4＋5是a2＋5和a8＋5的等比中項(xiàng)，則a10＝________.
【答案】75
【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知可得(a4＋5)2＝(a2＋5)(a8＋5)，∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)．∵d≠0，∴d＝8，∴a10＝a1＋9d＝75.
14．(2019年江蘇無(wú)錫
11、一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3，S9，S6成等差數(shù)列，且a2＋a5＝4，則a8的值為_(kāi)_______．
【答案】2
【解析】設(shè)公比為q，當(dāng)q＝1時(shí)顯然不符合題意，則由題意得得a1q＝8，q3＝－，∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝2.
15．(2019年陜西西安一模)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<－4成立的最小自然數(shù)n的值為_(kāi)_______．
【答案】16
【解析】因?yàn)閍n＝log2，所以Sn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝log2＝log2.若Sn<－4，則<，即n>15，則使Sn<－4成立的最小自然數(shù)n的值為16.
16．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則a3＝________，S1＋S2＋…＋S100＝________.
【答案】－
【解析】由已知得S3＝－a3－，S4＝a4－，兩式相減，得a4＝a4＋a3－＋，∴a3＝－＝－.已知Sn＝(－1)nan－，①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，兩式相減，得an＋1＝an＋1＋an＋，∴an＝－；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，兩式相減，得an＋1＝－an＋1－an＋，即an＝－2an＋1＋＝.綜上，an＝∴Sn＝
∴S1＋S2＋…＋S100＝－＝－＝.
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