《2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題（含解析）（40頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題16導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題最新考綱1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題(生活中的優(yōu)化問(wèn)題).重點(diǎn)難點(diǎn)突破【題型一】導(dǎo)數(shù)與不等式命題點(diǎn)1證明不等式【典型例題】當(dāng)xye1時(shí)，證明不等式：exln（1+y）eyln（1+x）【解答】證明：不等式exln（1+y）eyln（1+x）即為ex+1ln（1+y）ey+1ln（1+
2、x），由x+1y+1e，即有構(gòu)造函數(shù)h（t），則h（t），可知函數(shù)在（e，+）上h（t）0，即函數(shù)h（x）在（e，+）上單調(diào)遞增，由于xye1，可得x+1y+1e，即有，即為exln（1+y）eyln（1+x）【再練一題】（1）證明不等式ln（1+x）x，x0（2）在數(shù)列an中已知a1，且1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an【解答】解：（1）設(shè)對(duì)（x）求導(dǎo)，得：當(dāng)x0時(shí)，（x）0，（x）在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，（x）（0）0，即，同理可證ln（x+1）x，x（2）1，等式兩邊取倒數(shù)得，即111（）1，則當(dāng)n2時(shí)，11，1，1，1，等式兩邊同時(shí)相加得n11n1，即n12+n1n+1，即an，當(dāng)n
3、1時(shí)，a1不滿足an，故an命題點(diǎn)2不等式恒成立或有解問(wèn)題【典型例題】已知函數(shù)f（x）lnxx2ax（）當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf（x）則x1處的切線方程；（）若f（x）0恒成立，求a的取值范圍【解答】解：（1）a1時(shí)，函數(shù)f（x）lnxx2x，可得f（x）2x1，所以f（1）2，x1時(shí)，f（1）2曲線yf（x）則x1處的切線方程；y+22（x1）即：y2x；（2）由條件可得lnxx2ax0（x0），則當(dāng)x0時(shí)，a恒成立，令h（x）（x0），則h（x），令k（x）1x2lnx（x0），則當(dāng)x0時(shí)，k（x）2x0，所以k（x）在（0，+）上為減函數(shù)又k（1）0，所以在（0，1）上，h（x）0；在（1，
4、+）上，h（x）0所以h（x）在（0，1）上為增函數(shù)；在（1，+）上為減函數(shù)所以h（x）maxh（1）1，所以a1【再練一題】已知函數(shù)f（x）alnx（a0）（）若函數(shù)yf（x）圖象上各點(diǎn)切線斜率的最大值為2，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；（）若不等式f（x）2有解，求a的取值范圍【解答】解：（）f（x）（x0）a0，當(dāng)時(shí)，f（x）取最大值，a0，a4此時(shí)f（x），在（0，）上，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，在（，+）上，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）的極小值點(diǎn)為x，無(wú)極大值點(diǎn)（）f（x），其中x0且a0，在（0，）上，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，在（，+）上，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增
5、，f（x）f（）a+aln關(guān)于x的不等式f（x）2有解，a+aln2，a0，0，令g（x）lnx+1x，g（x），在（0，1）上，g（x）0，g（x）單調(diào)遞增，在（1，+）上，g（x）0，g（x）單調(diào)遞減，g（x）g（1）0，0等價(jià)于0且a的取值范圍是a0且a2思維升華 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法證明f(x)g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，利用F(x)的單調(diào)性證明(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問(wèn)題的策略首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，求出參數(shù)的取值范圍也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題【題型二】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題【典型例題】函數(shù)
6、f（x）ax3+3x21存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則實(shí)數(shù)a的范圍為（）A（，2）B（，2）C（2，+）D（2，+）【解答】解：（i）當(dāng)a0時(shí)，f（x）3x2+1，令f（x）0，解得x，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，舍去（ii）當(dāng)a0時(shí)，f（x）3ax2+6x3ax（x），令f（x）0，解得x0或當(dāng)a0時(shí)，0，當(dāng)x或x0，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)0x時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增故x是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)函數(shù)f（x）ax3+3x21存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則f（）110，即a24得a2（舍）或a2當(dāng)a0時(shí)，0，當(dāng)x或x0時(shí)，f（x）0，
7、此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減x是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)，0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)f（0）10，函數(shù)f（x）在（0，+）上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足條件綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，2）故選：A【再練一題】已知函數(shù)f（x）exxa（aR）（1）當(dāng)a0時(shí)，求證：f（x）x；（2）討論函數(shù)f（x）在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相對(duì)應(yīng)的a的取值范圍【解答】（1）證明：當(dāng)a0時(shí)f（x）exx 令g（x）f（x）xexxxex2x則g（x）ex2令g（x）0得xln2 當(dāng)xln2時(shí)，g（x）0，當(dāng)xln2時(shí)，g（x）0所以g（x）在（，ln 2）內(nèi)是減函數(shù)在（ln2
