2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 解答題（二）文

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1、解答題(二) 17．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，已知2acos2＋2ccos2＝b. (1)求證：2(a＋c)＝3b； (2)若cosB＝，S＝，求b. 解　(1)證明：由已知得，a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝b. 由余弦定理可得a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b. (2)∵cosB＝(B∈(0，π))，∴sinB＝. ∵S＝acsinB＝ac＝，∴ac＝8. 又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)， 2(a＋c)＝3b， ∴b2＝－16×. ∴b＝4. 18．(2019·河北唐山一模)如圖，在△

2、ABC 中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，以EF為折痕把△AEF折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PB＝BE. (1)證明：BC⊥平面PBE； (2)求點(diǎn)F到平面PEC的距離． 解　(1)證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因?yàn)锽E∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，所以BC⊥平面PBE. (2)如圖，取BE的中點(diǎn)O，連接PO，由(1)知BC⊥平面PBE， BC?平面BCFE， 所以平面PBE⊥平面BCFE，因?yàn)镻B＝BE＝PE，所以PO⊥BE， 又因?yàn)镻O?平面PBE

3、，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE, 在Rt△POC中，PC＝＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝2， 在△PEC中，PC＝EC＝2，PE＝2，所以S△PEC＝，又S△ECF＝2，設(shè)點(diǎn)F到平面PEC的距離為d，由VF－PEC＝VP－ECF得S△PEC·d＝S△ECF·PO， 即×d＝2×，所以d＝. 即點(diǎn)F到平面PEC的距離為. 19．(2019·黑龍江哈爾濱六中第二次模擬)某大型商場(chǎng)去年國(guó)慶期間累計(jì)生成2萬(wàn)張購(gòu)物單，從中隨機(jī)抽出100張，對(duì)每單消費(fèi)金額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到下表： 消費(fèi)金額(單位：元) [0,200] (200,400] (400,600] (6

4、00,800] (800,1000] 購(gòu)物單張數(shù) 25 25 30 ？ ？ 由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)已無(wú)法辨識(shí)，但當(dāng)時(shí)記錄表明，根據(jù)由以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所估計(jì)出的每單消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等．用頻率估計(jì)概率，完成下列問題： (1)估計(jì)去年國(guó)慶期間該商場(chǎng)累計(jì)生成的購(gòu)物單中，單筆消費(fèi)金額超過800元的概率； (2)為鼓勵(lì)顧客消費(fèi)，該商場(chǎng)打算在今年國(guó)慶期間進(jìn)行促銷活動(dòng)，凡單筆消費(fèi)超過600元者，可抽獎(jiǎng)一次，中一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的顧客可以分別獲得價(jià)值500元、200元、100元的獎(jiǎng)品．已知中獎(jiǎng)率為100%，且一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率依次構(gòu)成等比數(shù)列

5、，其中一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率為.若今年國(guó)慶期間該商場(chǎng)的購(gòu)物單數(shù)量比去年同期增長(zhǎng)5%，預(yù)測(cè)商場(chǎng)今年國(guó)慶期間采購(gòu)獎(jiǎng)品的開銷． 解　(1)因消費(fèi)金額在區(qū)間[0,400]的頻率為0.5，故中位數(shù)估計(jì)值即為400. 設(shè)所求概率為p，而消費(fèi)金額在(0,600]的概率為0.8，故消費(fèi)金額在區(qū)間(600,800]內(nèi)的概率為0.2－p. 因此消費(fèi)金額的平均數(shù)可估計(jì)為100×0.25＋300×0.25＋500×0.3＋700×(0.2－p)＋900×p. 令其與中位數(shù)400相等，解得p＝0.05. (2)設(shè)等比數(shù)列公比為q(q＞0)，根據(jù)題意＋＋＝1，即q2＋q－20＝0，解得q＝4. 故一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等

6、獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率分別為，，. 今年的購(gòu)物單總數(shù)約為20000×1.05＝21000. 其中具有抽獎(jiǎng)資格的單數(shù)為21000×(0.15＋0.05)＝4200， 故一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)單數(shù)可估計(jì)為200,800,3200. 于是，采購(gòu)獎(jiǎng)品的開銷可估計(jì)為200×500＋800×200＋3200×100＝580000(元)． 20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)F(1,0)，直線l：x＝－1，動(dòng)直線l′垂直l于點(diǎn)H，線段HF的垂直平分線交l′于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C. (1)求曲線C的方程； (2)以曲線C上的點(diǎn)Q(x0，y0)(y0>0)為切點(diǎn)作曲線C的切線l1，設(shè)l1分別與x軸、y軸交于

