2020屆高考數學二輪復習 第二部分 專題五 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線專題強化練 理

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1、第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 A級　基礎通關 一、選擇題 1．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，則(　　) A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b 解析：由e＝＝，則a＝2c. 又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2. 答案：B 2．(2019·天一聯(lián)考)設雙曲線C：－＝1的左右焦點分別為F1、F2，過點F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點，其中M在左支上，點N在右支上，若∠F2MN＝∠F2NM，則|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．8 D．4 解析：由∠F2MN＝∠F2NM，知|F2M|＝|F2N|， 又|M

2、F2|－|MF1|＝4，|NF1|－|NF2|＝4. 兩式相加，得|NF1|－|MF1|＝8， 故|MN|＝|NF1|－|MF1|＝8. 答案：C 3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，在△AFB中，|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF＝， 由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF| cos ∠ABF＝100＋64－2×10×8×＝36， 所以|AF|

3、＝6，∠BFA＝90°， 設F′為橢圓的右焦點，連接BF′，AF′. 根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形． 所以|BF′|＝6，|FF′|＝10，所以2a＝8＋6，2c＝10， 解得a＝7，c＝5，所以e＝＝. 答案：B 4．(2019·長郡中學模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若點F2關于雙曲線漸近線的對稱點A滿足∠F1AO＝∠AOF1(O為坐標原點)，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：設F2A與漸近線y＝x交于點M，且O，M分別為F1F2、F2A的中點， 故OM∥F1

4、A，則F1A⊥F2A，OA＝OF1＝c. 又∠F1AO＝∠AOF1，所以△F1OA為正三角形， 所以∠MOF2＝， 故雙曲線的漸近線為y＝±x. 答案：A 5．(2019·全國卷Ⅱ)設F為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于P，Q兩點．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B. C．2 D. 解析：設雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點F的坐標為(c，0)．由圓的對稱性及條件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF為直徑的圓的直徑，且PQ⊥OF. 設PQ與OF交于點M，連接OP，如

5、圖所示． 則|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝， 由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2，得2·＝a2， 故＝，離心率e＝. 答案：A 二、填空題 6．(2019·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線x2－＝1(b＞0)經過點(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是________． 解析：因為雙曲線x2－＝1(b＞0)經過點(3，4)，則9－＝1(b＞0)，解得b＝，即雙曲線方程為x2－＝1， 因此雙曲線的漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 7．(2019·珠海調研)已知直線l是拋物線y2＝2px(p＞0)的準線，半徑為3的圓過拋物線頂點O和焦點F，且與直線l相切，則

6、拋物線的方程為________． 解析：由已知圓心在OF的中垂線上，故圓心到準線的距離為p，所以p＝3，所以p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x. 答案：y2＝8x 8．(2019·全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為________． 解析：設F1為橢圓的左焦點，分析可知點M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x＋4)2＋y2＝64上． 因為點M在橢圓＋＝1上， 所以聯(lián)立方程可得解得 又因為點M在第一象限，所以點M的坐標為(3，)． 答案：(3，) 三、解答題 9．(2018·全國卷Ⅱ)設

7、拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8. (1)求l的方程； (2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程． 解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. (2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－

8、2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. 10．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－； (2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0. 證明：||，||，||成等差數列，并求該數列的公差． (1)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0. 由題設知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題

9、設得0

10、理得7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 所以該數列的公差為或－. B級　能力提升 11．(2019·全國卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(　　) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：設橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)．連接F1A，令|F2B|＝m，則|AF2|＝2m，|BF1|＝3m. 由橢圓的定義知，4m＝2a， 得m＝， 故|F2A|＝a＝|F1A|，則點A為橢圓C的上頂點或下

11、頂點．如圖． 不妨設A(0，－b)，由F2(1，0)，＝2，得B. 由點B在橢圓上，得＋＝1， 得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，橢圓C的方程為＋＝1. 答案：B 12．(2019·天津卷)設橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上，若|ON|＝|OF|(O為原點)，且OP⊥MN，求直線PB的斜率． 解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意2b＝4，得b＝2. 又e＝＝，且a2＝b2＋c2＝4＋c2， 解之得a＝，c＝1. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2)由題意，設P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．設直線PB的斜率為k(k≠0)， 又B(0，2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0， 可得xP＝－， 代入y＝kx＋2得yP＝， 進而直線OP的斜率為＝. 在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－. 由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－. 由OP⊥MN，得·＝－1，化簡得k2＝， 從而k＝±. 所以，直線PB的斜率為或－. - 7 -