8、，+）內(nèi)是增函數(shù)，所以xln2是g（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值，即g（x）ming（ln2）eln22ln22ln0故當(dāng)a0時(shí)，f（x）x成立（2）解：f（x）ex1，由f（x）0得x0當(dāng)x0時(shí)，f（x）0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0所以f（x）在（，0）上是減函數(shù)，在（0+）內(nèi)是增函數(shù)，所以x0是函數(shù)f（x）的極小值同時(shí)也是最小值點(diǎn)， 即f（x）minf（0）la，當(dāng)1a0，即al時(shí)，f（x）在R上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)1a0，即a1時(shí)，f（x）在R上只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)la0，即al時(shí)，因?yàn)閒（a）ea（a）aea0 所以f（x）在（，0）內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，由（1）得ex2x，令xa，則得ea2a 所以f（a）
9、eaaaea2a0于是f（x）在（0，+）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；因此當(dāng)a1時(shí)，f（x）在R上有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)al時(shí)，函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)零點(diǎn)思維升華 利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(函數(shù)的零點(diǎn))的策略研究方程的根或曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題可利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、單調(diào)性、變化趨勢(shì)等，從而畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)【題型三】利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問(wèn)題【典型例題】如圖，某濕地公園ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2km正方形區(qū)域，以B為圓心，以1km為半徑有一塊四分之一圓形水域，
10、其余區(qū)域?yàn)椴莸貫榉奖闶忻裥蓍e觀光，市政府計(jì)劃修建一條從A到C的道路，路線是AEEFFC，要求：E、F分別在線段AM、NC上，且EF與圓弧MN相切于H已知：AE段、FC段的修建費(fèi)用均是m萬(wàn)元/km，EF段的修建費(fèi)用是3m萬(wàn)元/km（其中m是正常數(shù)）記從A到C修建道路的總費(fèi)用為y（單位：萬(wàn)元）（1）設(shè)HBC（rad），將y表示成的函數(shù)；（2）問(wèn)：E，F(xiàn)分別選在何處時(shí)，修建道路的總費(fèi)用最小？并求出最小費(fèi)用【解答】解：（1）由題意知，BEHHBC，又BHEF，可得，故，當(dāng)E與A重合時(shí)，；當(dāng)F與C重合時(shí)，故，其中 （2）由于，所以sincos0，又，故sincos+（3sincos）（cos+sin）0
11、由y0得，sincos，故 當(dāng)時(shí)，y0，y關(guān)于在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，y0，y關(guān)于在單調(diào)遞增 因而，當(dāng)時(shí)，此時(shí)， 答：E，F(xiàn)與B均相距km時(shí)，修建道路的最小費(fèi)用是萬(wàn)元 【再練一題】如圖，矩形ABCD是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路MN（寬度不計(jì)）經(jīng)過(guò)該矩形區(qū)域，其中MN都在矩形ABCD的邊界上，已知AB8，AD6（單位：百米），小路MN將矩形ABCD分成面積為S1，S2（單位：平方百米）的兩部分，其中S1S2，且點(diǎn)A在面積為S1的區(qū)域內(nèi)，記小路MN的長(zhǎng)為l百米（1）若l4，求S1的最大值；（2）若S22S1，求l的取值范圍【解答】解：由題意，折痕有下列三種情形：折痕的端點(diǎn)
12、M，N分別在邊AB，AD上；折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上；折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上（1）在情形中，MN6故當(dāng)l4時(shí)，折痕必定是情形設(shè)AMxcm，ANycm則x2+y2162xy，可得xy8，當(dāng)且僅當(dāng)xy2時(shí)取等號(hào)Sxy4，此時(shí)最大值為4（2）由長(zhǎng)方形的面積S6848S22S1，S232，S116（i）當(dāng)折痕是情形時(shí)設(shè)AMxcm，ANycm，可得xy16，即y由0x8，6，可得：x8l，x8令tx2，則t64設(shè)g（t），g（t）1，令g（t）10，解得t32g（t）ming（32）64又g（）64，g（64）80g（t）64，80l8，4（ii）當(dāng)折痕是情形時(shí)設(shè)AMxcm，D
13、Nycm，可得（x+y）616，即yx由0x8，0x8，可得：0xl（iii）當(dāng)折痕是情形時(shí)設(shè)BNxcm，AMycm，可得（x+y）816，即yx4由0x8，04x6，可得：0x4l8，4綜上可得：l6，4思維升華 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題作答基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練1【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)
14、零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）ABCD【答案】B【解析】.當(dāng)時(shí)，若，則，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋艉瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，有，得.故選B.2【天津市第一中學(xué)2019屆高三一月月考】已知函數(shù)，若有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，且，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可知，即.，設(shè)，.由.可知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，的圖象恒過(guò)點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出，的圖象如下，若有且只有兩個(gè)整數(shù)，使得，且則，即，解得,故選C.3【江西省撫州市臨川第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期考前模擬考試】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(