7、A，B兩點(diǎn)，且l1恰與以定點(diǎn)M(a,0)(a>2)為圓心的圓相切，當(dāng)圓M的面積最小時(shí)，求△ABF與△QAM面積的比． 解　(1)由題意得|PH|＝|PF|， ∴點(diǎn)P到直線l：x＝－1的距離等于它到定點(diǎn)F(1,0)的距離，∴點(diǎn)P的軌跡是以l為準(zhǔn)線，F(xiàn)為焦點(diǎn)的拋物線，∴點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2＝4x. (2)解法一：由y2＝4x，當(dāng)y>0時(shí)，y＝2， ∴y′＝， ∴以Q為切點(diǎn)的切線l1的斜率為k＝， ∴以Q(x0，y0)(y0>0)為切點(diǎn)的切線方程為y－y0＝(x－x0)， 即y－y0＝，整理得4x－2y0y＋y＝0. 令x＝0，則y＝，∴B， 令y＝0，則x＝－＝－x0，∴A(

8、－x0,0)， 點(diǎn)M(a,0)到切線l1的距離d＝＝＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)y0＝2時(shí)，取等號(hào))． ∴當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(a－2,2)時(shí)，滿足題意的圓M的面積最小． 此時(shí)A(2－a,0)，B(0，)． S△ABF＝|1－(2－a)|||＝(a－1)， S△AQM＝|a－(2－a)||2|＝2(a－1)·. ∴＝，∴△ABF與△QAM面積之比為1∶4. 解法二：由題意知切線l1的斜率必然存在， 設(shè)為k，則l1：y－y0＝k(x－x0)． 由得y－y0＝k， 即y2－y＋y0－y＝0， 由Δ＝0，得k＝， ∴l(xiāng)1：4x－2y0y＋y＝0. 以下解答同解法一． 21．(2019·河北

9、中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex－x－a(a∈R)． (1)當(dāng)a＝0時(shí)，求證：f(x)＞x； (2)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解　(1)證明：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－x，令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，則g′(x)＝ex－2， 當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝ln 2；當(dāng)x＜ln 2時(shí)，g′(x)＜0， x＞ln 2時(shí)，g′(x)＞0， 所以g(x)在(－∞，ln 2)上單調(diào)遞減，在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x＝ln 2是g(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln ＞0，故當(dāng)a＝0時(shí)，f(x

10、)＞x成立． (2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0得x＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＞0， 所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以x＝0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)， 即f(x)min＝f(0)＝1－a.當(dāng)1－a＞0，即a＜1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)1－a＝0，即a＝1時(shí)，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)1－a＜0，即a＞1時(shí)，因?yàn)閒(－a)＝e－a－(－a)－a＝e－a＞0，所以f(x)在(－a,0)上只有一個(gè)零點(diǎn)．由(1)，得ex＞2x，令x＝a，則得ea＞2a，所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a＞0，于是f(x)

11、在(0，a)上有一個(gè)零點(diǎn)．因此，當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． 綜上，當(dāng)a＜1時(shí)，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)． 22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．直線l與x軸交于點(diǎn)A.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，射線l′：θ＝(ρ≥0)，直線l與射線l′交于點(diǎn)B. (1)求B點(diǎn)的極坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P是橢圓C：x2＋＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的最大值及面積最大時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)． 解　(1)l：y＝(x－)＝x－3， 則l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝ρcosθ－3. 令θ＝得ρ＝3

12、，∴B點(diǎn)的極坐標(biāo)為. (2)∵|AB|＝|OA|＝，∴S＝. 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(cosα，sinα)， l：x－y－3＝0. ∴d＝＝|(cosα－sinα)－| ＝. 當(dāng)α＋＝π＋2kπ(k∈Z)時(shí)，dmax＝， ∴Smax＝. 此時(shí)cosα＝cos＝－，sinα＝sin＝， ∴P點(diǎn)坐標(biāo)為. 23．設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|. (1)求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若直線y＝a與曲線y＝f(x)圍成的封閉區(qū)域的面積為9，求a的值． 解　(1)①當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝3x－3≥3； ②當(dāng)－16. 故y＝f(x)，y＝6，y＝a圍成的梯形面積為3. 令f(x)＝3x－3＝a?x1＝； 令f(x)＝3－3x＝a?x2＝， 故梯形面積為(a－6)＝3， ∴a＝3. - 6 -