15、)ABCD【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以令，因?yàn)椋?dāng) 時(shí)，所以所以在上為增函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，所以，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，則存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?dāng)趨于時(shí)，趨于，所以在內(nèi)，一定存在一個(gè)零點(diǎn).所以，故答案選D.4【山東省煙臺(tái)市2019屆高三3月診斷性測(cè)試（一模)】已知函數(shù)，則使不等式成立的的最小整數(shù)為（ ）A-3B-2C-1D0【答案】D【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，時(shí)，可以看成是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則有，函數(shù)在上為增函數(shù)，又由，則函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)其零點(diǎn)為，又由，則，故不等
16、式成立的的最小整數(shù)為0；故選：D5【安徽省江淮十校2019屆高三年級(jí)5月考前最后一卷】已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】由函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，顯然時(shí)不滿足條件.當(dāng)時(shí)，若，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，由得，所以切線斜率為，因此，切線方程為： ，由切線過(guò)原點(diǎn)，得 ，此時(shí)切線的斜率為 .故當(dāng)時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像可得，故選A.6【重慶南開(kāi)中學(xué)2019屆高三第四次教學(xué)檢測(cè)】若函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為( )ABCD【答案】C【解析】當(dāng),即 ,得或，當(dāng)或 ， ，故在 單調(diào)遞增，又，故圖象不經(jīng)過(guò)第四象限
17、，符合題意當(dāng)，即 時(shí)， ,得或，當(dāng) ， ，故在 單調(diào)遞減，在遞增，又，故圖像經(jīng)過(guò)第四象限，舍去故選：C7【安徽省1號(hào)卷A10聯(lián)盟2019年高考最后一卷】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)均有成立，且，則不等式的解集是（ ）ABCD【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于，令，則恒成立，在上是增函數(shù)，又，原不等式為，解得，故選.8【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考】已知函數(shù)，要使函數(shù)恒成立，則正實(shí)數(shù)應(yīng)滿足（ ）AB CD 【答案】A【解析】由，得： 若，即時(shí)，則恒成立，即在上單調(diào)遞增又時(shí)，與恒成立矛盾；若，即時(shí)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，需，即： 本題正確選項(xiàng)：9【遼寧省沈陽(yáng)市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量
18、監(jiān)測(cè)（三)】已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】令，則，在上為奇函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，化為：，即，化為：，即，解得實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：10【湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷（一)】若不等式對(duì)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】設(shè)，由，則在上恒成立，單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，解得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；綜上知：當(dāng)m時(shí)，不等式對(duì)成立.故選A.11【019年甘肅省蘭州市高考數(shù)學(xué)一診】已知函數(shù)f（x）=alnx+，當(dāng)a（）時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】1【解析】函數(shù)f（x）=，可得f（x）= x，a（）時(shí)，f（x）0，函數(shù)
19、是減函數(shù)，所以函數(shù)函數(shù)f（x）=alnx，當(dāng)a（）時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1故答案為：112【江蘇省南通市通州區(qū)2019屆高三第二學(xué)期四月質(zhì)量調(diào)研檢測(cè)】已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】由，可得，設(shè)，則.令，則，所以上單調(diào)遞增.由于，所以，所以單調(diào)遞減：在單調(diào)遞增.要使不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，即的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，必須解集中的兩個(gè)整數(shù)為2和3.所以，解得.13【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查（二)】已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像恒在直線上方，所以，恒成立，即：恒成立.當(dāng)
20、時(shí)，若，不滿足恒成立.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于：， 記，則，此時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減，其簡(jiǎn)圖如下：所以，所以，又，解得：.綜上所述：14【江西省景德鎮(zhèn)市2019屆高三第二次質(zhì)檢理】函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；且記，則當(dāng)時(shí)，恒成立，且只有，所以在R上單調(diào)遞增又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以圖像經(jīng)過(guò)第一、二兩個(gè)象限，不符合題意當(dāng)時(shí)，令，得當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限所以,解得當(dāng)時(shí)，令，得當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限所以,解得綜上所述：或故答案為： 15【江蘇省海安高級(jí)
21、中學(xué)2019屆高三上學(xué)期第二次月考】若關(guān)于x的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_【答案】【解析】關(guān)于x的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)及任意的實(shí)數(shù)恒成立，先看成b的一次函數(shù) ，可得 即為，可得恒成立，設(shè)，可得時(shí)，遞增；時(shí)，遞減，又，可得的最小值為，可得即有a的范圍是故答案為：16【山東省臨沂市2019屆高三2月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】若，則定義直線為曲線的“分界直線”已知，則的“分界直線”為_(kāi)【答案】y=x-1【解析】由f（1）ln10，g（1）（11）0，則f（x），g（x）的圖象存在交點(diǎn)（1，0），且f（x），g（x）在1，+）遞增，可得直線ykx+b必過(guò)（1，0），即bk，由kx+b
22、g（x），即kxk（x）在x1恒成立，即有（2k1）x22kx+10，可得2k10，且4k24（2k1）0，解得k1，即有直線方程為yx1，下面證明x1xlnx在x1恒成立，由yxlnxx+1的導(dǎo)數(shù)為y1+lnx1lnx，由x1可得lnx0，即有函數(shù)yxlnxx+1在x1遞增，可得xlnxx1在x1恒成立，則f（x），g（x）的“分界直線”為yx1故答案為：yx117【河南省八市重點(diǎn)高中聯(lián)盟“領(lǐng)軍考試”2019屆高三第五次測(cè)評(píng)】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求，的值；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1），；（2）3【解析】（1）由得： 由切線方程可知： ，解得：，（
23、2）由（1）知?jiǎng)t時(shí)，恒成立等價(jià)于時(shí)，恒成立令，則.令，則當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增， ，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)， ，即正整數(shù)的最大值為18【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試】已知函數(shù).（）若，求曲線在處的切線方程；（）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（） 【解析】（）依題意，故.，而.故所求切線方程為，即.（）由得.即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，.令，則.由及，得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，.所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19【安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)2019屆高三全國(guó)高考猜題預(yù)測(cè)卷】已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）見(jiàn)證
24、明【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，討論：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)為增函數(shù)，有，有.綜上，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.證明：（2）當(dāng)時(shí)，有，所以，所以.令，則.令，有.令，得.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以.所以分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為,所以,故當(dāng)時(shí)，.20【晉冀魯豫中原名校2019屆高三第三次聯(lián)考】已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】解：（1）由題意知，的定義域?yàn)椋?，?當(dāng)時(shí)，令，可得，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，令，可得，得或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為、；當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的減區(qū)間為；當(dāng)
25、時(shí)，令，可得，得，或，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）由（1）可知：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有，可得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，不符合題意.綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.能力提升訓(xùn)練1【重慶一中2019屆高三下學(xué)期5月月考】設(shè)表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有且只有5個(gè)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【解析】首先，確定在x0上，方程f(x)=1的解.時(shí)，在，所以由取整意義有
26、lnx=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此時(shí)有一根，當(dāng)n1時(shí)，恒有f(x)-11，此時(shí)在上無(wú)根.在上，又所以在上，恒有，.n=1時(shí)，在上，有n=2時(shí)，在有即所以此時(shí)有兩根， 這樣在有三根， 在顯然有一根所以在有且僅有一根，由“洛必達(dá)法則”是先增后減，得或a0.單調(diào)遞增，即故選：A2【遼寧省大連市2019屆高三第二次模擬考試】函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）ABCD【答案】A【解析】函數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)， 函數(shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又，且，上恒小于零，即為單調(diào)遞減函數(shù)，又是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，可
27、得函數(shù)與函數(shù)的大致圖像如圖：要使函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，則，解得，又所以實(shí)數(shù)的范圍為。故答案選A3【吉林省長(zhǎng)春市2019屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（四)】若函數(shù)圖像的交點(diǎn)為，則（ ）A2B4C6D8【答案】A【解析】解：設(shè)函數(shù)，的定義域?yàn)镽，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，故當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由奇偶性可知，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，函數(shù)是關(guān)于對(duì)稱的，作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)有兩個(gè)，設(shè)它們的橫坐標(biāo)分別為，由對(duì)稱性可得，即，故選A。4【山西省太原市2019屆高三模擬試題（一)】已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（ ）ABCD【答案】A
28、令,構(gòu)造函數(shù)，由已知可知：，所以是上的減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，成立，也就是當(dāng)時(shí)，成立，故本題選A。5【河北省衡水市全國(guó)普通高中2019屆高三四月大聯(lián)考】若不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】A【解析】由題得，不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解等價(jià)于有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解.記，函數(shù)的圖象是過(guò)定點(diǎn)的直線.又記，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，如圖所示，要使有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可知，只需滿足，即.故選A.6【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重點(diǎn)中學(xué)2019屆高三4月聯(lián)考】已知定義在上的奇函數(shù)滿足時(shí)，則函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）ABCD【答案】C
29、【解析】當(dāng)時(shí)，故函數(shù)在上遞減，上遞增，在處有最小值為，此時(shí)，根據(jù)的單調(diào)性和可知，當(dāng)時(shí)，的唯一零點(diǎn).由于是定義在上的奇函數(shù)，則，故，所以是函數(shù)的零點(diǎn).由于都是奇函數(shù)，故，且根據(jù)奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知，上遞增，在上遞減，時(shí)，取得在上的最大值，故在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).綜上所述，零點(diǎn)個(gè)數(shù)有個(gè)，故選C.7【湖南省永州市2019屆高三第三次模擬考試】若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】原不等式等價(jià)于： 令，則存在，使得成立又時(shí)，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減，即 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即本題正確選項(xiàng)：8【四川省廣元市2019屆高三第二次高考適應(yīng)性統(tǒng)考】已知函數(shù)，若的圖象上存在關(guān)
30、于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是ABCD【答案】C【解析】解：設(shè)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，由的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，由，則切線方程為：，又此直線過(guò)點(diǎn)，所以，即，由圖可知：，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是：，故選：C9【天津市耀華中學(xué)2019屆高三第二次月考】已知函數(shù).（）（）求證：；（）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng)時(shí)，過(guò)原點(diǎn)分別作曲線與的切線，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：.【答案】（）（）詳見(jiàn)解析；（）；（）詳見(jiàn)解析.【解析】（）（）證明：令，則，所以時(shí)，時(shí)，所以，即.（），.a.當(dāng)時(shí)，由（）知，所以，所以在上遞增，則恒成立，符合題意b當(dāng)時(shí)，令，則，所
31、以在上遞增，且，則存在，使得.所以在上遞減，在上遞增；又，所以不恒成立，不合題意綜合a，b可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）證明：設(shè)切線的方程為，切點(diǎn)為，則，所以， 則.由題意知，切線的斜率為，的的方程為.設(shè)與曲線的切點(diǎn)為，則，所以，.又因?yàn)?，消去和a后 ，整理得.令，則，易知在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增 若，因?yàn)?，所?，而，在上單調(diào)遞減，所以.若，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，則，所以（舍去）.綜上所述：.10【遼寧省葫蘆島市普通高中2019屆高三第二次模擬考試】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)令，當(dāng)，時(shí)，證明：.【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】(1)的定義域，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，令,可得；令可得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。 (2)當(dāng)時(shí)，要證明成立，即證： 令,令所以，在單調(diào)遞增；在遞減.又由已知,可知在上為減函數(shù)故，即 令,當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增。故,即 .故原不等式成立.40
2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題16 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問(wèn)題（含解析）
